北京市丰台区高三数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

北京市丰台区2015届高三上学期期末数学试卷（文科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）a（1，1）b（l，1）c（1，l）d（1，l）2（5分）等差数列an的前n项和为sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么s3等于（）a8b15c24d303（5分）命题p：x0，ex1，则p是（）ax00，bx00，cx0，ex1dx0，ex14（5分）已知a=2log32，则a，b，c的大小关系是（）aabcbcbaccabdacb5（5分）甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（）a，s1s2b，s1s2c，s1s2d，s1=s26（5分）已知函数y=a+sinbx（b0且b1）的图象如图所示，那么函数y=logb（xa）的图象可能是（）abcd7（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）abcd8（5分）在平面直角坐标系xoy中，如果菱形oabc的边长为2，点a在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）a1，2b1，2，3c0，1，2d0，1，2，3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）已知集合a=x|x22x0，b=1，2，3，4，则ab=10（5分）已知向量，且，那么实数x=； =11（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 12（5分）如果变量x，y满足条件且z=3x+y，那么z的取值范围是13（5分）已知圆c：x2+y2+2x4y=0，那么圆心坐标是；如果圆c的弦ab的中点坐标是（2，3），那么弦ab所在的直线方程是14（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，如果函数y=f（x）g（x）在区间a，b上有k（kn*）个不同的零点，那么称函数f（x）和g（x）在区间a，b上为“k阶关联函数”现有如下三组函数：f（x）=x，g（x）=sinx；f（x）=2x，g（x）=lnx； f（x）=|x1|，g（x）=其中在区间0，4上是“2阶关联函数”的函数组的序号是（写出所有满足条件的函数组的序号）三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）已知函数，xr（）求的值；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值16（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，并绘制出频率分布直方图，如图所示（）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（）设a，b，c三名学生的考试成绩在区间80，90）内，m，n两名学生的考试成绩在区间60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生m，n至少有一人被选中的概率；（）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）（注：将频率视为相应的概率）17（14分）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd为菱形，bad=60，平面sad平面abcd，sa=sd，e，p，q分别是棱ad，sc，ab的中点（）求证：pq平面sad；（）求证：ac平面seq；（）如果sa=ab=2，求三棱锥sabc的体积18（13分）已知函数（）求函数f（x）的极小值；（）过点b（0，t）能否存在曲线y=f（x）的切线，请说明理由19（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：=1（ab0）的一个顶点为a（2，0），离心率为（）求椭圆c的标准方程；（）直线l过点a，过o作l的平行线交椭圆c于p，q两点，如果以pq为直径的圆与直线l相切，求l的方程20（13分）已知数列an的前n项和sn满足sn=an，（1，nn*）（）如果=0，求数列an的通项公式；（）如果=2，求证：数列为等比数列，并求sn；（）如果数列an为递增数列，求的取值范围北京市丰台区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）a（1，1）b（l，1）c（1，l）d（1，l）考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：直接利用复数的除法运算化简为a+bi（a，br）的形式，则答案可求解答：解：由=所以复数对应的点的坐标为（1，1）故选a点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法与几何意义，是基础题2（5分）等差数列an的前n项和为sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么s3等于（）a8b15c24d30考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质求出a4的值，再求出公差d的值，利用等差数列的前n项和公式求出s3的值解答：解：由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d=3，所以s3=32+9=15，故选：b点评：本题考查等差数列的前n项和公式、性质，属于基础题3（5分）命题p：x0，ex1，则p是（）ax00，bx00，cx0，ex1dx0，ex1考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：x0，ex1，则p是x00，故选：b点评：本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4（5分）已知a=2log32，则a，b，c的大小关系是（）aabcbcbaccabdacb考点：对数值大小的比较 