北京市五中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年北京五中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题1设集合u=0，1，2，3，4，5，a=1，2，b=xz|x25x+40，则u（ab）=（）a0，1，2，3b5c1，2，4d0，4，52已知ar，则“a2”是“a22a”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3已知|=2，|=3，|+|=，则|等于（）abcd4要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）a向左平移单位b向右平移单位c向左平移单位d向右平移单位5若abc 的三个内角a、b、c满足6sina=4sinb=3sinc，则abc（）a一定是锐角三角形b一定是直角三角形c一定是钝角三角形d可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）a3，3b2，2c1，1d，7如图，aob为等腰直角三角形，oa=1，oc为斜边ab的高，p为线段oc的中点，则=（）a1bcd8已知点a（0，1），曲线c：y=alnx恒过定点b，p为曲线c上的动点且的最小值为2，则a=（）a2b1c2d1二、填空题9写出命题p：x（，0），x2+x+10的否定p：10函数f（x）=ln（x2+2x+3）的单调减区间为11已知正数x，y满足x+2y=2，则+的最小值为12已知向量=（x2，x+1），=（1x，t），若函数f（x）=在区间（1，1）上是增函数，则t的取值范围为13已知tan（）=，tan=，且，（0，），则2的大小为14如图，正方形abcd的边长为2，o为ad的中点，射线op从oa出发，绕着点o顺时针方向旋转至od，在旋转的过程中，记aop为x（x0，），op所经过正方形abcd内的区域（阴影部分）的面积s=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：f（）=；任意x0，都有f（x）+f（+x）=4；任意x1，x2（，），且x1x2，都有0其中所有正确结论的序号是三、解答题（共80分）15在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足（）求角a的大小；（）若，求abc面积的最大值16已知向量=（sin（x+），cos（x+），=（sin（x+），cos（x），函数f（x）=，xr（）求函数y=f（x）的图象的对称中心坐标；（）将函数y=f（x）图象向下平移个单位，再向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，试写出y=g（x）的解析式并作出它在，上的图象17某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励（）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（）记x为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量x的分布列和数学期望18（14分）（2015秋北京校级期中）如图，在五面体abcdef中，四边形abcd是边长为4的正方形，efad，平面adef平面abcd，且bc=2ef，ae=af，g是ef的中点，ag=1（1）证明：ag平面abcd；（2）求直线bf与平面ace所成角的正弦值；（3）判断线段ac上是否存在一点m，使mg平面abf？若存在，求出的值；若不存在，说明理由19已知函数f（x）=x2（a2a）lnxx（a）（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=a2lnx2x，若f（x）g（x）对x1恒成立，求a的取值范围20设集合s=1，2，3，n（nn*，n2），a，b是s的两个非空子集，且满足集合a中的最大数小于集合b中的最小数，记满足条件的集合对（a，b）的个数为pn（1）求p2，p3的值；（2）求pn的表达式2015-2016学年北京五中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设集合u=0，1，2，3，4，5，a=1，2，b=xz|x25x+40，则u（ab）=（）a0，1，2，3b5c1，2，4d0，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】求出集合b中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出b，求出a与b的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【解答】解：集合b中的不等式x25x+40，变形得：（x1）（x4）0，解得：1x4，b=2，3，a=1，2，ab=1，2，3，集合u=0，1，2，3，4，5，（ab）=0，4，5故选d【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2已知ar，则“a2”是“a22a”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式【专题】常规题型【分析】我们分别判断“a2”“a22a”与“a22a”“a2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案【解答】解：当“a2”成立时，a22a=a（a2）0“a22a”成立即“a2”“a22a”为真命题；而当“a22a”成立时，a22a=a（a2）0即a2或a0a2不一定成立即“a22a”“a2”为假命题；故“a2”是“a22a”的充分非必要条件故选a【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，即若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件3已知|=2，|=3，|+|=，则|等于（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】|+|222+2，整体求解2=6，运用|2=22，得出|【解答】解： |=2，|=3，|+|=，2=6，|2=22=4+96=7，|=，故选：d【点评】本题考查了平面向量的运算，关键是运用好向量的平方和向量模的平方的关系，属于容易题4要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）a向左平移单位b向右平移单位c向左平移单位d向右平移单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可【解答】解：因为函数y=sin（4x）=sin4（x），要得到函数y=sin（4x）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位故选：b【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点5若abc 