北京市丰台区高考数学二模试卷 理（含解析）.doc

2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知a=x|x1，b=x|x22x0，则ab=（）ax|x0或x1bx|1x2cx|x0或x1dx|x02“a=0”是“复数z=a+bi（a，br）为纯虚数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3直线y=x+4与曲线y=x2x+1所围成的封闭图形的面积为（）abcd4函数f（x）=的所有零点的和等于（）a12b1c1d15某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（）a6bc3d6平面向量与的夹角是，且|=1，|=2，如果=+， =3，d 是bc的中点，那么|=（）ab2c3d67某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产a，b，c三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：产品名称abc天产值（单位：万元）42则每周最高产值是（）a30b40c47.5d52.58抛物线y2=4x的焦点为f，经过f的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a，与准线l交于点b，且akl于k，如果|af|=|bf|，那么akf的面积是（）a4b3c4d8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是10直线l的斜率是1，且过曲线（为参数）的对称中心，则直线l的方程是11已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的最小正周期是；如果f（x）的导函数是f（x），则f（）=12执行如图所示的程序框图，则输出的结果是13如图所示，abc内接于o，pa是o的切线，pbpa，be=pe=2pd=4，则pa=，ac=14已知非空集合a，b满足以下四个条件：ab=1，2，3，4，5，6，7；ab=；a中的元素个数不是a中的元素；b中的元素个数不是b中的元素（）如果集合a中只有1个元素，那么a=；（）有序集合对（a，b）的个数是三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15在abc中，a=30，bc=2，点d在ab边上，且bcd为锐角，cd=2，bcd的面积为4（）求cosbcd的值；（）求边ac的长16长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解a，b两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”（）请根据样本数据，分别估计a，b两班的学生平均每周上网时长的平均值；（）从a班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（）从a班、b班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望e17如图所示，在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1底面abcd，bdac于o，且aa1=oc=2oa=4，点m是棱cc1上一点（）如果过a1，b1，o的平面与底面abcd交于直线l，求证：lab；（）当m是棱cc1中点时，求证：a1odm；（）设二面角a1bdm的平面角为，当|cos|=时，求cm的长18已知数列an满足a1=10，an=（nn*），其前n项和为sn（）写出a3，a4；（）求数列的通项公式；（）求sn的最大值19已知椭圆c： +=1（ab0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点（）求椭圆c的标准方程；（）动点p在椭圆c上，直线l：x=4与x轴交于点n，pml于点m（m，n不重合），试问在x轴上是否存在定点t，使得ptn的平分线过pm中点，如果存在，求定点t的坐标；如果不存在，说明理由20已知函数f（x）= （a0）（）求函数f（x）的最大值；（）如果关于x的方程lnx+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；（）证明：当kn*且k2时，ln+lnk2015年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知a=x|x1，b=x|x22x0，则ab=（）ax|x0或x1bx|1x2cx|x0或x1dx|x0【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】求出集合b中不等式的解集，确定出集合b，找出既属于a又属于b的部分，即可求出两集合的并集【解答】解：由集合b中的不等式x22x0，即x（x2）0，解得：0x2，即b=x|0x2，又a=x|x1，则abx|x0，故选：d【点评】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2“a=0”是“复数z=a+bi（a，br）为纯虚数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】常规题型【分析】由于复数z=a+bi（a，br）为纯虚数，故a=0且b0，即“a=0”是“复数z=a+bi（a，br）为纯虚数”的必要不充分条件【解答】解：依题意，复数z=a+bi（a，br）为纯虚数，a=0且b0，“a=0”是“复数z=a+bi（a，br）为纯虚