专题：函数的性质及应用分析：分别判断a，b，c的取值范围即可解答：解：a=2log32=log341，=，=1，则acb，故选：d点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对对数函数的性质是解决本题的关键5（5分）甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（）a，s1s2b，s1s2c，s1s2d，s1=s2考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学测试成绩的平均数是=（76+76+82+88+88）=82，乙同学测试成绩的平均数是=（76+78+83+86+87）=82；甲同学测试成绩的方差是：=（7682）2+（7682）2+（8282）2+（8882）2+（8882）2=，标准差是s1=，乙同学测试成绩的方差是=（6）2+（4）2+12+（4）2+52=，标准差是s2=，s1s2故选：b点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题6（5分）已知函数y=a+sinbx（b0且b1）的图象如图所示，那么函数y=logb（xa）的图象可能是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：先根据正弦函数的图象得到a，b的取值范围，再根据对数函数的图象和性质得到答案解答：解：函数y=a+sinbx（b0且b1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移a的单位得到的，由图象可知1a2，由图象可知函数的最小正周期t，解得2b4，y=logbx的图象过定点（1，0）且为增函数，y=logb（xa）函数的图象是由y=logbx图象向右平移a的单位得到，y=logb（xa）函数的图象过定点（a+1，0），其中2a+13，故选：c点评：本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题7（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）abcd考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图，画出该几何的直观图，进而可得该锥体的正视图解答：解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图pabc所示：顶点p在以ba和bc为邻边的平行四边形abcd上的射影为cd的中点o，故该锥体的正视图是：故选a点评：本题考查的知识点是简单空间几何体的三视图，其中根据已知中的三视图，画出直观图是解答的关键8（5分）在平面直角坐标系xoy中，如果菱形oabc的边长为2，点a在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）a1，2b1，2，3c0，1，2d0，1，2，3考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：根据菱形的不同位置进行判断即可解答：解：根据对称性我们只研究在第一象限内的整点情况，设aoc=，则c（2cos，2sin），b（2cos+2，2sin），若030，则02sin1，此时区域内整点个数为0，排除a，b，若3045，则12sin，2cos，+22cos+22+，此时区域内整点为（2，1），个数为1，若4590，则2sin2，02cos，此时区域内整点为（1，1），（1，2），个数为2，若=90，则此时区域内整点为（1，1），个数为1个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是0，1，2，故选：c点评：本题主要考查平面区域内整点的判断，利用数形结合是解决本题的关键比较复杂二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）已知集合a=x|x22x0，b=1，2，3，4，则ab=3，4考点：交集及其运算 专题：集合分析：求解一元二次不等式化简集合a，然后直接利用交集运算得答案解答：解：由x22x0，得x0或x2，a=x|x22x0=x|x0或x2，又b=1，2，3，4，则ab=3，4故答案为：3，4点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题10（5分）已知向量，且，那么实数x=2； =考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，解得x=2，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到解答：解：，且向量，则=x2=0，解得，x=2即有=（2，1），则=故答案为：2，点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题11（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是4 考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=16时，满足条件a15，退出循环，输出b的值为4解答：解：执行程序框图，有a=1，b=1a=3，b=2不满足条件a15，a=8，b=3不满足条件a15，a=16，b=4满足条件a15，退出循环，输出b的值为4故答案为：4点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查12（5分）如果变量x，y满足条件且z=3x+y，那么z的取值范围是2，9考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先做出不等式组表示的平面区域，求出各个角点的坐标，分别代入目标函数，比较后，求出目标函数的最优解，进而可得目标函数的取值范围解答：解：满足条件的可行域如下图所示：z=3x+y，za=2，zb=9，zc=4，故z=3x+y的最大值为9，最小值为2，故z的取值范围是：2，9，故答案为：2，9点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题13（5分）已知圆c：x2+y2+2x4y=0，那么圆心坐标是（1，2）；如果圆c的弦ab的中点坐标是（2，3），那么弦ab所在的直线方程是xy+5=0考点：圆的一般方程 专题：直线与圆分析：求出圆的标准方程即可求出圆心坐标，根据弦ab的中点性质即可求出直线方程解答：解：圆的标准方程为（x+1）2+（y2）2=5，圆心坐标为c（1，2），半径r=，若圆c的弦ab的中点坐标是d（2，3），则满足abcd，则cd的斜率k=，则弦ab所在的直线斜率k=1，则对应的直线方程为y3=x+2，即xy+5=0，故答案为：（1，2），xy+5=0点评：本题主要考查圆的标准方程的应用以及直线和圆的位置关系的应用，利用相交弦的性质是解决本题的关键14（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，如果函数y=f（x）g（x）在区间a，b上有k（kn*）个不同的零点，那么称函数f（x）和g（x）在区间a，b上为“k阶关联函数”现有如下三组函数：f（x）=x，g（x）=sinx；f（x）=2x，g（x）=lnx； f（x）=|x1|，g（x）=其中在区间0，4上是“2阶关联函数”的函数组的序号是（写出所有满足条件的函数组的序号）考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；函数的性质及应用分析：函数的零点可化为方程的解，从而依次判断解答：解：sinx=x在0，4上有两个解0，1；故成立；2x=lnx在0，4上有一个解，故不成立； |x1|=可化为x23x+1=0；有两个解，故成立故答案为：点评：本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，属于基础题三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）已知函数，xr（）求的值；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）化简解析式可得f（x）=2sin（2x+），从而可求f（）的值（）可先求得 ，从而可求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值解答：解：（）f（x）=2sinxcosx+cos（2x）+cos（2x+）=sin2x+（cos2xcos+sin2xsin）+（cos2xcossin2xsin）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以f（）=2sin=2 （7分）（另解）f（）=2sincos+cos（2）+cos（2+）=sin+sn+cos=2 （2分）（）因为 ，所以 所以 当2x=，即x=时，；当2x=，即x=时，ymin=2（13分）所以当x=时，；当x=时，ymin=2点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查16（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，并绘制出频率分布直方图，如图所示（）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（）设a，b，c三名学生的考试成绩在区间80，90）内，m，n两名学生的考试成绩在区间60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生m，n至少有一人被选中的概率；（）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）（注：将频率视为相应的概率）考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（）根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值，估计这名学生参加考试的成绩低于90（分）的概率；（）用列举法求出从这5位学生代表中任选两人的所有选法种数以及代表m，n至少有一人被选中的选法种数，求出对应的概率；（）求出样本的中位数落在那个区间内解答：解：（）根据频率分布直方图中频率和为1，得；a=0.10.030.0250.020.01=0.015，估计这名学生参加考试的成绩低于90（分）的概率为；10.15=0.85； （3分） （）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn；代表m，n至少有一人被选中的选法共7种，分别为：am，an，bm，bn，cm，cn，mn；设“学生代表m，n至少有一人被选中”为事件d，p（d）=； （11分）学生代表m，n至少有一人被选中的概率为；（）0.0110+0.210=0.30.5，0.3+0.02510=0.550.5，样本的中位数落在区间70，80）内（13分）点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目17（14分）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd为菱形，bad=60，平面sad平面abcd，sa=sd，e，p，q分别是棱ad，sc，ab的中点（）求证：pq平面sad；（）求证：ac平面seq；（）如果sa=ab=2，求三棱锥sabc的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）取sd中点f，连结af，pf证明pqaf利用直线与平面平行的判定定理证明pq平面sad（）连结bd，证明sead推出se平面abcd，得到seac证明eqac，然后证明ac平面seq（）求出sabc，se=说明se平面abc，然后去三棱锥sabc的体积解答：（）证明：取sd中点f，连结af，pf因为 p，f分别是棱sc，sd的中点，所以 fpcd，且fp=cd又因为菱形abcd中，q是ab的中点，所以 aqcd，且aq=cd所以 fpaq且fp=aq所以 aqpf为平行四边形所以 pqaf又因为 pq平面sad，af平面sad，所以 pq平面sad（5分）（）证明：连结bd，因为sad中sa=sd，点e棱ad的中点，所以 sead又 平面sad平面abcd，平面sad平面abcd=ad，se平面sad，所以 se平面abcd，所以seac因为 底面abcd为菱形，e，q分别是棱ad，ab的中点，所以 bdac，eqbd所以 eqac，因为 seeq=e，所以 ac平面seq （11分）（）解：因为菱形abcd中，bad=60，ab=2，所以sabc=abbcsinabc=因为sa=ad=sd=2，e是ad的中点，所以se=由（）可知se平面abc，所以三棱锥sabc的体积 v=sabcse=1 （14分）点评：本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，棱锥的体积的求法，考查计算能力18（13分）已知函数（）求函数f（x）的极小值；（）过点b（0，t）能否存在曲线y=f（x）的切线，请说明理由考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（）求出函数的导数，令导数为0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极小值；（）假设存在切线，设切点坐标为（m，n），求出导数，求得切线的方程，代入点（0，t），得到t=1求出右边函数的导数，求得单调区间和极值，也为最值，即可判断切线是否存在解答：解：（）函数的定义域为r因为函数，所以f（x）=令f（x）=0，则x=0x（，0）0（0，+）f（x）0+f（x）极小值所以f（x）极小值为f（0）=01+=0； （）假设存在切线，设切点坐标为（m，n），则切线方程为yn=f（m）（xm），即y（m1+）=（1em）（xm），将b（0，t）代入得t=1方程t=1有解，等价于过点b（0，t）作曲线f（x）的切线存在令m（x）=1，所以m（x）=当m（x）=0，x=0，所以 当x0时，以m（x）0，函数以m（x）在（，0）上单调递增；当x0时，m（x）0，m（x）在（0，+）上单调递减所以当x=0时，m（x）max=m（0）=0，无最小值当t0时，方程t=1有解；当t0时，方程t=1无解综上所述，当t0时存在切线；当t0时不存在切线点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，运用函数和方程转化思想是解题的关键19（14分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：=1（ab0）的一个顶点为a（2，0），离心率为（）求椭圆c的标准方程；（）直线l过点a，过o作l的平行线交椭圆c于p，q两点，如果以pq为直径的圆与直线l相切，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利