中考数学二轮复习 专题七 归纳猜想型问题.doc

归纳猜想型问题一、中考专题诠释归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。归纳猜想型问题也是规律探索型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论类型有“数字规律”“数式规律”“图形规律”等题型二、解题策略和解法精讲归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊一般特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。三、中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。例1（2015山东日照 ，第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）a36. b45 c55 d66考点：完全平方公式专题：规律型分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可解答：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第9个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第10个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b）10的展开式第三项的系数为45故选b点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键对应训练1（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），现有等式am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如a7=（2，3），则a2015=（）a（31，50）b（32，47）c（33，46）d（34，42）考点：规律型：数字的变化类分析：先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可解答： 2015是第=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+（2n1）1008，即1008，解得：n，当n=31时，1+3+5+7+61=961；当n=32时，1+3+5+7+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：210241=2047，第32组的第一个数为：29621=1923，则2015是（+1）=47个数故a2015=（32，47）故选b点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。例2 图”中的“”的个数，若第n个“龟图”中有245个“”，则n=（） a14. b15 c16 d17考点：规图形的变化类专题：律型：分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n1）+5据此可以再求得“龟图”中有245个“”是n的值解答：第一个图形有：5个，第二个图形有：21+5=7个，第三个图形有：32+5=11个，第四个图形有：43+5=17个，由此可得第n个图形有：n（n1）+5个，则可得方程：n（n1）+5=245解得：n1=16，n2=15（舍去）故选：c点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形对应训练2（2015甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，依此类推，那么第9个三角形数是 45 ，2016是第 63 个三角形数考点：数字的变化类专题：规律型：分析：根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+n，由此代入分别求得答案即可解答：解：第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+n=2016，n（n+1）=4032，解得：n=63故答案为：45，63点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题考点三：猜想坐标变化规律例3(2015河南，第8题3分)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆o1，o2，o3， 组成一条平滑的曲线，点p从原点o出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点p的坐标是（ ） a.（2014,0） b.（2015，-1） c. （2015,1） d. （2016,0）po第8题o1xyo2o3【答案】b【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.半圆的半径r=1，半圆长度=， 第2015秒点p运动的路径长为：2015， 2015=10071，点p位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方.此时点p的横坐标为：10082-1=2015，纵坐标为-1，点p(2015，-1) .对应训练3（2015浙江衢州,第15题4分）已知，正六边形在直角坐标系的位置如图所示，点在原点，把正六边形沿轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60，经过2015次翻转之后，点的坐标是 .【答案】【考点】探索规律题（图形的变化类-循环问题）；正六边形的性质；含30度角角三角形的性质 【分析】如答图，根据翻转的性质，每6次为一个循环组依次循环。，经过2015次翻转之后，为第336个循环组的第5步.，在中，.在中，.的横坐标为，纵坐标为.经过2015次翻转之后，点的坐标是考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。