高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系本章测评 新人教A版必修2.doc

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() a.平行b.相交c.平行或相交d.不相交解析:棱台的各条侧棱所在直线相交于一个公共点,而这个公共点在棱台的侧面的各个平面内,即这条侧棱所在直线与其他各个侧面所在平面都有一个公共点,故选b.答案:b2.如图,=l,a,b,abl=d,c,cl,则平面abc与平面的交线是()a.直线acb.直线abc.直线cdd.直线bc解析:dl,l,d.又c,cd;同理,cd平面abc,平面abc平面=cd.故选c.答案:c3.异面直线a,b分别在平面,内,若=l,则直线l必定()a.分别与a,b相交b.与a,b都不相交c.至少与a,b中一条相交d.至多与a,b中一条相交解析:假设al,bl,则ab,这与a,b异面矛盾.又a与l共面,b与l共面,所以l至少与a,b中的一条相交.答案:c4.bc是rtabc的斜边,pa平面abc,pdbc于点d,则图中共有直角三角形的个数是()a.8b.7c.6d.5解析:因为pa平面abc,所以pabc.因为pdbc,papd=p,所以bc平面pad,所以adbc.图中直角三角形有pac,pad,pab,abc,pdc,pdb,adc,adb,共8个.答案:a5.导学号96640066如图,在四边形abcd中,adbc,ad=ab,bcd=45,bad=90,将abd沿bd折起,使平面abd平面bcd,构成四面体abcd,则在四面体abcd中,下列结论正确的是()a.平面abd平面abcb.平面adc平面bdcc.平面abc平面bdcd.平面adc平面abc解析:易知:在bcd中,在dbc=45,bdc=90.又平面abd平面bcd,而cdbd,cd平面abd,abcd,而abad,ab平面acd,平面abc平面acd.答案:d6.在等腰直角三角形abc中,ab=bc=1,m为ac的中点,沿bm把它折成二面角,折后a与c的距离为1,则二面角c-bm-a的大小为()a.30b.60c.90d.120解析:如图,由ab=bc=1,abc=90知ac=.m为ac的中点,mc=am=,且cmbm,ambm,cma为二面角c-bm-a的平面角.ac=1,mc=ma=,cma=90,故选c.答案:c8.设,为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()a.若,=n,mn,则mb.若m,n,mn,则c.若m,n,mn,则d.若n,n,m,则m解析:选项a的已知条件中加上m,那么命题就是正确的,也就是面面垂直的性质定理.选项b错误,容易知道两个平面内分别有一条直线平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项c错误,因为两个平面各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平面垂直.选项d正确,由n,n可得,又因为m,所以m.答案:d9.已知:平面平面,=l,在l上取线段ab=4,ac,bd分别在平面和平面内,且acab,dbab,ac=3,bd=12,则cd的长度为()a.13b.c.12d.15解析:如图,连接ad.,ac,db.在rtabd中,ad=4.在rtcad中,cd=13.答案:a10.如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱aa1底面a1b1c1,底面三角形a1b1c1是正三角形,e是bc中点,则下列叙述正确的是()a.cc1与b1e是异面直线b.ac平面abb1a1c.ae,b1c1为异面直线,且aeb1c1d.a1c1平面ab1e解析:由已知ac=ab,e为bc中点,则aebc.bcb1c1,aeb1c1,故c正确.答案:c11.如图,在正四棱锥s-abcd(顶点s在底面abcd上的射影是正方形abcd的中心)中,e是bc的中点,点p在侧面scd内及其边界上运动,并且总是保持peac.则动点p的轨迹与scd组成的相关图形最有可能是图中的()解析:如图,连接bd与ac相交于点o,连接so,取sc的中点f,取cd的中点g,连接ef,eg,fg,因为e,f分别是bc,sc的中点,所以efsb,ef平面sbd,sb平面sbd,所以ef平面sbd,同理可证eg平面sbd,又efeg=e,所以平面efg平面sbd.由题意得so平面abcd,acso,因为acbd,又sobd=o,所以ac平面sbd,所以ac平面efg,所以acgf,所以点p在直线gf上.答案:a二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.设平面平面,a,c,b,d,直线ab与cd交于点s,且点s位于平面,之间,as=8,bs=6,cs=12,则sd=.解析:如图所示,则直线ab,cd确定一个平面acbd.,acbd,解得sd=9.答案:914.如图所示,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧棱垂直于底面,当四边形a1b1c1d1满足条件时,有a1cb1d1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).解析:由题意可知cc1平面a1b1c1d1,所以cc1b1d1,要使得b1d1a1c,只要b1d1平面a1cc1.所以只要b1d1a1c1.此题还可以填写四边形a1b1c1d1是菱形、正方形等条件.答案:b1d1a1c1(或a1b1c1d1是正方形等,答案不唯一)15.已知在菱形abcd中,ab=2,a=120,沿对角线bd将abd折起使二面角a-bd-c为120,则点a到bcd所在平面的距离为.