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储油罐的变位识别与罐容表标定 储油罐的变位识别和罐容表标定 储油罐变位识别与罐容表标定

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储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 本文围饶储油罐变位问题的识别与罐容表的重新标定问题，做出了相关计算与分析，利用几何关系建立积分的模型，并利用大量的数据进行参数估计，来确定变位参数的具体值，并综合了各种因素，对可能出现的误差做了大量的分析，以对模型进行改进。 首先，问题一要求建立数学模型研究储油罐变位后对罐容表的影响。本文先针对油罐未变位的情况下，建立了面积的积分函数，确定了储油体积与油位高度的积分函数模型。当罐体发生了变位时，针对可能出现的三种情况分别建立了不同的积分模型。在对模型求解过程中，对部分积分面积进行了近似计算。虽然减少了最终模型的精度，但大大的简化了计算过程，从而提高了计算的可靠性。并利用大量数据进行参数估计确定模型中的待定参数。对实验数据的处理时利用进油与出油的数据对比，采取了计算与验证同时进行的方案。得出了此时罐容表的标定值：油位高度为0.5米时，标定值为1284.3升油位高度为0.7米时，标定值为2081.8升；油位高度为0.49米时，标定值为1238.7升，油位高度为0.71米时，标定值为2121.5升，由于此表含大量数据，在此我们仅列举部分数据。具体结果详见正文。 然后，问题二改变了储油罐的形状，并增加了横向变位的情况，重新建立模型来描述罐容表倾斜。本文将罐体抽象成具体的几何图形，利用各参数之间的几何关系，建立积分函数关系。当罐体发生了变位时，针对可能出现的三种情况建立了三种不同的积分函数关系。在求解积分时，先用MATLAB软件进行分析求解，再用近似代替法、拉格朗日法等方法对冗杂的计算过程进行处理，求出了变位参数度，度，得出了此时罐容表的标定值。油位高度为18厘米时，标定值为39810升，油位高度为19厘米时，标定值为42436升；油位高度为20厘米时，标定值为44991升，油位高度为21厘米时，标定值为47457升。 然后充分利用附件2对数据，分析了影响误差的综合因素，并对模型的可靠度进行了验证，得出了较为理想的结果。 本文最大的特色是将实物体转化为几何图形并利用几何关系建出模型，我们对可能出现的油量情况由简易到复杂，层层递进地考察不同情况对积分过程的影响，但始终没离开实测数据，时时回归实测数据以验证模型，得出与实际较为相吻合结论。 关键词：拉格朗日中值定理、 参数拟合、 几何图形、积分函数 一、问题提出 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1（见附录1)是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2（见附录1)是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3（见附录1)是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了得到罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4（见附录1)的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附录2所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并求解出罐体变位后油位高度间隔为1cm的时候罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附录2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型是否符合实际，的正确性与方法的可靠性。 