高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题05 解析几何解答题（含解析）.doc

专题五 解析几何解答题直线与圆锥曲线的位置关系【背一背重点知识】 1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线c的位置关系时，通常将直线l的方程axbyc0(a、b不同时为0)代入圆锥曲线c的方程f(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。方程ax2bxc0的解.交点个数l与c的关系a0b=0无解（含双曲线的渐近线）无公共点b0有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线）一个交点相交a00两个不等的解两个交点相交0两个不等的解一个交点相切0无实数解无公共点相离2圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线c相交于a，b两点，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则|ab|x1x2|y1y2|.（抛物线的焦点弦长|ab|x1x2p，为弦ab所在直线的倾斜角)【讲一讲提高技能】1、 利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。例1已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.分析：（1）把椭圆：化为标准方程，确定，利用求得离心率；（2）设点，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系.【解析】故.故此直线与圆相切.2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点a(x1，y1)，b(x2，y2)时，则|ab|x1x2|y1y2|，而|x1x2|，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解例2已知椭圆，其中为左、右焦点，且离心率，直线与椭圆交于两不同点.当直线过椭圆c右焦点f2且倾斜角为时，原点o到直线的距离为.（1）求椭圆c的方程；（2）若，当面积为时，求的最大值.【答案】（1）；（2）5.【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算，利用基本不等式求最值.由前知，. 11分，当且仅当，即时等号成立，故. 综上可知的最大值为. 13分3、利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换。例3 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆与直线,四点，（）中有三个点在椭圆c上，剩余一个点在直线上 (i)求椭圆c的方程； ()若动点p在直线上，过p作直线交椭圆c于m，n两点，使得，再过p作直线.证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标分析：由椭圆的的性质可判断出点的位置，并求出椭圆的方程；利用点差法表示出直线mn的斜率，由得出直线的斜率，从而写出直线的方程，通过直线方程求出定点坐标。 【练一练提升能力】1. 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1） 求的值；（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.【答案】（1），；(2) 【解析】 2.已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（i）.（ii）（）直线ae过定点.（）的面积的最小值为16.【解析】（i）由题意知设，则fd的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得.所以抛物线c的方程为.（ii）（）由（i）知，设，因为，则，由得，故，故直线ab的斜率为，因为直线和直线ab平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得.设，则，.当时，可得直线ae的方程为，由，整理可得，直线ae恒过点.当时，直线ae的方程为，过点，所以直线ae过定点.所以点b到直线ae的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立.所以的面积的最小值为16. 3. 圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为p（如图），双曲线过点p且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点p且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于a，b两点，若以线段ab为直径的圆心过点p，求的方程.【答案】（）；() ，或.【解析】由题意知解得，故方程为.轨迹与轨迹方程【背一背重点知识】1.曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线c（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2.求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点m的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p（m）的集合p=m|p(m)；（3）坐标化:用坐标表示条件p(m)，列出方程f(x,y)=0；（4）化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性。 3. 求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等。