数”的必要不充分条件，故选b【点评】本题主要考查复数的基本概念，以及必要条件、充分条件的判断，是一道比较基础的题目3直线y=x+4与曲线y=x2x+1所围成的封闭图形的面积为（）abcd【考点】定积分在求面积中的应用【专题】导数的综合应用【分析】由题意，画出直线y=x+4与曲线y=x2x+1所围成的封闭图形，利用定积分求出面积【解答】解：直线y=x+4与曲线y=x2x+1所围成的封闭图形如图阴影部分，两个交点分别为（1，3），（3，7），其面积为=（）|=；故选：c【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，关键是利用定积分表示表示，然后计算4函数f（x）=的所有零点的和等于（）a12b1c1d1【考点】余弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】根据函数的零点即是方程的解，解方程即可【解答】解：当x0时，f（x）=1=0，解得x=1，当2x0时，f（x）=2cosx1=0，解得cosx=，x=，或x=，1=12所以所有零点的和等于12，故选：a【点评】本题考查了函数的零点定理和余弦函数的图象的性质，属于基础题5某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（）a6bc3d【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据题意，画出该三棱锥的直观图，利用图中数据，求出它的侧视图面积【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，该三棱锥的左视图为三角形，其面积为23=3故选：c【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出三棱锥的直观图，是基础题目6平面向量与的夹角是，且|=1，|=2，如果=+， =3，d 是bc的中点，那么|=（）ab2c3d6【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】平面向量及应用【分析】由已知，将所求用向量与表示，利用已知转化为求模以及数量积解答【解答】解：由已知， =+， =3，d 是bc的中点，那么=（）=（2）=；又平面向量与的夹角是，且|=1，|=2，所以（）2=1+4212cos=3，所以|=；故选：a【点评】本题考查了向量的加减运算和数量积的运算；属于基础题7某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产a，b，c三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：产品名称abc天产值（单位：万元）42则每周最高产值是（）a30b40c47.5d52.5【考点】简单线性规划【专题】图表型；不等式的解法及应用【分析】设出每周生产a，b产品的吨数，得到生产c成品的吨数，建立约束条件和目标函数，利用线性规划的知识即可得到结论【解答】解：设每周生产a产品x吨，b产品y吨，则生产c产品15xy吨，产值为z目标函数为z=4x+y+2（15xy）=2x+y+30，题目中包含的约束条件为：，即可行域如图所示：化目标函数z=2x+y+30为由图可知，当直线过b（0，15）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故选：d【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数是解决本题的关键，是中档题8抛物线y2=4x的焦点为f，经过f的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a，与准线l交于点b，且akl于k，如果|af|=|bf|，那么akf的面积是（）a4b3c4d8【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得akf为正三角形，f到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|ak|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案【解答】解：抛物线y2=4x的焦点f（1，0），准线为l：x=1，由抛物线的定义可得|af|=|ak|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|fk|=|af|，即有akf为正三角形，由f到l的距离为d=2，则|ak|=4，akf的面积是16=4故选：c【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是2【考点】基本不等式【专题】不等式【分析】由正实数x，y满足xy=3，得到y=，利用均值不等式求解【解答】解：由正实数x，y满足xy=3，得到y=，所以2x+y=2x+当且仅当x=时取等号所以2x+y的最小值是故答案为：【点评】本题主要考查均值不等式的应用，在高考中属常考题型10直线l的斜率是1，且过曲线（为参数）的对称中心，则直线l的方程是x+y5=0【考点】圆的参数方程【专题】坐标系和参数方程【分析】首先，将圆的参数方程化为普通方程然后，求解其对称中心，即圆心，再利用点斜式方程，确定直线方程【解答】解：根据曲线（为参数），得（x2）2+（y3）2=4，其对称中心为（2，3），根据点斜式方程，得y3=（x2），直线l的方程x+y5=0，故答案为：x+y5=0【点评】本题重点考查了圆的参数方程、直线的点斜式方程、圆的性质等知识属于中档题11已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