二、基本假设 1、假设进出油管及油位探测装置的体积忽略不计，及所测的容积全为罐内油的体积。 2、研究的储油罐仅发生小幅度的倾斜，即油罐不会失稳。 3、假设储油罐各组成部分的厚度不计，积分是将不予考虑。 4、假设油罐在地基变位过程中本身的形状不会发生改变。 5、假设不考虑温度与压强对模型建立的影响。 三、符号说明 符号 意义 备注 油罐纵向倾斜角度 油罐纵向倾斜角度 油位探针测的的油位高度 断面上液面高度与椭圆圆心的距离 断面为第一问中的椭圆底面 断面上液面高度与圆心的距离 断面为第二问中球冠于圆柱体刚刚接触的面 椭圆的长半轴的长度 椭圆的短半轴的长度 各种不同情况下的体积 四、问题分析 4.1、问题一的分析 首先我们对问题一进行分析。首先题目是利用小椭圆型的储油罐分别对变位与不变位时油箱内储油量情况做了模拟。我们知道罐容表就是罐内油位高度与储油量的之间的某种关系。那么，我们就可以利用照着两次模拟实验，经过数据拟合然后对其误差进行评估，就可以得到这则二者之间的函数表达式。接下来为了确定油位高度，我们就必须知道怎么样才可以计算出油罐内储油量的容积，这样就可以利用这一函数关系得出具体的油位值。当发生变位时，我们考虑到随着变位角的增大，储油罐中的油面会出现三种不同的情况：第一种就是倾斜角较小的时候油面的最大值未超过第一条分界面的时候（图一），在利用微积分求解储油量的容积；当油面位于第二分界线与第一分界线之间时（图三），由于几分函数的上下线发生了改变，油量上升的趋势将变缓，于是需要对之前的模型进行适当的调整；当油面穿过了第二分界线（图四），油量上升的趋势将逐渐加快，于是，又需要重新组建一个与之对应的模型，求解此时的油量容积。 4.2问题二的分析 问题二要求我们建立实际中储油罐中储油量与油位的高度的关系。实际中的储油罐主要是由两个球冠型物体与一个空心柱体构成的。比起问题一来说多了两个球冠，截面由椭圆变成了圆而已。因为油罐发生纵向和横向的变位的影响主要是体现在对油标探针的影响，类似第1问，油罐中的油量仍然需要分为3段来具体分析，第一种情况是油面位于第一分界线之下时，第二种情况是油面位于第一、二分界线之间，第三种情况就是油面位于第二分界面以上)液面高度与油罐中液体体积之间的关系式。以下我们将对这三种情况分别建立模型来讨论的油位高度与储油量的关系。通过变位参数把各种情况下储油罐中的总油量与油位几计的高度联系起来。并且通过实测数据对所建立的模型进行参数估计，最终确定变位参数与的具体值。 五、模型的建立与求解 5.1 问题一模型建立与求解 5.1.1 问题一模型的建立 (一)、建立油位高度与储油量之间的关系，附录二分别列出了进油和出油时，油位高度的变化。由附录一得数据可以看出，几乎是每隔一分钟油量就增加50L，而油位高度则发生相应变化。经过matlab编程计算可以得到油位高度与储油量之间的函数关系为： (1) (1)式是由所给数据拟合而的式子。因为所给数据中既有进油时，油位高度的变化，也有出油时，高度相应的变化，所以由进油时，高度变化所得到的式子，可以用出油时，高度变化来检验(1)式的正确性，既而评出该模型的优劣。同样的道理，建立了当倾角为的时候，油位高度与储油量之间的函数关系为： (2) (二)、接下来讨论储油容积的积分方程的建立，我们分成不变位及变位两种情况 1.不变位时： 图0 设油面长为，管内油品的体积为，油面高度为。如上图，建立坐标系，则有： 椭圆的方程为： 则： 从而： 即得无变位时对数学模型如下： 其中，分别为椭圆截面的长、短半轴。 2.变位时 现在我们讨论储油容积的积分方程的建立，倾斜安装的储油罐的正视图（图一）及其侧视图（图二）所示。 图一：倾斜放置的储油罐 图二：倾斜储油罐的剖面图 当液面位于图一中分界面的下方时，为了方便计算，将椭圆柱体状的储油罐逆时针旋转后，如图三所示,旋转之后的图形，便可以建立相应的直角坐标坐标系，这样方便对其几何关系进行分析计算。 图三：旋转后的储油罐 设油罐倾斜度为，即；同时倾斜度可由倾斜角度来表示的，于是有： （3）因为油罐的底面是一个椭圆形，我们知道椭圆的标准方程为(分别为椭圆的长半轴长和短半轴长)，现在假设点的坐标为，设任一液面AC(见图三) ，离底椭圆圆心距离为L，所以得长度为。。