北京四中高考数学总复习 基本不等式提高知识梳理.doc

基本不等式【考纲要求】1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式解决最大（小）值问题.3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】基本不等式重要不等式最大（小）值问题基本不等式基本不等式的应用 扩充不等式绝对值不等式柯西不等式【考点梳理】考点一：两个重要不等式及几何意义1重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。（3）可以变形为：，可以变形为：.3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点d，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点二、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点三、几个常见的不等式1），当且仅当a=b时取“=”号。2），当且仅当a=b 时取“=”号。3）；特别地：；4） 5）；6）；7）要点四、绝对值不等式的性质 1.；2.；要点五、柯西不等式1. 二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。（2）代数形式：若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；若a、b、c、d都是正实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。【典型例题】类型一：基本不等式求最值问题【高清课堂：基本不等式394847 基础练习二】例1设，则的最小值是a1b2c3d4【解析】当且仅当即时取等号.【答案】d举一反三：【变式1】已知, 且，求的最小值及相应的值.【解析】, , 又, 当且仅当即时取等号 当时，取最小值.【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.（1）； (2)， ； (3) ，(4) ， ； (5)，【解析】（1） ，当且仅当，即时取等号 时， (2) ，当且仅当即时，.(3) ，当且仅当即时，.(4) ， 当且仅当 即时，.(5) ，当且仅当即时，【变式3】已知且，求的最小值.【解析】方法一：且（当且仅当即时等号成立）. 的最小值是16. 方法二：由，得，当且仅当即时取等号，此时 的最小值是16.方法三：由得，当且仅当时取等号，的最小值是16.类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知，求证：，中至少有一个小于等于.证明：假设 则有 又与矛盾举一反三：【变式1】已知、都是正数，求证：【解析】、都是正数 （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号）即.【变式2】已知、都是正数，求证：。【解析】、都是正数 ，（当且仅当即时,等号成立）故.类型三：基本不等式在实际问题中的应用例4. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解析】由题意可得，。于是，框架用料长度为。当，即时等号成立。此时，。故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省。举一反三：【变式1】某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ 【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为，于是还需要建造新墙的长为设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，则（当且仅当即时，等号成立）故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.类型四：利用绝对值不等式求最值例5. 不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ；【解析】设，则对恒成立， ， 的最小值为，实数的取值范围是.举一反三：【变式1】求的最值【解析】由得：，的最小值为，最大值为6. 【变式2】不等式对恒成立，则常数的取值范围是 ；【解析】设，则对恒成立， ， 的最大值为，实数的取值范围是.类型五：利