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例说抽象函数的解决方法 (推荐 作者不详) 函数是高中数学的核心内容，它对于学生掌握双基和发展能力具有十分重要的意义。通常所说的函数，一般都具有解析式、图表等某种具体的表现形式，但是有一类函数只给出了函数所满足的一部分性质或运算法则，而没有明确的表现形式，这类函数我们通常称之为抽象函数。抽象函数作为初等数学和近代数学的衔接点，既能体现数学的本质特征、近现代数学发展的威力，又能体现新课标对知识和技能考核的要求和高考的能力命意，必将受到人们的重视。以下介绍几种解决抽象函数问题的方法，力求使抽象函数问题的解法有“章”可循。一、赋值法 赋值法的基本思路是：将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需条件或发现某些性质，其中f（0）、f（1）是常常起桥梁作用的重要条件。例设函数f（x）的定义域为（0，+），且对于任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立。若已知f（2）=1，试求：（）f（1/2）的值； （）f（2 - n）的值，其中n为正整数。思路：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律。解：（）令，则f（1）=f（1）+f（1）f（1）=0 再令x=2，y=1/2，则f（1）=f（2）+f（1/2）f（1/2）= f（2）= 1 （）由于f（2 - 2）=f（1/2）+f（1/2）= 2， f（2 - 3）= f（1/2）+f（1/2）+f（1/2）= 3， 依此类推就有f（2 - n）= n，其中n为正整数。例已知函数f（x）满足：对任意x、yR都有f（x+y 2）=f（x）+2f 2（y）， 且f（1）0，则f（2005）= 。 解：在f（x+y 2）=f（x）+2f 2（y）中，取x=y=0，则f（0）=0， 再取x=0，y=1，代入得f（1）=2f 2（1）。 因为f（1）0，所以f（1）=1/2。 在条件式中令x=n，y=1，则得递推式f（n+1）f（n）=1/2。 所以数列f（n）是首项为0.5、公差为0.5的等差数列，所以f（2005）=1002.5。 点评：利用抽象条件，通过赋值（赋具体值或代数式）是解决抽象函数问题的基本方法。二、分类讨论法例设f（x）是定义在R上的函数，当x0时，f（x）0，且对任意的实数x，y， 均有f（x+y）=f（x）f（y）求证：对任意xR，都有f（x）0思路：依据求证目标，对自变量进行分类讨论。证明：先证f（0）在f（x+y）=f（x）f（y）中，令，则有f（0）f（0），f（0）或f（0）当f（0）时，令，得，f（）f（）f（0），此与题设：当时，f（x）0矛盾，所以f（x）0，故f（）0再证当时，f（x）0由于当时，f（x）0，因此当时，有f（x）0而f（x）f（x）f（0），f（）f（x）0于是，对任意R，都有f（x）0点评：本题在分类讨论的过程中，灵活运用了赋值法三、利用函数单调性 解抽象函数不等式，要设法将它转化成显性的不等式求解这需要具备两个条件：一是要把不等式化为f()f()的形式，二是要判断函数的单调性。再根据函数的单调性，将抽象函数不等式的符号f去掉，得到具体的不等式求解 例若f(x)是定义在（0，+）上的减函数，且对一切a，b（0，+）， 都有f(a/b)=f(a)f(b)，且f(4)=1，试解不等式f(x+6)f(1/x)2 思路：逆用函数单调性，将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系 解：因为f(a/b)=f(a)f(b)，且f(4)=1，所以f(x+6)f(1/x)2,则f(x+6)f(1/x)2f(4),则有f(x 2+6x)f(4)f(4),故f(x 2+6x)/4f(4)由于f(x)是（0，+）上的减函数，因此由1/x0,x+60,(x 2+6x)/44同时成立解得0x2，故原不等式的解集是(0，2) 