解析:设acbd=o,则翻折后aobd,cobd,即aoc即为二面角的平面角,所以aoc=120,且ao=1,故d=1sin 60=.答案:16.如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,p为bc的中点,q为线段cc1上的动点,过点a,p,q的平面截该正方体所得的截面记为s.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).当0cq时,s为四边形当cq=时,s为等腰梯形当cq=时,s与c1d1的交点r满足c1r=当cq1时,s为六边形当cq=1时,s的面积为解析:当cq=时,d1q2=d1+c1q2,ap2=ab2+bp2,所以d1q=ap.又因为ad1pq,ad1=2pq,所以正确;当0cq时,截面为apqm,所以为四边形,故也正确,如图所示.图如图,当cq=时,由qcnqc1r得,即,c1r=,故正确.图如图所示,当cq=1时,截面为apc1e.可知ac1=,ep=且apc1e为菱形,故正确.当cq1时,截面为五边形apqmf.所以错误.图答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2016安徽宿州高二期中)如图,在矩形abcd中,ab=2bc,p,q分别为线段ab,cd的中点,ep平面abcd.(1)求证:aq平面cep;(2)求证:平面aeq平面dep.解:(1)在矩形abcd中,ap=pb,dq=qc,apcq.aqcp为平行四边形.cpaq.cp平面cep,aq平面cep,aq平面cep.(2)ep平面abcd,aq平面abcd,aqep.ab=2bc,p为ab中点,ap=ad.连接pq,adqp为正方形.aqdp.又epdp=p,aq平面dep.aq平面aeq.平面aeq平面dep.18.(本小题满分12分)(2016宁夏石嘴山高一期末)已知直三棱柱abc-abc满足bac=90,ab=ac=aa=2,点m,n分别为ab,bc的中点.(1)求证:mn平面aacc;(2)求证:an平面bcn.(3)求三棱锥c-mnb的体积.(1)证明:如图,连接ab,ac.四边形abba为矩形,m为ab的中点,ab与ab交于点m,且m为ab的中点,又点n为bc的中点,mnac,mn平面aacc,且ac平面aacc,mn平面aacc.(2)证明:ab=ac,点n为bc的中点,anbc.又bb平面abc,anbb,bc平面bcn,bb平面bcn,且bcbb=b,an平面bcn.(3)解:取bn的中点d,连接md,则mdan.由(1)知an平面bcn,md平面bcn.bac=90,bc=2.又三棱柱abc-abc为直三棱柱,且aa=4,sbcn=24=4.ab=ac=2,bac=90,点n为bc的中点,an=,m到平面bcn的距离为,vc-mnb=vm-bcn=4.19.(本小题满分12分)(2016山西临汾高二期中)如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,底面abcd为直角梯形,abad,abcd,cd=ad=2ab=2ap.(1)求证:平面pcd平面pad;(2)在侧棱pc上是否存在点e,使得be平面pad,若存在,确定点e位置;若不存在,说明理由.(1)证明:pa平面abcd,pacd.又abad,abcd,cdad.由可得cd平面pad.又cd平面pcd,平面pcd平面pad.(2)解:当点e是pc的中点时,be平面pad.证明如下:设pd的中点为f,连接ef,af,易得ef是pcd的中位线,efcd,ef=cd.由题设可得abcd,ab=cd,efab,ef=ab,四边形abef为平行四边形,beaf.又be平面pad,af平面pad,be平面pad.20.(本小题满分12分)(2015浙江台州高二期末)如图,已知ae平面cde,四边形abcd为正方形,m,n分别是线段be,de的中点.(1)求证:mn平面abcd;(2)若,求ec与平面ade所成角的正弦值.(1)证明:连接线段bd.在bde中,m,n分别是线段be,de的中点,mn为中位线,则mnbd.又mn平面abcd,bd平面abcd,mn平面abcd.(2)解:连接线段ac.四边形abcd为正方形,cdad.又ae平面cde,cdae,且adae=a,cd平面ade.ec与平面ade所成角的平面角即为ced.在ace中,令ae=a,ce=2a,则ac=a,cd=a.在cde中,sinced=.ec与平面ade所成角的正弦值为.21.(本小题满分12分)(2016河北唐山高二期中)如图,三棱柱abc-a1b1c1的底面abc是等腰直角三角形,ab=ac=1,侧棱aa1底面abc,且aa1=2,e是bc的中点.(1)求异面直线ae与a1c所成角的余弦值;(2)求直线a1c与平面bcc1b1所成角的正切值.解:(1)在三棱柱abc-a1b1c1中,取c1b1的中点h,连a1h与hc.e是bc的中点,a1hae,ca1h是异面直线ae与a1c所成角.底面abc是等腰直角三角形,e是bc的中点,aebc,a1hbc.侧棱aa底面abc,侧棱b1ba1h,a1h平面bcc1b1,a1hhc.在rta1hc中,cosca1h=.(2)由(1)知a1h平面bcc1b1,a1c在平面bcc1b1上的射影是hc,a1ch是直线a1c与平面bcc1b1所成角,在rta1hc中,tana1ch=.22.导学号96640068(本小题满分12分)(2015山东临沂高一期末)如图,在四棱锥p-abcd中,abcd是正方形,pd平面abcd,pd=ad=2,e,f,g分别是pc,pd,bc的中点.(1)求四棱锥p-abcd的体积;(2)求证:平面pab平面efg;(3)在线段pb上确定一点m,使pc平面adm,并给出证明.(1)解:pd平面abcd,vp-abcd=sabcdpd=222=.(2)证明:e,f分别是线段pc,pd的中点,efcd.又abcd为正方形,abcd,efab,