在三角形ABC中，可以求的高。 在此基础上建立微积分模型，求出油罐内液体的容积。具体的建立过程如下： 由上述关系式可以求得三角形的面积,整理之后得到： (4) 求得了的面积了以后，建立液体体积与微分方程，如下面的(5)式，然后对其求不定积分，积分上下限的取定的是,以下为了方便记为（），推论出如下的（6）式子： (5) (6) 又因为B点在椭圆上，点满足椭圆的标准方程。于是我们可以求解积分后的函数关系。具体求解过程将在模型的求解中给出，我们将求解出来的体积用来表示。 (7) 3).根据上述，考虑到随着倾斜角的增加，油面的面积会发生变化，所以在求解体积上必须考虑到不同油面的分界线。根据实际情况，我们确定了两条分界线。第一条是以纵向变化后高的那一方，椭圆最低点为基点且与水平面平行的平面，第二条就是以纵向变化后底的那一方，椭圆最高点为基点平行于水平面的平面。具体如图四所示。 图四：液面位于二、三分界面之间时的截面图 图四与图一的区别主要在于积分面积的改变。假设积分面积仍然为三角形AHC，建立不定积分求解应与上述情况一致，然而在三角形AHC中，真正参与积分的面积为四边形AHFB，而多出的三角形BFC就是我们人为虚拟出来的。因此，只需要在上诉模型中减去虚拟出来三角形BFC的积分体积3就可以得到油罐中液体的体积。 4).当倾斜角度在逐渐增大的时候，油面将跨过第二分界面，我们利用对称的方式再利用第一种情况求出DFG的油量，再用整个圆柱的油量减去它即可。 图五：油面越过第二分界线时液体截面图 3).当倾斜角较大的时候会出现如图所示的情况此时, ,我们先利用第1种情况的算法算出ACE,再减去BCF即可。 图六：油面介于一、二分界面时的情况 =AB=2.45， 于是得出因为液面的上升而比原来减少的体积比为，设通过第1种情况算出椭圆柱虚拟体积为V，此时储油量为： (8) 4).当倾斜角再继续增大的时候，油面将越过第二分界面。如图所示 图七：油面超出第二分界面时剖面图 首先我们为了利用第1种模型求出的面积，所以我们取AC上一点B让,取AG上一点H，让,则由几何意义L的长为宽边的中点到油面的距离，因为MN=PQ,所以两个油面的L相同。,此时我们就可以利用第1种模型的方法来求得虚拟油量即是的油量，再用整个圆柱的油量减去它即可。 计算方法： 为了方便计算，将椭圆柱体状的储油罐逆时针旋转后，如图A所示,旋转之后的图形，便可以建立相应的直角坐标坐标系，这样方便对其几何关系进行分析计算。 图八：旋转后的储油罐 设油罐倾斜度为，即；同时倾斜度可由倾斜角度来表示的，于是有： （9） 因为油罐的底面是一个椭圆形，我们知道椭圆的标准方程为(分别为椭圆的长半轴长和短半轴长)，现在假设点的坐标为，设任一液面AC(见图三) ，离底椭圆圆心距离为L，所以得长度为。。在三角形ABC中，可以求的高。 在此基础上建立微积分模型，求出油罐内液体的容积。具体的建立过程如下： 首先由上述关系式可以求得三角形的面积,整理之后得到： (10) 求得了的面积了以后，建立液体体积与微分方程，如下面的(5)式，然后对其求不定积分，积分上下限的取定的是,以下为了方便记为（），推论出从正视图看去的所占体积，如下的式子： (11) (12) 又因为椭圆底面的面积为，由椭圆的体积等于底面积乘以高可以得到底面为椭圆形的油罐的体积为，则由这个油罐的体积减去没有油那部分的体积，得到最终的体积 (13) 5）其实在图中还隐藏了第三条分界线，当倾斜角在增大的时候，油浮子将抵达油位探针顶部。即油位高度将不再发生改变，此时油位高度与容积的关系将为一个定值，又因为工作人员是根据油浮子的高度来判定油罐中油量的，所以此时就将不会再向油罐灌输油了，即当油浮子的高度不变时，油罐的油量不在变化。 综上所述最终的模型 （一）不变位的模型： 其中，分别为椭圆截面的长、短半轴。 （二）变位后的模型： 第一种情况： 第二种情况： , 第三种情况： 5.1.3 问题一模型的求解 1）.求解油罐未发生变位时油位高度与储油量之间的关系 当储油罐不发生变位时，通过实验，得到了大量关于油位高度与油量的数据。