吉林省东北师范大学附属中学高中数学 4.1.2第二讲 相似三角形的判定与性质教案 新人教版选修4.doc

第二讲 相似三角形的判定与性质教学目标知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，证明直角三角形射影定理。过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点相似三角形的判定定理、性质定理等等。教学难点相似三角形的判定定理、性质定理等等。课时3课时一基础知识回顾1、如图15-14，abc中，1=b，则 此时若ad=3，bd=2，则ac= 答案: acd，abc，； 2、两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为 答案:.3、如图15-15，cd是rtabc的斜边上的高（1）若ad=9，cd=6，则bd= ；（2）若ab=25，bc=15，则bd= 答案:4；9.4、如图15-16，已知1=2，请补充条件： （写一个即可），acb图15-16e12acbd1图15-14使得abcadeabcd图15-15d答案:b=d（或c=e，或）二典型例题讲解例1如图15-17，a、b、c、d在一条直线上，eaad，垂足为a，ab=bc=cd=ae求证：bcebedabcde图15-17 分析：bce与bed有一个公共角，因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公共角的两边成比例 证明：设ab=a，在rtabe中，ab=ae=a， be=a 在bce和bed中， ， 又cbe=ebd， bcebed 评析：三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定夹这个角的两边是否对应成比例；若无角对应相等，就证明三边对应成比例例2如图15-18，e，f分别是正方形abcd的边ab和ad上的点，且求证：aef=fbd分析：aef是rtaef的一个锐角，因此要证明aef=fbd，可以通过证明abcdmfe图15-18 三角形相似得到证明：过点f作fmbd于点m设正方形的边长为a，则bd=a ，eb=af=a，ae=df=a 在rtdmf中，em=dm=df=a， bm=aa=a 在rtaef和rtmbf中， ， a=bmf=90， aefmbfaef=fbd评析：本题的难点是构造含aef和fbd的相似三角形在含正方形的有关证明中，常借助正方形的性质采用计算法证明abdcefgh图15-19例3如图15-19，ad、be是abc的两条高，dfab，垂足为f，直线fd交be于点g，交ac的延长线于h求证：df2=gfhf分析：由于df，gf，hf三条线段在同一条直线上，因此想直接得到关系式比较困难，考虑用第三个量作代换证明：在afh与gfb中， hbac=90，gbfbac=90， h=gbfafh=gfd=90，afhgfb ，afbf=gfhf 在rtabd中，fdab， df2=afbfdf2=gfhf评析：本题涉及两个基本图形：含斜边上高的直角三角形，含两条高的锐角三角形含两条高的锐角三角形是相似形中的基本图形，图中有多对相似三角形，在解题时要充分利用图形提供的有效信息，选择有用的条件和结论另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的应用，在解题中使用十分频繁三精选试题演练1、已知，如图15-20，在平行四边形abcd中，db是对角线，e是ab上一点，连结ce且延长和da的延长线交于f，则图中相似三角形的对数是（ ）a2 b3 c4 d大于4答案: d. 2、如图15-21，已知abc中，bc=30，高ad=18，efgh是abc的内接矩形，ef=12，则gf=（ ）a7.2 b10.8 c12 d9 答案:b. afebcgd图15-20图15-21abcdefghadecbfg图15-223、如图15-22，edfgbc，且de，fg把abc的面积分为相等的三部分，若bc=15，则fg的长为（ ）a5 b10 c4 d7.5答案:a. 4、如图15-23，已知矩形abcd中，aef=90，则下列结论一定正确的是（ ）abcdef图15-23dacbe图15-24aabfaef babfcef ccefdae dadeaef 答案:c. 5、如图15-24，在rtabc中，c=90，d是bc中点，deab，垂足为e，b=30，ae=7求de的长答案:.6、如图15-25，四边形acbd中，e是cd上一点，且dab=eac，dba=eca求证：adeabc提示：先证明abdace，可得，再证明dae=bac；图15-25dacbe图15-26cambd7、如图15-26，在abc中，acb=90，m是bc的中点，cdam，垂足为d求证：ambbmd提示：由直角三角形射影定理得cm2=dmam，从而有bm2= dmam，即，又amb是公共角，可得结论；8、如图15-27，已知rtabc中，c=90，ac=3cm，bc=4cm，在该直角三角形中作内接正方形，使其顶点均在abc的边上，求正方形的边长acb图15-27提示：要分两种情况，（1）正方形的一个顶点在斜边上，一个顶点与c点重合，正方形的边长为cm；（2）正方形的一条边在斜边上，正方形的边长为cm；9、如图15-28，已知直角梯形abcd中，a=b=90，设ab=a，ad=b，bc=2b，作dedc，交ab于点e，连结ec（1）对于dce与ade；ade与bce，试判断各组的三角形是否一定相似；（2）如果两个三角形一定相似，请加以证明；（3）如果不一定相似，请指出它们相似时，a，b应满足什么关系aedcb图15-28答案:（1）dce与ade一定相似，ade与bce不一定相似；（2）提示：作dfbc，垂足为f，利用rtadertfdc得到，则ae=，用勾股定理可以计算得ed=，从而可以得到，可以证得rtdce与rtade；（3）提示：利用相似三角形的对应边成比例可以计算得，当adebce时，a=四教学反思相似三角形的定义、判定和性质是初