高考数学试题分项 专题03 导数与应用（含解析）.doc

专题03 导数与应用1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）a b c d 【答案】c【考点定位】函数与导数2.【2015高考陕西，理12】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）a是的零点 b1是的极值点c3是的极值 d. 点在曲线上【答案】a【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值3.【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）a bc d【答案】a【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质4.【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(a)-，1） (b)-，） (c)，） (d)，1）【答案】d5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义6.【2015高考天津，理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】()详见解析；（）值所以对于任意，的充要条件是：即【考点定位】导数的综合应用8.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分） 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是，求c的值.【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时， 在，上单调递增，在上单调递减（2），则在上，且在上均恒成立，【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点9.【2015高考福建，理20】已知函数，()证明：当；()证明：当时，存在,使得对()确定k的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有【答案】()详见解析；()详见解析；() 故对任意正实数均满足题意.当时，令得故,即,所以满足题意的t不存在.当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有综上，.解法二：（1）（2）同解法一.此时,令，此时 ,记与中较小的为，则当，当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t满足题意综上，.【考点定位】导数的综合应用10.【2015江苏高考，17】（本小题满分14分） 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边 界曲线为c，计划修建的公路为l，如图所示，m，n为c的两个端点，测得点m到 的距离分别为5千米和40千米，点n到的距离分别为20千米和2.5千米，以mnl2l1xyocpl 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xoy，假设曲线c符合函数 （其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线c相切于p点，p的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域； 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）（2）定义域为，千米从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义11.【2015高考山东，理21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若成立，求的取值范围.【答案】（i）：当 时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；（ii）的取值范围是.当 时， 设方程的两根为 因为 当时， ，函数单调递减；因此函数有一个极值点综上：当 时，函数在上有唯一极值点；（3）当 时，由 ，可得所以 时，函数 单调递减；综上所述，的取值范围是【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.12.【2015高考安徽，理21】设函数. （）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （）记，求函数在上的最大值d； （）在（）中，取，求满足时的最大值.【答案】（）极小值为；（）； （）1. 因此，时，函数在处有极小值. 【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.13.【2015高考天津，理20（本小题满分14分）已知函数，其中.(i)讨论的单调性；(ii)设曲线与轴正半轴的交点为p，曲线在点p处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(iii)若关于的方程有两个正实根，求证： 【答案】(i) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (ii)见解析； (iii)见解析.当，即时，函数单调递增；内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.(iii)证明：不妨设，由(ii)知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由(ii)知可【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.14.【2015高考重庆，理20】 设函数 （1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程； （2）若在上为减函数，求的取值范围。【答案】（1），切线方程为；（2）. 令由，解得.【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力15.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性； （2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【答案】（1）当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）详见解析.（2）由，解得.即.当时，有，.综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.16.【2015高考湖北，理22】已知数列的各项均为正数，为自然对数的底数（）求函数的单调区间，并比较与的大小；（）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；（）令，数列，的前项和分别记为, 证明：. 【答案】（）的单调递增区间为，单调递减区间为. ；（）详见解析；（）详见解析.由此推测： 由归纳假设可得.所以当时，也成立. 【考点定位】导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明.17.【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数.【答案】（）；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.取的最小值，最小值为=.若0，即0，在（0,1）无零点.【考点定位】利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想18.【2015高考北京，理18】已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值【答案】（），（）证明见解析，（）的最大值为2.数研究函数单调性，但需要对参数作讨论，首先符合题意，其次当时，不满足题意舍去，得出的最大值为2.，成立；考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，