忽略某一瞬时的过度，可以得到每一次进油量都是50L，利用matlab软件编程（程序见附录一）回归拟合功能。由所给得油位高度与油量的数据，可以得到两者之间的图行如下： 图九：在油罐不变位的情况下油位高度与储油量的关系 因为考虑到所给数据很多，所以我们选取了一些数据来进行拟合，但在数据的选取中，是在每个阶段都选取了一定量的数据，这样才可以使得所选数据具有普便性，由所选数据可以得到图七所示图像，从图像可以看出，在油罐不变位的情况下油位高度与储油量的关系几乎满足一次线性函数的关系。 图十：在油罐不变位的情况下油位高度与储油量的关系 通过观察了图像，我们确定其关系为一次型。为了进一步确定二者之间定性的数量关系，再一次用matlab编程（程序见附录二），由于本题所给数据量太大，且规律性又极强。所以在不影响函数关系的情况下，我们减少了拟合数据。最后得出了储油量与高度之间的一次关系： （14） 通过拟合优度的检验(程序见附录三)，得出了上述函数关系可信度为99.45%，所以所建模型是符合实际的，可以采纳的。 用同样的方法可以求出在变位为时油位高度与储油量的关系也为一次线性函数（图十一）。 图十一：油罐倾斜时油位高度与储油量的关系图 其函数关系如下（程序见附录四）。 （15） 同样的对其进行优度检验（程序见附录五），得出了上述函数关系可信度为99.97%，所以完全可以采纳。 当油罐中的油量一定时，我们知道在变位后，油位高度与未变位的油位高度是不一样的。但二者之间肯定存在一定的函数关系。利用附件中的实验数据，进行回归拟合，我们得出了如下函数关系图（程序见附录六）。 图十二：变位前的高度与变位后的高度之间的关系 并有如下函数关系： （16） 经过优度检验，得出了该函数可信度为100%，说明拟合的效果是非常精确的，完全可以采纳。 可见罐体变位后对罐容表的影响主要是表现在油位探针测得的高度的变化，用matlab可以得到随着的变化趋势，如下图 图十三：随着的变化趋势 由上图我们可以得出罐体变位后对罐容表的影响，主要是体现在油位探针测出的油高的变化，我们可以得到随着的逐步增长，是成下降的趋势，既是随着的逐步增长，之间的差距是越来越小。 2).根据公式(7)所建立的模型： (17) 由于此式直接积分比较困难，所以只有借助计算机软件，先利用matlab软件进行简单的编程（附录七）得出不定积分的表达式，由于所得式子比较复杂，所以就不在这里写出来了，这里我们用 代表此式子，此式子为(17) 下面建立由油浮子测得的油面高度与储油量的关系。下面是这一关系的示意图： 图十四：实测高度剖面图 实际测量的油位高度为(油位探针测出的高度)，注意因为液面是位于图一中分界面的下方的，所以得高度是有一个范围的，的范围为（0，0.147），由图可以知道：与相似，则可以利用相似三角形的一些基础知识来处理图中的关系，则由几何关系可以得出： （18） 由图三可以得到|： 将（18）式带入（17）式中便可以得出油位高度与储油量之间的关系，又因为式子很复杂，所以没有具体的写出。 5.1.4 问题一结果的分析及验证 因为纵向的倾斜角度很小，所以油位基本上是位于分解面一与分解面二之间的，因此我们在求解罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值时，是用的上述所建模型中的第二中情况来求解的（程序见附录），我们得到一些数据，具体见下表： 表一：标定的具体数据如下 油位高度 450 460 470 480 490 500 测得的体积 1100.3 1129.7 1161.3 1196.5 1238.7 1284.3 表二：标定的具体数据如下 油位高度 700 710 720 730 740 750 测得的体积 2081.8 2121.5 2158.3 2191.8 2223.5 2254.2 由上述所得的一些数据可以看出，所得结果与本题自身所给附录一得数据差别不是较大，所以我们建立的模型是合理的，可以对此问题进行求解的 5.2 问题二模型建立与求解 5.2.1 问题二模型的建立 问题二要求我们建立实际中储油罐中储油量与油位的高度的关系。