【讲一讲提高技能】1、 直接法求轨迹方程 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为（1）求动点的轨迹方程；（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x轴上），连交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由【答案】（1）；（2）直线恒过定点【解析】试题分析：（1）首先设出动点的坐标为，然后分别写出直线和的斜率，再由已知直线与直线的斜率之积为，即可列出方程，化简并整理即可得出动点的轨迹方程；（2）设，于是可得直线的方程为：，然后联立直线和椭圆方程并整理可得。再由韦达定理可得，进而可求出点的坐标，同理可求出点的坐标，进而可求出直线的方程，即可得出直线恒过定点2、 定义法求轨迹方程 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法 例2设a是圆上的任意一点，是过点a与轴垂直的直线，d是直线与轴的交点，点m在直线上，且满足当点a在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线（1）求曲线的标准方程；（2）设曲线的左右焦点分别为、，经过的直线与曲线交于p、q两点，若，求直线的方程【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）从已知可看出本题曲线方程用动点转移法求解，设是曲线上任意一点，由有，设对应的点坐标为，利用可求得，再把代入圆的方程就能得出的方程；（2）求直线方程，首先讨论当直线斜率不存在时是否符合题意，即当直线方程为时，代入曲线的方程求出的坐标，验证是否成立（本题不成立），然后再考虑斜率存在时，直线方程设中，代入曲线的方程，同时设，则可得出，而条件等价于，即，把这个式子用坐标表示出来，再把刚才的代入，可求得.即， 12分代入得，即 13分解得，直线的方程为 14分3、相关点法求轨迹方程 相关点法：用动点q的坐标x，y表示相关点p的坐标x0、y0，然后代入点p的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法 例3如图,长为m+1(m0)的线段ab的两个端点a和b分别在x轴和y轴上滑动,点m是线段ab上一点,且，求点m的轨迹c的方程,并判断轨迹c为何种圆锥曲线。分析：设a、b、m的坐标分别为（，0）、（0，）、（x，y），根据建立关系式，解出用m、x、y表示和的式子，将此代入，化简可得点m满足的方程为：（m0），最后根据m的取值范围讨论即可得出轨迹c所属圆锥曲线的类型。4、 交轨法求轨迹方程求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.例4如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于a，b，c，d四点。求直线与直线交点m的轨迹方程。分析：由椭圆和圆的对称性可以知道点a、b关于轴对称，由此写出直线和的方程，利用点在曲线上消去参数得到两直线交点m的方程。【解析】设a(x1，y1)，b(x1，y1)，又知a1(a,0)，a2(a,0)， 则直线a1a的方程为y(xa)，直线a2b的方程为y(xa)，由得y2(x2a2) 即直线与直线交点m的轨迹方程为：。5、 参数法求轨迹方程 当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法 例 5设椭圆方程为，过点m（0，1）的直线交椭圆于点a、b，o是坐标原点，点p满足，点n的坐标为，当l绕点m旋转时，求动点p的轨迹方程。分析：设出直线的方程，a，b的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出，利用直线方程表示出，然后利用 求得 的坐标，设出p的坐标，然后联立方程消去参数k，求得x和y的关系式，即为p点轨迹方程【解析】【练一练提升能力】1.如图，梯形abcd的底边ab在y轴上，原点o为ab的中点，m为cd的中点（）求点m的轨迹方程；（）过m作ab的垂线，垂足为n，若存在正常数，使，且p点到a、b 的距离和为定值，求点p的轨迹e的方程；（）过的直线与轨迹e交于p、q两点，求面积的最大值【答案】（）;（）;（）【解析】试题分析：（）设点的坐标为，则从而可得和的坐标,根据两向量垂直数量积为0可得关于的方程,即点的轨迹方程（）设,由可得,代入（）中所得点的轨迹方程可得点的轨迹方程可知点的轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点由椭圆中关系式可得的值（）设直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程由韦达定理可得两根之和,两根之积从而可求得三角形面积,再用配方法求其最值试题解析：解：（）设点的坐标为，则 又由acbd有，即， （4分）2.（本小题满分12分）已知垂直平分线与交于q点.（1）求q点的轨迹方程；（2）已知点 a（-2,0）， 过点且斜率为（）的直线与q点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.【答案】（1）;（2）.【解析】（2）设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点, 4分将直线方程代入椭圆： ，整理得：， .5分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且. 6分直线的方程为，直线的方程为，令，得点，点，所以点的坐 8分圆锥曲线中的范围、最值问题【背一背重点知识】1、求圆锥曲线最值范围问题常见的方法有两种（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质结合曲线的定义来解决，这是几何法。（2）代数法：题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值或范围。求函数的最值范围常见的代数方法有:配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等。2、求有关圆锥曲线的最值问题市应注意以下几点：（1）圆锥曲线上本身存在的最值问题。如 椭圆上两点间最大距离为；椭圆的焦半径的取值范围为，和分别表示椭圆的焦点到椭圆上的最短距离和最长距离等.