高考数学一轮复习 等差数列学案（含解析）苏教版必修5.doc

等差数列【考点1】等差数列的定义（1）等差数列的定义：数列中，若（常数），对都成立，则数列叫等差数列，常数叫等差数列的公差等差数列的通项公式为 通项公式推广：例1已知等差数列中，,，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由【点拨】判断某个数值是否为某数列中的项，基本的思路是先得到这个数列的通项公式，再验证这个数值是否为其中的某项【解析】法一：由通项公式，得 ， , 由，解得217是此数列的第61项法二：由等差数列性质得，即,又， , 得217是此数列的第61项法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列的图象是一些共线的点，点p（15,33）, （45,153）, r（n,217）在同一条直线上， ，得217是此数列的第61项【答案】第61项【小结】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质1等差数列an中，首项a13，公差d5，如果an2013，则序号n等于 【解答过程】解析：由a13，d5可得通项公式ana1（n1）d35（n1）5n2，由5n22013，得n403【考点2】等差数列的判定方法及分类（1）等差数列的判定方法：定义法：是等差数列；中项公式法：（n）是等差数列；通项公式法：是等差数列；前n项和公式法：（a,b,为常数）是等差数列设是等差数列，数列是等差数列（2）等差数列的分类：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数列例2已知数列满足，证明数列是等差数列【点拨】对左右两边同除以得，然后倒置得，移项根据等差数列的定义判别【解析】由已知可得，所以，即，数列是公差为1的等差数列【小结】本题考查倒置法构造等差数列2练习1：已知数列中，则等于 【解题过程】【解析】本题考查取倒数法构造等差数列间接求得数列的通项公式，从而求得的值由得,是以1为首项，以为公差的等差数列例3数列满足，（2），设=，判断数列是否为等差数列并试证明【点拨】利用等差数列的定义，代入证得【解析】 ， 数列是公差为的等差数列【小结】本题考查等差数列的定义练习1：在数列an中，a11，an12an2n，设bn证明：数列bn是等差数列【解答过程】【解析】由已知an12an2n，得bn11bn1bn1bn1，又b1a11bn是首项为1，公差为1的等差数列【考点3】通项公式求法：1给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归； 2数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证是否适合例4设数列的前项和为，且，求出数列的通项公式【点拨】递推与相减化简即可求出通项公式【解析】由得所以，数列是以1为首项，4为公差的等差数列【答案】【小结】本题考查等差数列的通项公式练习1:已知正项数列的前项和为，且 ，求数列的通项公式【解答过程】【解析】令，则，则，解得由得，则，化简得，则即数列是首相为1,公差为2的等差数列，【考点4】等差数列的性质（1）对于任意正整数n，都有（2）数列是等差数列对于任意的正整数，有（3）（4）若，则（反之也成立）（其中）如：（5）已知、是等差数列，则也是等差数列（6）已知是等差数列，则等都是等差数列（7）等差中项：如果在中间插入一个数，使成等差数列，那么叫做与的等差中项，且（8）三数成等差数列，可设为：或例5等差数列项的和等于 【点拨】利用，则（反之也成立）（其中）及等差数列的前n项和公式求解【解析】 【答案】99【小结】本题考查等差数列的性质及前n项和练习1：等差数列中，,则此数列前20项和等于 【解题过程】拓展：两等差数列an、bn的前n项和的比，则的值是 【解题过程】解析：【小结】若是等差数列，为前项和，则例6已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数【点拨】设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，根据题意列方程组求解【解析】设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2【答案】2,5,8,11或11,8,5,2【小结】若四个成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d练习1：若等差数列的四个数之和为52，第二数与第三数之积为160，则这四个数依次为 【解题过程】基础练习（时间：分钟）1等差数列中，已知，a2+a5=4，an=33，则n是 2（2014辽宁卷）设等差数列an的公差为d若数列2a1an为递减数列，则 3首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_4若xy，且x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自都成等差数列，则_5已知方程0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|_6若数列为等差数列，, ,且公差 求_ 7已知正项数列满足，且，_8已知sn是数列an的前n项和，且a11，an（n2），求_9（2014重庆卷）设a11，an1b（nn*）若b1，求_10（黄冈中学2014届高三十月月考数学试卷）已知数列的前项和，则_11设sn是数列an的前n项和且nn*，所有项an0，且snaan求_12（湖南常德市2013-2014学年度上学期高三检测考试）已知为等差数列，若，,则_13等差数列的公差为1，且，则 14在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10 15若一个等差数列an的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_项16已知等差数列an与bn的前n项和分别为sn与tn，且则等于_17三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，则这三个数分别为 18已知an是等差数列，a12，a23，若在每相邻两项之间插入3个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？19设为数列的前n项和，且求证：数列为等差数列20已知数列an，ann*，sn =，求证：an是等差数列；21（2014新课标全国卷）已知数列an的前n项和为sn，a11，an0，anan1sn1，其中为常数（1）证明：an2an（2）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由22已知数列an满足a12a，an2a（n2）其中a是不为0的常数，令bn（1）求证：数列bn是等差数列（2）求数列an的通项公式23已知数列的首项为=3，通项与前n项和sn之间满足2=snsn（n2）（1）求证：是等差数列，并求公差； （2）求数列的通项公式参考答案1【解析】由已知得2【解析】 令bn2a1an，因为数列2a1an为递减数列，所以2a1（an1an）2a1d1，所得a1d03【解析】设an24（n1）d，由解得：0，anan12（n2）数列an是以3为首项，2为公差的等差数列an32（n1）2n112【解析】设数列的公差为d，则，所以，故13略14【解析】da6a55，a4a5a1015【解析】a1a2a3an2an1an34146180，所以3（a1an）180，即a1an60由sn390，知390所以390，解得n13 16【解析】17略18【解析】数列an中，a12，a23，da2a1321，ana1（n1）d2（n1）1n1设新数列为bn，公差为d，据题意知b12，b53，则d，bn2（n1）（1）a1212113，令13，得n45，故原数列的第12项是新数列的第45项（2）b299，令n19，得n8，故新数列的第29项是原数列的第8项19【解析】由得，所以整理得，又得相减并整理得: 所以数列是个等差数列20【解析】an+1 = sn+1sn,8an+1 =,，ann*，即，数列an是等差数列21【解析】（1）证明：由题设，anan1sn1，an1an2sn11，两式相减得an1（an2an）an1因为an10，所以an2an（2）由题设，a11，a1a2s11，可得 a21，由（1）知，a31若an为等差数列，则2a2a1a3，解得4，故an2an4由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2