实际中的储油罐主要是由两个球冠型物体与一个空心柱体构成的。比起问题一来说多了两个球冠,截面由椭圆变成圆了而已。所以当油罐发生纵向和横向的变位时，油罐中的油量仍然需要分为3个量段来具体分析(如图十五)，第一种情况是油面位于第一分界线之下时，第二种情况是油面位于第一、二分界线之间，第三种情况就是油面位于第二分界面以上)液面高度与油罐中液体体积之间的关系式。以下我们将对这三种情况分别建立模型来讨论的油位高度与储油量的关系(下文将不再解释第一分界线与第二分界线的说法)。 图十五：油面不同位置的分界面示意图 1). 油罐中油的液面位于分界面以下时候的情况。 此时从侧面向油罐看去，可以得到如下图所示的图形： 图十六：当油面位于分界线以下时侧面图 图中的代表着油位探针，表示一个刚好把球冠体与圆柱体分开的平面，图中被填充的部分表示现在油罐中油的情况，要求解此时油罐中油量，只需要求解出被填充部分的体积。又因为油罐其主体为圆柱体，两端为球冠体。为了便于计算，我们把填充部分分为区域和区域。从图中可以看出区域是位于圆柱体的内部，而区域A则位于一个球冠内部。分开对A、B两区域求解油位的体积。 现在对区域中油的体积进行求解（图十七是球冠体与圆柱体分界面的图形），假设油罐中有一定量的油，其油面如下图十七中的，注意图1中的是油位探针的下部分， 图十七：球冠体与圆柱体分界面的图形 根据图十七(左)中的几何关系式得知： 因为为实际标高为并且,过点向作的垂线其垂线长为，、、、（为圆柱体的半径） 为了更好的利用坐标系，既而把圆柱体逆时针旋转了90度，变为了图十七(右)的情况（假设油不随着旋转而改变原有的形状）。 因为油罐的纵向倾斜角度为，则可以得到：,又由横向的倾斜角度为可以得到：，圆柱体底圆半径为，可以知道。 在圆柱体内部区间时，点的坐标为，点的坐标为。 step1:求解圆柱油的体积 由上述得到的关系式可以得到的面积，则可以得到被积三角形的面积为： ，被积表达式为：，积分的区间为，可以得到区内的体积为： (20) step2: 现在考虑在A区内部的体积如何计算： 图十八：球冠部分详图 图十八(左)为刚好把球冠体与圆柱体分开的平面，液面为,,根据图十八(又)可知面就是面，并且图中中的点的坐标可由简单的几何知识得到为()建立坐标根据几何知识可以很方便的计算出扇形的面积为及的面积为，要计算面与下方球冠围成的体积，便需要积分，积分区域为弓形面积 (21) 由高等数学中讲述的积分的定义，我们可以得到如下的积分式子： (22) 其中积分下限。 step3:因为step2是求的正面看时的所占得体积，现在对求体积， 图十九：油罐的垂直截面图 在负轴上任意选取一点，在点处，做一垂面，垂面与面得交线为，与液面的交线为，利用几何关系可以求得此时垂面得半径。在step2中求得的是交线与下方的体积，现在需要对区域进行求积分，首先需要求解区域的面积，因为很小，所以交线与交线为之间的距离很小，在此处我们便把区域近似的看为一个梯形，所以得到以下面积公式： (23) 现在对(23)进行积分，积分的上下限为[，0]积分式子为： (24) 由上述可以得到,于是有： (25) 2).下图是油面超过第1分界面，但未超过第2分界面储油罐的正视图： 图二十：油面在一、二分界线之间的具体情况 油面为,过作一垂线,垂足为点,过作一垂线垂足是。可知，所在区域中的油是实际就存在的，而所在区域中的油是假想存在的，在此处我们进行了一定的近似处理的方式，即把区域的油用了填补区域实际上不存在的油。之所以可以这样近似的处理，是因为倾斜度很小，点与点在高度上相差的距离很小，即和区域的体积几乎可以等同。即把，这时我们就分别积分计算出两个球冠即圆柱中的油量体积。Step1:圆柱型油罐中油量的计算： 图二十一：考虑圆柱中油量的计算 由几何关系可以得出 。 ，于是有，比例系数。为了简化计算过程，直接应引用(15)中结果,则圆柱真实油量为 得到： (26) Step2:求解左边球冠中储油的体积. 图二十二：左边油罐中油面不同方向的截面图 从图二十二中我们可以看出，油罐中油量位于优弧包含的弓形里面。