学案2 任意角的三角函数与诱导公式.ppt

学案2任意角的三角函数与诱导公式 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 返回目录 考纲解读 考向预测 主要作为工具对三角函数进行恒等变换 考查恒等变形能力 题型主要是三角函数的求值 以及三角函数式的化简 为研究函数作基础 是本编的重点内容 返回目录 返回目录 1 任意角的三角函数 1 任意角的三角函数定义设 是一个任意角 角 的终边上任意一点P x y 它与原点的距离为r r 0 那么角 的正弦 余弦 正切分别是 sin cos tan 它们都是以角为 以比值为的函数 自变量 函数值 返回目录 2 三角函数在各象限内的符号口诀是 2 设角 的顶点在坐标原点 始边与x轴正半轴重合 终边与单位圆相交于点P 过P作PM垂直x轴于M 作PN垂直y轴于点N 则点M N分别是点P在x轴 y轴上的 由三角函数的定义知 点P的坐标为 即 其中cos sin 单位圆与x轴的正半轴交于点A 单位圆在A点的切线与 的终边或其反向延长线相交于点T T 则tan 我们把轴上向量OM ON AT 或AT 分别叫做 的 二正弦 三正切 四余弦 一全正 正射影 cos sin P cos sin OM ON AT 余弦线 正弦线 正切线 3 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 2 商数关系 3 倒数关系 tan cot 1 k Z 返回目录 sin2 cos2 1 R k k Z tan 4 六组诱导公式 返回目录 sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos sin sin sin tan tan tan 考点1三角函数的定义 设 为第四象限角 其终边上的一个点是P x 且cos x 求sin 和tan 分析 若能求出问题中的未知数x 则由定义sin 和tan 可求 解题技巧即是设法建立关于x的一个方程 返回目录 解析 是第四象限的角 x 0 又P点到坐标原点O的距离r 由cos 得 x r 2 sin tan 返回目录 容易出错的地方是得到x2 3后 不考虑P点所在的象限 x的取值分正负两种情况去讨论 一般地 在解此类问题时 可以优先注意角 所在的象限 对最终结果作一个合理的预测 返回目录 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解析 角 的终边在直线3x 4y 0上 在角 的终边上任取一点P 4t 3t t 0 则x 4t y 3t 当t 0时 r 5t 返回目录 当t0时 sin cos tan 当t 0时 sin cos tan 返回目录 考点2单位圆与三角函数线 2010年高考四川卷 1 证明两角和的余弦公式C cos cos cos sin sin 由C 推导两角和的正弦公式S sin sin cos cos sin 2 已知 ABC的面积S AB AC 3 且cosB 求cosC 分析 利用单位圆证明 返回目录 解析 1 如图 在直角坐标系xOy内作单位圆O 并作出角 与 使角 的始边为Ox 交 O于点P1 终边交 O于点P2 角 的始边为OP2 终边交 O于点P3 角 的始边为OP1 终边交 O于点P4 则P1 1 0 P2 cos sin P3 cos sin P4 cos sin 由P1P3 P2P4及两点间的距离公式 则 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2展开并整理 得2 2cos 2 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin 返回目录 由 易得cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 返回目录 返回目录 本题利用单位圆证明了两角和的余弦公式 同时考查了诱导公式 同角三角函数的关系等基础知识及运算能力 返回目录 已知01 2 sin tan 证明 如图 设 的终边与单位圆交于P点 作PM x轴 垂足为M 过点A 1 0 作AT x轴 交 的终边于T 则sin MP cos OM tan AT 返回目录 1 在 OMP中 OM MP OP cos sin 1 2 连结PA 则S OPA S扇形OPA S OTA 即OA MP OA OA AT 即sin tan 返回目录 考点3同角三角函数间的关系 已知 x 0 sinx cosx 1 求sinx cosx的值 2 求的值 分析 1 由sinx cosx 及sin2x cos2x 1可求出sinx cosx的值 从而求出sinx cosx的值 另外 由0 从而判定sinx cosx的符号 只需求 sinx cosx 2即可 返回目录 解析 1 解法一 联立方程 sinx cosx sin2x cos2x 1 由 得sinx cosx 将其代入 整理得25cos2x 5cosx 12 0 sinx cosx 2 由 1 可求出tanx 而想法使分子 分母都出现tanx即可 x 0 sinx cosx 返回目录 解法二 sinx cosx sinx cosx 2 即1 2sinxcosx 2sinxcosx