的最小正周期是；如果f（x）的导函数是f（x），则f（）=1【考点】二倍角的余弦【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期求出f（x），可得f（）的值【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数f（x）的周期为=，f（x）的导函数是f（x）=2cos（2x+），故f（）=2cos=1，故答案为：；1【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换、正弦函数的周期性、求三角函数的导数，属于基础题12执行如图所示的程序框图，则输出的结果是【考点】循环结构【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=+的值，由裂项法即可求值【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=+的值由于s=+=1+=1=故答案为：【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题13如图所示，abc内接于o，pa是o的切线，pbpa，be=pe=2pd=4，则pa=4，ac=5【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；推理和证明【分析】利用切割线定理求pa，利用相交弦定理求出ce，即可求出ac【解答】解：由题意，pd=de=2，pa是o的切线，由切割线定理可得pa2=pdpb=28=16，pa=4，pbpa，ae=4，由相交弦定理可得ce=，ac=ae+ce=5故答案为：4；5【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础14已知非空集合a，b满足以下四个条件：ab=1，2，3，4，5，6，7；ab=；a中的元素个数不是a中的元素；b中的元素个数不是b中的元素（）如果集合a中只有1个元素，那么a=6；（）有序集合对（a，b）的个数是32【考点】排列、组合的实际应用；并集及其运算；交集及其运算【专题】集合；排列组合【分析】（）如果集合a中只有1个元素，则1a，6b，即6a，1b，即可推出a；（）分别讨论集合a，b元素个数，即可得到结论【解答】解：（）如果集合a中只有1个元素，若a=1，则不满足条件，若a=2，则b=1，3，4，5，6，7，含有6个元素，不满足条件若a=3，则b=1，2，4，5，6，7，含有6个元素，不满足条件若a=4，则b=1，2，3，5，6，7，含有6个元素，不满足条件若a=5，则b=1，2，3，4，6，7，含有6个元素，不满足条件若a=6，则b=1，2，3，4，5，7，含有6个元素，满足条件若a=7，则b=1，2，3，4，5，6，含有6个元素，不满足条件故a=6；（）若集合a中只有1个元素，则集合b中只有6个元素，则1a，6b，即6a，1b，此时有=1，若集合a中只有2个元素，则2a，5b，即5a，2b，则有=5，若集合a中只有3个元素，则集合b中只有4个元素，则3a，4b，即4a，3b，此时有=10，若集合a中只有4个元素，则集合b中只有3个元素，则4a，3b，即3a，4b，此时有=10，若集合a中只有5个元素，则集合b中只有2个元素，则5a，2b，即2a，5b，此时有=5，若集合a中只有6个元素，则集合b中只有1个元素，则6a，1b，即1a，6b，此时有=1，故有序集合对（a，b）的个数是1+5+10+10+1=32，故答案为：6；32【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15在abc中，a=30，bc=2，点d在ab边上，且bcd为锐角，cd=2，bcd的面积为4（）求cosbcd的值；（）求边ac的长【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）利用三角形面积公式表示出三角形bcd面积，把bc，cd以及已知面积代入求出sinbcd的值，即可确定出cosbcd的值；（）利用余弦定理列出关系式，把cd，bc，以及cosbcd的值代入求出db的值，利用勾股定理的逆定理确定出三角形acd为直角三角形，利用含30度直角三角形的性质求出ac的长即可【解答】解：（）bc=2，cd=2，sbcd=bccdsinbcd=4，sinbcd=bcd为锐角，cosbcd=；（）在bcd中，cd=2，bc=2，cosbcd=，由余弦定理得：db2=cd2+bc22cdbccosbcd=4+208=16，即db=4，db2+cd2=bc2，cdb=90，即acd为直角三角形，a=30，ac=2cd=4【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键16长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解a，b两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”（）请根据样本数据，分别估计a，b两班的学生平均每周上网时长的平均值；（）从a班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（）从a班、b班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望e【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列【专题】综合题；概率与统计【分析】（）求出a，b班样本数据的平均值，估计a，b两班的学生平均每周上网时长的平均值；（）从a班的样本数据中有放回地抽取2个数据，为“过度用网”的概率是，从而求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（）确定的取值，求出相应的概率，即可写出的分布列和数学期望e【解答】解：（）a班样本数据的平均值为（9+11+13+20+24+37）=19，由此估计a班学生每周平均上网时间19小时；b班样本数据的平均值为（11+12+21+25+27+36）=22，由此估计b班学生每周平均上网时间22小时 （）因为从a班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，所以从a班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为p= （）的可能取值为0，1，2，3，4p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=的分布列是：01234pe=0+1+2+3+4= 【点评】本题考查了平均数计算公式及概率计算，离散型随机变量的概率分布及期望值的求解，读懂茎叶图的数据是关键17如图所示，在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1底面abcd，bdac于o，且aa1=oc=2oa=4，点m是棱cc1上一点（）如果过a1，b1，o的平面与底面abcd交于直线l，求证：lab；（）当m是棱cc1中点时，求证：a1odm；（）设二面角a1bdm的平面角为，当|cos|=时，求cm的长【考点】二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据线面平行的性质定理即可证明lab；（）根据线面垂直的性质定理即可证明a1odm；（）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】证明：（）因为abcda1b1c1d1是棱柱，所以a1b1ba是平行四边形所以a1b1ab因为a1b1平面abcd，ab平面abcd，所以a1b1平面abcd因为平面a1bo平面abcd=l，所以la1b1所以lab（）因为dbac于o，如图建立空间直角坐标系因为aa1=4，且oc=2ao=4，所以o（0，0，0），c（4，0，0），a（2，0，0），a1（2，0，4）因为m是棱cc1中点，所以m（4，0，2）设d（0，b，0），所以=（4，b，2），=（2，0，4）所以=8+0+8=0所以a1odm（）设d（0，b，0），b（0，c，0），平面a1bd的法向量为=（x，y，z），又因为，所以，即因为bc，所以y=0，令z=1，则x=2，所以=（2，0，1）设m（4，0，h），所以=（4，b，h），设平面mbd的法向量为=（x，y，z），所以，即因为bc，所以y=0，令z=1，则x=，所以=（，0，1）又因为|cos|=，所以|cos|=，即=解得h=3或h=所以点m（4，0，3）或m（4，0，）所以cm=3或cm=【点评】本题主要考查空间直线垂直以及线面垂直平行的性质定理的应用，以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间二面角的常用方法18已知数列an满足a1=10，an=（nn*），其前n项和为sn（）写出a3，a4；（）求数列的通项公式；（）求sn的最大值【考点】分段函数的应用；数列的求和【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（）运用分段数列，先求a2，再去a3，a4；（）讨论当n为奇数时，运用等差数列的通项公式，当n为偶数时，运用奇数的结论，即可得到通项公式；（）分析奇数项和偶数项的单调性，可得到sn取最大值时n为偶数再由a2k+a2k10（kn*），求得k的最大值，结合等差数列和等比数列的求和公式计算即可得到所求值【解答】解：（）因为a1=10，所以a2=210，a3=1+log2a2=1+log2210=9，a4=29 （）当n为奇数时，an=1+log2an1=1+log2=an21，即anan2=1所以an的奇数项成首项为a1=10，公差为1的等差数列所以当n为奇数时，an=a1+（）（1）=当n为偶数时，an=所以an=（kn*），（）因为偶数项an=0，奇数项an=为递减数列，所以sn取最大值时n为偶数令a2k+a2k10（kn*），即211k+0所以211kk11得k11所以sn的最大值为s22=（210+29+21+20）+（10+9+0）=+（1+10）10=2102【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的单调性的运用，属于中档题19已知椭圆c： +=1（ab0）的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点（）求椭圆c的标准方程；（）动点p在椭圆c上，直线l：x=4与x轴交于点n，pml于点m（m，n不重合），试问在x轴上是否存在定点t，使得ptn的平分线过pm中点，如果存在，求定点t的坐标；如果不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由题意可得c=1，再由正三角形的高与边长的关系，可得b=，进而得到a，即可得到椭圆方程；（）假设存在点t，使得ptn的平分线过pm中点设p（x0，y0），t（t，0），pm中点为s由角平分线的定义和平行线的性质，再由两点的距离公式和p满足椭圆方程，化简整理，即可得到定点t【解答】解：（）由椭圆c的焦距2c=2，解得c=1，因为两个焦点与短轴的一个顶点构成正三角形，所以b=c=，a=2，所以椭圆c的标准方程为+=1； （）假设存在点