(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常把两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题解决;(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法;(4)由直线(系)和圆锥曲线的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)满足的范围,解决方法是把所求参数化为另一变元的函数关系求解.【讲一讲提高技能】圆锥曲线中的范围和最值问题的求解方法：求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想。建立目标函数，求解最值。在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下几个方面入手:(1) 利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2) 利用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3) 利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的范围;(4) 利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的范围;(5) 利用函数的值域的求法,从而确定参数的取值范围.例1已知点a,椭圆e:的离心率为；f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点（i）求e的方程；（ii）设过点a的动直线与e 相交于p,q两点。当的面积最大时，求的直线方程.分析：（i）由直线af的斜率为，可求并结合求得，再利用求，进而可确定椭圆e的方程；（ii）依题意直线的斜率存在，故可设直线方程为，和椭圆方程联立得利用弦长公式表示，利用点到直线的距离求的高从而三角形的面积可表示为关于变量的函数解析式，再求函数最大值及相应的值，故直线的方程确定【解析】（i）设右焦点，由条件知，得又，所以， 故椭圆的方程为例2设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），o为坐标原点. （1）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线ab的方程； （2）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为c，证明：点与点关于轴对称.【答案】（1）直线（即）的方程为或；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由已知条件推导出点的坐标为，由此能求出直线（即）的方程（2）设点关于轴的对称点为（在椭圆上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点c重合，又因为直线与椭圆的交点为c（与点不重合），所以只要证明点，三点共线即可试题解析：（1）椭圆的右焦点为， 1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆上，将代入椭圆的方程，得点的坐标为. 3分所以直线（即）的方程为或. 5分则 ， 12分因为 ， 13分所以 ，所以点，三点共线，即点与点关于轴对称. 【练一练提升能力】1. 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、构成等差数列（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且， 求四边形面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】构成等差数列， 又，椭圆的方程为 4分 所以四边形面积的最大值为 12分2.已知为椭圆上两动点，分别为其左右焦点，直线过点，且不垂直于轴，的周长为，且椭圆的短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的左端点，连接并延长交直线于点求证：直线过定点【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（2）由椭圆方程可知，点解答题（共10题）1.已知椭圆c：，左焦点，且离心率（1）求椭圆的方程；（2）若直线：（）与椭圆交于不同的两点，（，不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出定点的坐标【答案】（1）；（2）证明见解析，定点的坐标为【解析】当时，直线的方程为，过定点，与题意矛盾，舍去；当时，直线的方程为，过定点，故直线过定点，且定点的坐标为 2.已知定点,动点,且满足成等差数列.() 求点的轨迹的方程；() 若曲线的方程为(),过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值. 【解析】 (注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令,则,考查函数的性质知在区间上是增函数,所以时,取最大值,从而. 12分3、已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，且（）求椭圆的离心率；（）求直线的斜率【答案】（）；（）【解析】而， ， 由题设知，点为线段的中点，所以 联立解得，将代入中，解得满足（*）式，故所求的值是4. （本小题满分13分）已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（3）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）在轴上存在定点，使得、三点共线【解析】则， 且， ，由，得， ，当时，有成立 9分5.已知椭圆c：的离心率为，左、右焦点分别为，点g在椭圆c上，且，的面积为3.（1）求椭圆c的方程：（2）设椭圆的左、右顶点为a，b，过的直线与椭圆交于不同的两点m，n（不同于点a，b），探索直线am，bn的交点能否在一条垂直于轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由.【解析】所以直线am与直线bn的交点在直线上。12分综上所述，直线am，bn的交点必在一条垂直于轴的定直线上，直线方程为.13分6.（本小题满分12分，（）小问4分，（）小问8分）已知动点到直线 的距离是它到点的距离的倍. （）求动点的轨迹的方程；（）设轨迹上一动点满足：，其中是轨