的三个内角a、b、c满足6sina=4sinb=3sinc，则abc（）a一定是锐角三角形b一定是直角三角形c一定是钝角三角形d可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题；解三角形【分析】根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角c的余弦等于，从而得到abc是钝角三角形，得到本题答案【解答】解：角a、b、c满足6sina=4sinb=3sinc，根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosc=c是三角形内角，得c（0，），由cosc=0，得c为钝角因此，abc是钝角三角形故选：c【点评】本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题6设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）a3，3b2，2c1，1d，【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，目标函数z=几何意义为区域内的点与d（2，0）的斜率，过（1，2）与（2，0）时斜率最小，过（1，2）与（2，0）时斜率最大，z最小值=，z最大值=，故选：d【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法7如图，aob为等腰直角三角形，oa=1，oc为斜边ab的高，p为线段oc的中点，则=（）a1bcd【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得oc=，op=，aop=45，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得ab=，oc=，op=，aop=45，则=（）=（）21=故选：b【点评】本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题8已知点a（0，1），曲线c：y=alnx恒过定点b，p为曲线c上的动点且的最小值为2，则a=（）a2b1c2d1【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】运用对数函数的图象特点可得b（1，0），设p（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=xalnx+1，x（0，+）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断【解答】解：曲线c：y=alnx恒过点b，则令x=1，可得y=0，即b（1，0），又点a（0，1），设p（x，alnx），则=f（x）=xalnx+1，由于f（x）=xalnx+1在（0，+）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点f（x）=1=，a0，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a0，x（0，a）时，f（x）0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+）是增函数，有最小值为f（a）=2，即aalna+1=2，解得a=1；故选d【点评】本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a二、填空题9写出命题p：x（，0），x2+x+10的否定p：x（，0），x2+x+10【考点】命题的否定【专题】转化思想；定义法；简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定为：x（，0），x2+x+10，故答案为：x（，0），x2+x+10【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础10函数f（x）=ln（x2+2x+3）的单调减区间为（1，3）【考点】对数函数的图像与性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由二次函数和对数函数的单调性，结合函数的定义域可得【解答】解：由x2+2x+30可得1x3，由二次函数单调性可得t=x2+2x+3在（1，+）单调递减，由复合函数单调性可得f（x）=ln（x2+2x+3）的单调减区间为（1，3）故答案为：（1，3）【点评】本题考查对数函数和二次函数的单调性，属基础题11已知正数x，y满足x+2y=2，则+的最小值为9【考点】基本不等式【专题】整体思想；综合法；不等式【分析】整体代入可得+=（x+2y）（+）=（10+），由基本不等式可得【解答】解：正数x，y满足x+2y=2，+=（x+2y）（+）=（10+）（10+2）=9当且仅当=即x=且y=时取等号故答案为：9【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题12已知向量=（x2，x+1），=（1x，t），若函数f（x）=在区间（1，1）上是增函数，则t的取值范围为t5【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质【专题】导数的概念及应用；平面向量及应用【分析】由数量积可得f（x），求导数可化问题为t3x22x在（1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论【解答】解： =（x2，x+1），=（1x，t），f（x）=x2（1x）+t（x+1）=x3+x2+tx+1，f（x）=3x2+2x+t，函数f（x）=在区间（1，1）上是增函数，f（x）=3x2+2x+t0在（1，1）上恒成立，t3x22x在（1，1）上恒成立，而函数y=3x22x，x（1，1）的值域为，5）t5故答案为：t5【点评】本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题13已知tan（）=，tan=，且，（0，），则2的大小为【考点】两角和与差的正切函数【专题】函数思想；整体思想；综合法；三角函数的求值【分析】由已知条件和正切公式可得所求角的正切值，缩小角的范围可得【解答】解：tan（）=，tan（22）=，又tan=，tan（2）=tan（22）+=1，（0，），tan=（，0），（，），再由tan（）=（0，）可得（）（0，）或（，）2（）（0，）或（2，），2=2（）+（，）或（，），结合tan（2）=1可知2=故答案为：【点评】本题考查两角和与差的正切公式，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题14如图，正方形abcd的边长为2，o为ad的中点，射线op从oa出发，绕着点o顺时针方向旋转至od，在旋转的过程中，记aop为x（x0，），op所经过正方形abcd内的区域（阴影部分）的面积s=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：f（）=；任意x0，都有f（x）+f（+x）=4；任意x1，x2（，），且x1x2，都有0其中所有正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】当0xarctan2时，f（x）=；当arctan2x，在obe中，f（x）=s矩形oabmsome=2；当x=时，f（x）=2；当xarctan2时，同理可得f（x）=2当arctan2x时，f（x）=4=4+即可判断出【解答】解：当0xarctan2时，f（x）=；当arctan2x，在obe中，f（x）=s矩形oabmsome=2=2；当x=时，f（x）=2；当xarctan2时，同理可得f（x）=2当arctan2x时，f