由积分的定义知，只需要求解出这个弓形的面积，然后对面积积分，就可以得到此时储油的体积。 因为，由几何关系得到积分面积区域为： (27) 于是有： (28) 其中上式中积分下限。() Step3:求解右边球冠中油的体积。 图二十三：右边球冠的不同截面图 我们将其镜像处理后就与第1种情况中Step2、3类似了，图二十三(右)为刚好把球冠体与圆柱体分开的平面，液面为,,根据图二十三(左)可知面就是面，并且图中的点的坐标可由简单的几何知识得到为建立坐标根据几何知识可以很方便的计算出扇形面积为及的面积为，要计算面与下方球冠围成的体积，只需要对这一区域的面积进行积分，积分区域弓形面积为: (29) 其中积分上线(其中) 由上述可以得到关于油量的表达式：,于是 (30) 第三种情况：油面超过第2分界面 图二十四：油面超过第2分界面的情况 Step1:求解圆柱型内的油的体积 计算圆柱内储油的体积主要模型与上述第二种情况类似，具体推到过程如下： 首先计算出三角形的面积，有由几何关系得到；然后计算出三角形的面积，根据几何关系得出，又三角形的面积，因此得出柱体中的面积与整个三角形的面积比例： (31) 根据(15)式中于是得出，其中由(31)式决定，有(20)式决定 Step2：求解左边球冠的体积。 因为油面已经超过了第二分界线，故左边球冠中将全部充满油。根据球冠体积的计算公式得出，其中为常数，且。 Step3：求解右边球冠中储油的体积。 过做的垂线交球冠于，为了方便积分计算，简化模型，我们把积分面积定为与之差。由于误差范围很小，特别是在这种大型的储油罐的计算上是可取的。 图二十五 ：左边球冠中油面的各视图 图二十六 油罐中油量位于优弧包含的弓形里面。由积分的定义知，只需要求解出这个弓形的面积，然后对面积积分，就可以得到此时储油的体积。 因为，由几何关系得到积分面积区域为： (32) 于是有： (33) 其中上式中积分下限。（） 在正半轴上任意选取一点，在点处，做一垂面，垂面与面得交线为，与液面的交线为，并且可以求得此时垂面得半径为：。在step2中求的的是交线与下方的体积，现在需要对区域进行求积分，既而需要求得的面积，现在我们求解三角形的面积： （34） 现在对其进行积分，积分的上下限为[，0]积分式子为： (35) 则V=+++,于是有， (36) 综合上述得最终模型如下： 第一种情况： 第二种情况： 第三种情况： 5.2.2问题二模型的求解 根据本题自身所给的附录二，我们可以找到高度变化量与油量变化量的数据，因为所给的“显示容量容积”是在倾斜之后的到，所以我们没使用这组数据，又因为的关于的式子，所以可以建立与之间的关系式，对每个便存在一个，，在此处我们取定，由拉格朗日法可知： 由上述可以得到一系列关于的式子，利用matlab可以求解的到： ， 由上述求得的，我们得到了每个油高时的油量，可以明显的知道显示的容量容积比实际的要高出10L左右，同时可以由matlab可以的到的使用区间为(0，5)，的实用区间为(0，4.5)，可知所得结果虽然有比较大的误差，但是也是符合实际的，所以我们建立的模型是正确的，方法是可靠的。 5.2.3问题二结果的分析及验证 我们通过用 Matlab进行计算（程序见附录），求得了罐体变位后油位高度间隔 为10cm的罐容表标定值，以下进给出了一部分结果 。 表三：罐容表的具体结果表 油位高度(mm) 1500 1600 1700 1800 1900 测得的体积(L) 31664 34407 37128 39810 42436 油位高度(mm) 2000 2100 2200 2300 2400 测得的体积(L) 44991 47457 49819 52060 54163 因为我们在模型的建立中有的地方使用了近似的处理方法，所以所得的最终结果是有一定的误差的，但是在对我们建立出来的模型进行求解的时候，得到的数据与本题自身所给的附录二的数据之间的差别并不是太大，最大的差距是90L(粗略值)左右，最小的差距是30L左右，我们对差距的值，进行了求平均值的方法，得到了差距的平均值在50L左右。