例4 （2015安徽省,第13题，5分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 考点：规律型：数字的变化类分析：首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可解答：解：2122=23，2223=25，2325=28，2528=213，x、y、z满足的关系式是：xy=z故答案为：xy=z点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征对应训练4（2015安徽, 第13题5分）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是 考点：规律型：数字的变化类分析：首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可解答：解：2122=23，2223=25，2325=28，2528=213，x、y、z满足的关系式是：xy=z故答案为：xy=z点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征 考点五：猜想变化情况随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。例5 （2015山东威海，第12 题3分）如图，正六边形a1b1c1d1e1f1的边长为2，正六边形a2b2c2d2e2f2的外接圆与正六边形a1b1c1d1e1f1的各边相切，正六边形a3b3c3d3e3f3的外接圆与正六边形a2b2c2d2e2f2的各边相切，按这样的规律进行下去，a10b10c10d10e10f10的边长为（）a. b c d考点：正多边形和圆专题：规律型分析：连结oe1，od1，od2，如图，根据正六边形的性质得e1od1=60，则e1od1为等边三角形，再根据切线的性质得od2e1d1，于是可得od2=e1d1=2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形a2b2c2d2e2f2的边长=2，同理可得正六边形a3b3c3d3e3f3的边长=（）22，依此规律可得正六边形a10b10c10d10e10f10的边长=（）92，然后化简即可解答：连结oe1，od1，od2，如图，六边形a1b1c1d1e1f1为正六边形，e1od1=60，e1od1为等边三角形，正六边形a2b2c2d2e2f2的外接圆与正六边形a1b1c1d1e1f1的各边相切，od2e1d1，od2=e1d1=2，正六边形a2b2c2d2e2f2的边长=2，同理可得正六边形a3b3c3d3e3f3的边长=（）22，则正六边形a10b10c10d10e10f10的边长=（）92=故选d点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆记住正六边形的边长等于它的半径对应训练5(2015湖南株洲,第16题3分)“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为，孔明只记得公式中的s表示多边形的面积，和中有一个表示多边形那边上(含原点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是还是表示多边形内部的整点的个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是【试题分析】本题考点：找到规律，求出表示的意义；由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为8，里面的点为1；由公式可知，为偶数，故，即为边上整点的个数，为形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证：，代入公式6；利用长宽也可以算出6，验证正确。利用数出公式中的，代入公式求得s17.5答案为：17.5考点六：猜想数字求和例6 (2015黑龙江绥化，第20题 分)填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律 ，按此规律得出a+b+c=_考点：规律型：数字的变化类分析：观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，根据此规律列式进行计算即可得解解答：解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数是左下角与右上角两个数的乘积减去1的差，可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，可得：a=10，c=9，b=91，所以a+b+c=10+9+91=110，故答案为：110点评：本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键对应训练6（2015山东潍坊第17 题3分）如图，正abc的边长为2，以bc边上的高ab1为边作正ab1c1，abc与ab1c1公共部分的面积记为s1；再以正ab1c1边b1c1上的高ab2为边作正ab2c2，ab1c1与ab2c2公共部分的面积记为s2；，以此类推，则sn=（）n（用含n的式子表示）考点：等边三角形的性质专题：规律型分析：由ab1为边长为2的等边三角形abc的高，利用三线合一得到b1为bc的中点，求出bb1的长，利用勾股定理求出ab1的长，进而求出s1，同理求出s2，依此类推，得到sn解答：等边三角形abc的边长为2，ab1bc，bb1=1，ab=2，根据勾股定理得：ab1=，s1=（）2=（）1；等边三角形ab1c1的边长为，ab2b1c1，b1b2=，ab1=，根据勾股定理得：ab2=，s2=（）2=（）2；依此类推，sn=（）n故答案为：（）n点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键四、中考真题演练1. （2015山东临沂,第11题3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，.按照上述规律，第2015个单项式是（ ）(a) 2015x2015.(b) 4029x2014. (c) 4029x2015. (d) 4031x2015.2. （2015四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有 根火柴棒（用含n的代数式表示）3. (2015贵州六盘水，第17题4分)在正方形a1b1c1o和a2b2c2c1，按如图9所示方式放置，在直线 上，点c1，c2在x轴上，已知a1点的坐标是（0，1），则点b2的坐标为 4. （2015湖南省益阳市，第13题5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成1的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，则第n个图案中有 根小棒5. （2015江苏徐州,第17题3分）如图，正方形abcd的边长为1，以对角线ac为边作第二个正方形，再以对角线ae为边作第三个正方形aegh，如此下去，第n个正方形的边长为 