（x）=4=4+于是可得：=，正确；由图形可得：x0，），f（x）+f（x）=4，因此对任意x0，都有f（x）+f（+x）=4，故正确；不妨设x1x2，则0f（x1）f（x2），显然不正确综上只有：正确故答案为：【点评】本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共80分）15在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足（）求角a的大小；（）若，求abc面积的最大值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题【分析】（i）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果（ii）利用余弦定理写成关于角a的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值【解答】解：（），所以（2cb）cosa=acosb由正弦定理，得（2sincsinb）cosa=sinacosb整理得2sinccosasinbcosa=sinacosb2sinccosa=sin（a+b）=sinc在abc中，sinc0，（）由余弦定理，b2+c220=bc2bc20bc20，当且仅当b=c时取“=”三角形的面积三角形面积的最大值为【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用16已知向量=（sin（x+），cos（x+），=（sin（x+），cos（x），函数f（x）=，xr（）求函数y=f（x）的图象的对称中心坐标；（）将函数y=f（x）图象向下平移个单位，再向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，试写出y=g（x）的解析式并作出它在，上的图象【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；平面向量数量积的运算【分析】（）利用平面向量的数量积的坐标运算可求得y=f（x）的解析式，利用正弦函数的性质可求得其对称中心坐标；（）依题意，可求得g（x）=sin（2x+），通过列表，描点可作出它在，上的图象【解答】解：（）f（x）=cos（x+）cos（x）=（1+sin2x）cos2x=sin（2x）+，（4分）由sin（2x）=0得：2x=k，kz，x=k+，kzf（x）的图象的对称中心坐标为（k+，），kz （6分）（）令h（x）=f（x），则h（x）=sin（2x），g（x）=h（x+）=sin2（x+）=sin（2x+），列表：，描点、连线得函数y=g（x）在，上的图象如图所示：（12分）【点评】本题考查函数y=asin（x+）的图象变换，考查平面向量的数量积的坐标运算，考查列表作图能力，属于中档题17某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励（）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（）记x为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】应用题；概率与统计【分析】（）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有种，基本事件的个数为1+，然后代入等可能事件的概率公式可求（）随机变量x的所有取值为0，5，10，15，20，分别求出x取各个值时的概率即可求解随机变量x的分布列及期望【解答】（）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件a，则共有基本事件：1+=16个，则a事件包含基本事件的个数为=6个，则 p（a）=，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（）解：随机变量x的所有取值为0，5，10，15，20， 所以，随机变量x的分布列为：x05101520p【点评】本题主要考查了随机变量的概率分布列及期望值的求解，解题的关键是每种情况下的概率求解18（14分）（2015秋北京校级期中）如图，在五面体abcdef中，四边形abcd是边长为4的正方形，efad，平面adef平面abcd，且bc=2ef，ae=af，g是ef的中点，ag=1（1）证明：ag平面abcd；（2）求直线bf与平面ace所成角的正弦值；（3）判断线段ac上是否存在一点m，使mg平面abf？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；数形结合；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用【分析】（1）根据等腰三角形agef推证 agad，ag平面abcd，线面的转化 agcd（2）以a为原点，以ab，ad，ag分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，可求平面ace的法向量为=（1，1，1）即可求解bf与平面ace所成角的正弦值为|cos，|=（3）根据中点推证gfmn，gf=mn四边形gfnm是平行四边形 由直线平面平行的判定定理推证gm平面abf；【解答】解：（1）证明：因为ae=af，点g是ef的中点，所以agef（1分）又因为efad，所以agad（2分）因为平面adef平面abcd，平面adef平面abcd=ad，ag平面adef，所以ag平面abcd（4分）（2）解：因为ag平面abcd，abad，所以ag、ad、ab两两垂直以a为原点，以ab，ad，ag分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系则a（0，0，0），b（4，0，0），c（4，4，0），由于ag=1，则e（0，1，1），f（0，1，1），所以=（4，1，1），=（4，4，0），=（0，1，1）（8分）设平面ace的法向量为=（x，y，z），由=0， =0，得，令z=1，得=（1，1，1）因为bf与平面ace所成角的正弦值为|cos，|=，所以直线bf与平面ace所成角的正弦值为（10分）（3）存在点m在线段ac上，且，使得：gm平面abf证明：如图，过点m作mnbc，且交ab于点n，连结nf，因为，所以，因为 bc=2ef，点g是ef的中点，所以 bc=4gf，又因为 efad，四边形abcd为正方形，所以 gfmn，gf=mn所以四边形gfnm是平行四边形所以 gmfn又因为gm平面abf，fn平面abf，所以 gm平面abf【点评】本题考查了空间几何体的性质，空间直线的位置关系，直线平面的平行关系，掌握好定理，转化直线的为关系判断即可，属于中档题19已知函数f（x）=x2（a2a）lnxx（a）（1）若函数f（x）在2处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=a2lnx2x，若f（x）g（x）对x1恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）首先通过f（x）在2处取得极值求出a，然后对f（x）求导，得到x=1处的导数，从而得到切线斜率；（2）令f（x）=0，讨论a的范围；（3）整理f（x）g（x），分离a与x，构造h（x）=，通过求导求h（x）的最小值，只要3a2ah（x）min即可【解答】解：（1）由f（x）=x1，f（2）=0，得a=1或a=2（舍去）经检验当a=1时，函数f（x）在2处取得