因为在模型的建立时，有的体积的积分结果很复杂，有的甚至没有积出来，所以所得的求解结果在一定程度上是由很比较大的误差，但是所建立出来的模型是正确的。 六、模型的评价与推广 6.1.模型的评价 本文模型的最大特点是根据储油罐中油面的不同位置建立了不同的模型。细致的计算出了每一种可能出现的情况。然而也正事因为这种细致的划分，导致了在模型的求解方面出现了不少问题。首先，由于积分的复杂性，导致了部分积分未能给出准确的表达式，只能根据数值评估做出其近似表达式。再者，计算面积积分的时候为了减少计算量，我们采用了无穷小量对部分参数进行了等价替换。这也就导致了部分结果的误差。考虑到这样可以得出最后的模型结果，所以仍然为一种比较可取的方案。在进行误差分析的时候，我们没有直接 采用spss软件给出的具体值，而是利用Matlab的插值与拟合出来的 表达式进行了比较。虽然插值得出表达式的精确度更高，但是不便于后文的复杂的计算，所以我们采用拟合出来的式子，虽然这样精度不太高，但便于后文的计算。所以在一定程度上简化了求解的过程。最后度拟合的曲线进行了优度检验，检验结果都达到了 99%以上，故而后文所得的表达式精确度仍然很高。 本文在建立模型的时候利用了大量的几何图形，用几何关系来确定每一种情况下油量高度与油量体积的高度关系。并与变位参数联系了起来。简化了积分式子的计算。 6.2模型的推广 本文建立的是油罐变为罐容表的测量方法，现在中国属于发展中国家，油量的储存与运输关系到了中国经济的发展。本文建立的模型可以利用到工业上测定储存油量的体积。方便了工人的测量与计算，提高了工作效率。可以为工业的发展做出一定的贡献，故本文具有很好的使用价值。 七、参考文献 [1] 周品等, 《MATLAB数学建模与仿真》，国防工业出版社，2009年1月 [2]王沫然等，《Matlab5.0与科学计算》，清华大学出版社，1999年10月 [3]余建英等，《数据统计分析与spss应用》，人民邮电出版社，2003年3月 [4]参考论文，高恩强等《卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算》 [5]姜启源等《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2003年 八、附录 8.1 附录清单 附录一：在油罐不变位的情况下油位高度与储油量的关系 附录二：在油罐不变位的情况下油位高度与储油量的关系和图形 附录三：不变位时油位高度与储油量的关系优度检验 附录四：油罐倾斜时油位高度与储油量的关系和图形 附录五：油罐倾斜时油位高度与储油量的关系图的优度检验 附录六：变位前的高度与变位后的高度之间的关系图 附录七：v1体积的求解 8.2 附录正文 附录一：在油罐不变位的情况下油位高度与储油量的关系 x1=[50 250 450 700 950 1100 1250 1500 1700 2000 2406.83 2706.83 2906.83 3206.91 3556.91 3706.91 ]; y=[159.02 223.93 282.16 349.57 413.32 450.4 486.89 558.72 594.35 665.67 764.16 839.83 892.82 978.91 1102.33 1193.49 ]; polyfit(x1,y,1) 附录二：在油罐不变位的情况下油位高度与储油量的关系和图形 x1=[50 250 450 700 950 1100 1250 1500 1700 2000 2406.83 2706.83 2906.83 3206.91 3556.91 3706.91 ]; y=[159.02 223.93 282.16 349.57 413.32 450.4 486.89 558.72 594.35 665.67 764.16 839.83 892.82 978.91 1102.33 1193.49 ]; x=ones(1,length(x1)); for i=1:length(x1) x(i)=262+x1(i) end