sinx cosx 2 sin2x 2sinxcosx cos2x 1 2sinxcosx 1 又 0 sinx cosx 0 由 可知 sinx cosx 返回目录 2 由已知条件及 1 可知sinx cosx sinx sinx cosx cosx tanx 解得 又 返回目录 1 方程思想在解决同角三角函数间的关系中起着重要的作用 一定要注意其应用 2 注意sinx cosx sinx cosx sinx cosx三者间的相互转化 若令sinx cosx t 则sinx cosx 返回目录 已知sin cos 0 求值 1 tan 2 sin cos 3 sin3 cos3 返回目录 解法一 sin cos 0 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 0 cos 0 sin cos 1 tan 2 sin cos 3 sin3 cos3 返回目录 解法二 1 同解法一 2 sin cos 2 1 2sin cos 1 2 sin 0 cos 0 sin cos 3 sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 1 返回目录 考点4求值问题 已知 求下列各式的值 1 2 sin2 sin cos 2 分析 由已知可以求出tan 再由同角三角函数关系式可以求得sin 和cos 进而求出 1 2 的值 但实际操作中 往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件 返回目录 解析 由已知得tan 1 2 sin2 sin cos 2 sin2 sin cos 2 cos2 sin2 形如asin bcos 和sin cos ccos2 的式子分别称为关于sin cos 的一次齐次式和二次齐次式 对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用 返回目录 已知tan 2 求 1 tan 的值 2 的值 返回目录 1 返回目录 2 由 1 得tan 返回目录 考点5诱导公式 化简 分析 1 直接利用诱导公式 2 对k是偶数还是奇数分类讨论 返回目录 解析 1 原式 2 当k为偶数时 记k 2n n Z 原式 返回目录 当k为奇数时 记k 2n 1 n Z 原式 综上 原式 1 返回目录 1 应用诱导公式 重点是 函数名称 与 正负号 的正确判断 求任意角的三角函数值的问题 都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题 具体步骤为 负角化正角 正角化锐角 求值 2 使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号 如果出现k 的形式时 需要对k的值进行分类讨论 以确定三角函数值的符号 返回目录 已知cos 且 是第四象限角 计算 1 sin 2 2 解析 cos cos cos 又 是第四象限角 sin 返回目录 1 sin 2 sin 2 sin sin 2 返回目录 考点6诱导公式在三角形中的应用 分析 本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简 然后利用sin2 cos2 1 求出cosA的值 再利用A B C 进行求解 在 ABC中 若sin 2 A sin B cosA cos B 求 ABC的三内角 返回目录 返回目录 2 当cosA 时 cosB 又A B是三角形内角 A B 不合题意 综上知 A B C 诱导公式在解三角形时应用广泛 注意其正确应用 特别是诱导公式的口诀要记熟会用 返回目录 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 其中c边最长 并且sin2A sin2B 1 1 求证 ABC为直角三角形 2 当c 1时 求 ABC面积的最大值 解析 1 证明 c边为最长边 A B均为锐角 由sin2A sin2B 1得sin2A cos2B sinA cosB均为正数 sinA cosB sinA sin B 返回目录 又A B 0 A B A B 即C ABC为直角三角形 2 ABC的面积S ab 2ab a2 b2 由于a2 b2 c2 1 S 当且仅当a b 时 上式取等号 ABC面积的最大值为 返回目录 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础 主要是变名 变式 1 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响 尤其是利用平方关系在求三角函数值时 进行开方时要根据角的象限或范围 判断符号后 正确取舍 2 三角求值 化简是三角函数的基础 在求值与化简时 常用方法有 1 弦切互化法主要利用公式tanx 化成正弦 余弦函数 返回目录 2 和积转换法 如利用 sin cos 2 1 2sin cos 的关系进行变形 转化 3 巧用 1 的变换 1 sin2 cos2 cos2 1 tan2 sin2 1 tan 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有