6. （2015山东聊城,第17题3分）如图，abc的三个顶点和它内部的点p1，把abc分成3个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点p1、p2，把abc分成5个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3，把abc分成7个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3、pn，把abc分成个互不重叠的小三角形7. （2015四川甘孜、阿坝，第25题4分）如图，正方形a1a2a3a4，a5a6a7a8，a9a10a11a12，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为a1，a2，a3，a4；a5，a6，a7，a8；a9，a10，a11，a12；）的中心均在坐标原点o，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，则顶点a20的坐标为8. （2015东营,第18题4分）如图放置的oab1，b1a1b2，b2a2b3，都是边长为1的等边三角形，点a在x轴上，点o，b1，b2，b3，都在直线l上，则点a2015的坐标是 五、中考真题演练参考答案：1. （2015山东临沂,第11题3分）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，.按照上述规律，第2015个单项式是（ ）(a) 2015x2015.(b) 4029x2014. (c) 4029x2015. (d) 4031x2015.【答案】c【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数，即系数为（2n-1），而后面因式x的指数是连续自然数，因此关于x的单项式是，所以第2015个单项式的系数为22015-1=4029，因此这个单项式为.故选c考点：探索规律2. （2015四川省内江市，第16题，5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有 根火柴棒（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类专题：压轴题分析：本题可分别写出n=1，2，3，所对应的火柴棒的根数然后进行归纳即可得出最终答案解答：依题意得：n=1，根数为：4=21（1+1）；n=2，根数为：12=22（2+1）；n=3，根数为：24=23（3+1）；n=n时，根数为：2n（n+1）点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的3. (2015贵州六盘水，第17题4分)在正方形a1b1c1o和a2b2c2c1，按如图9所示方式放置，在直线 上，点c1，c2在x轴上，已知a1点的坐标是（0，1），则点b2的坐标为 考点：一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质.专题：规律型分析：根据直线解析式先求出oa1=1，求得第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的边长为2，即可求得b2的坐标解答：解：直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1，oa1=1，od=1，oda1=45，a2a1b1=45，a2b1=a1b1=1，a2c1=c1c2=2，oc2=oc1+c1c2=1+2=3，b2（3，2）故答案为（3，2）点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；求出第一个正方形、第二个正方形的边长是解决问题的关键4. （2015湖南省益阳市，第13题5分）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成1的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，则第n个图案中有5n+1根小棒考点：图形的变化类专题：规律型：分析：由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有25+21=11根小棒，第3个图案中有35+32=16根小棒，由此得出第n个图案中有5n+n（n1）=5n+1根小棒解答：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有25+21=11根小棒，第3个图案中有35+32=16根小棒，第n个图案中有5n+n（n1）=5n+1根小棒故答案为：5n+1点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题5. （2015江苏徐州,第17题3分）如图，正方形abcd的边长为1，以对角线ac为边作第二个正方形，再以对角线ae为边作第三个正方形aegh，如此下去，第n个正方形的边长为 考点：正方形的性质专题：规律型分析：首先求出ac、ae、he的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题解答：四边形abcd为正方形，ab=bc=1，b=90，ac2=12+12，ac=；同理可求：ae=（）2，he=（）3，第n个正方形的边长an=（）n1故答案为（）n1点评：该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用6. （2015山东聊城,第17题3分）如图，abc的三个顶点和它内部的点p1，把abc分成3个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点p1、p2，把abc分成5个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3，把abc分成7个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3、pn，把abc分成3+2（n1）个互不重叠的小三角形考点：图形的变化类专题：规律型：分析：利用图形得到，abc的三个顶点和它内部的点p1，把abc分成互不重叠的小三角形的个数=3+20；abc的三个顶点和它内部的点p1、p2，把abc分成互不重叠的小三角形的个数=3+21；abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3，把abc分成互不重叠的小三角形的个数=3+22，即分成的互不重叠的小三角形的个数为3加上p点的个数与1的差的2倍，从而得到abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3、pn，把abc分成的互不重叠的小三角形的个数解答：如图，abc的三个顶点和它内部的点p1，把abc分成的互不重叠的小三角形的个数=3+20，abc的三个顶点和它内部的点p1、p2，把abc分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2