x2=[300:10:3800]; y2=0.2577*x2+90.997; plot(x2,y2,-r) hold on plot(x,y,*) 附录三：不变位时油位高度与储油量的关系优度检验 x1=[50 250 450 700 950 1100 1250 1500 1700 2000 2406.83 2706.83 2906.83 3206.91 3556.91 3706.91 ]; y=[159.02 223.93 282.16 349.57 413.32 450.4 486.89 558.72 594.35 665.67 764.16 839.83 892.82 978.91 1102.33 1193.49 ]; x=ones(1,length(x1)); for i=1:length(x1) x(i)=262+x1(i) end s=sum(y) y1=s/16; y2=zeros(16,1); s1=zeros(16,1); s2=zeros(16,1); for i=1:16; y2(i)= 0.2577*x(i)+90.997; s1(i)=(y(i)-y2(i)).^2; s2(i)=(y(i)-y1).^2; end s11=sum(s1); s22=sum(s2); b=s11/s22; u=1-bs9.9556e+003 u = 0.9942 附录四：油罐倾斜时油位高度与储油量的关系图 x=[962.86 1262.86 1512.73 1712.73 1862.73 1912.73 2062.73 2212.73 2462.73 2662.73 2962.73 3162.73 3412.73 3514.74]; y=[411.29 489.37 551.96 599.56 635.58 646.28 680.63 716.45 773.43 820.80 892.92 941.42 1006.34 1035.36]; plot(x,y,*) hold on x1=[960:10:3600]; y1=ones(1,length(x1)); for i=1:length(x1) y1(i)=0.2393*x1(i)+186.76 end plot(x1,y1,-r) xlabel() ylabel() 附录五：油罐倾斜时油位高度与储油量的关系图的优度检验 x=[962.86 1262.86 1512.73 1712.73 1862.73 1912.73 2062.73 2212.73 2462.73 2662.73 2962.73 3162.73 3412.73 3514.74]; y=[411.29 489.37 551.96 599.56 635.58 646.28 680.63 716.45 773.43 820.80 892.92 941.42 1006.34 1035.36]; s=sum(y) y1=s/14; y2=zeros(14,1); s1=zeros(14,1); s2=zeros(14,1); for i=1:14; y2(i)=0.2393*x(i)+186.76; s1(i)=(y(i)-y2(i)).^2; s2(i)=(y(i)-y1).^2; end s11=sum(s1); s22=sum(s2); b=s11/s22; u=1-b s =1.0201e+004 u =0.9997（99.97%） 附录六：变位前的高度与变位后的高度之间的关系 h1=[160:10:230]; h2=0.928*h1+94.7361; plot(h1,h2,*) 附录七： syms a b x y h L L1 L2 d L0 L=b-h-L0*d; L1=-a*(1-L^2/b^2)^(1/2); L2=a*(1-L^2/b^2)^(1/2); x=b*(1-y^2/a^2)^(1/2); v1=1/2*d; v2=int((x-L)^2,y,L1,L2); V=v1*v2 28

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