例设f(x)是定义在1,1上的奇函数，且对任意a、b1,1，当a+b0时，都有f(a)f(b)(a+b)0，解不等式f（x+1/2）f（1/x-1） 解：先证明函数的单调性 任取x 1、x 21,1，当时x 1x 2，f（x 1）f（x 2）=f（x 1）+f（x 2）=(x 2x 1)f（x 1）+f（x 2）（x 2x 1）0,即f（x 1）f（x 2）所以在1,1上是增函数，原不等式等价于1x+1/21，11/x-11,x+1/21/x-1,同时成立,解得3/2x1点析：（）若函数f(x)在区间D上单调递增，且x 1，x 2D，则由f(x 1)f(x 2)可得x 1x 2；（）若函数f(x)在区间D上单调递增，且x 1，x 2D，则由f(x 1)f(x 2)可得x 1x 2利用这两条性质，常常能帮助我们很快获得抽象函数的自变量之间的关系四、利用函数的对称性熟练掌握一些函数图象对称问题的基本特征，有助于迅速而有效地解决一些抽象函数的问题。命题设函数f（x）在定义域为R，且f（a+x）=f（bx），则函数f（x）的图象关于直线x=（a+b）/2对称；特别当a=b时，f（a+x）=f（ax），f（x）的图象关于x=a对称；再特别一些，当a=b=0时，函数y=f（x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称，此时，y=f（x）为偶函数。命题对于定义域在R上的函数y=f（x），函数y=f（a+x）与y=f（bx）的图象关于直线x=（ba）/2对称。 例设函数y=f（x）对一切实数x都满足f（x+3）=f（3x）且方程f（x）=0恰好有 个不同的实根，这6个根的和为（） A.18 B.12 C.9 D.0 解：由命题知，y=f（x）的图象关于x=3对称，故个根的和为，故选A。例设函数y=f（x）的定义在R上，则函数y=f（x1）与y=f（1x）的图象关于（） A.直线y=0对称 B.直线x=0对称 C.直线y=1对称 D.直线x=1对称 解：由命题知x=1为其对称轴，故选D。 例已知定义在R上的函数f（x）在区间（0，2）上是增函数，且对任意xR，都有 f（2+x）=f（2x）成立，那么下列不等关系中正确的是（）A.f(1)f(5/2)f(7/2) B.f(7/2)f(1)f(5/2) C.f(7/2)f(5/2)f(1) D.f(5/2)f(1)f(7/2) 思路：利用函数的对称性将5/2，7/2转化到区间(0,2)内，再根据函数的单调性比较函数值的大小。 解：由f（2+x）=f（2x）可知，函数f(x)的图象关于直线x=2对称，因此对任意 xR，有f(x)=f(4x)成立。 于是，f(5/2)=f(45/2)=f(3/2) , f(7/2)=f(47/2)=f(1/2). 因为函数f(x)在区间(0,2)上是增函数，且1/213/2，所以f(1/2)f(1)f(3/2)， 即f(7/2)f(1)f(5/2)，选答案B。点析：必须注意：“f(a+x)=f(bx)”与“f(xa)=f(xb)”的区别，后者意味着y=f(x)是以ab为周期的周期函数。特别地，若f(xa)=f(x+b)，则y=f(x)是以2a为周期的周期函数。五、利用函数的周期性 关于函数的周期性，首先要弄清楚三种符号形式：（）若f（x+a）=f（x+b）恒成立，则函数为周期函数，周期为T=| ba |，（）若f(a+x)=f(bx)恒成立，则函数的图象关于直线x=（a+b）/2对称。（）若定义在上的函数f(x）的图象关于两直线x=和x=（）对称，则函数f(x）以（）为周期特别的，若定义在上的偶函数的图象关于直线x=（）对称，则f(x）以为周期。（）若定义在上的函数f(x），值域是函数（）的定义域的子集，且满足f（x+a）f（），（）（），则f(x）以为周期。以上这四个结论可以快速认识函数具有周期性还是轴对称性，并且对这两者之间的转换要能够熟练运用。 例9设f(x)是定义在R的偶函数，其图象关于直线x=1对称，证明f(x)是周期函数。 分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转换轴对称方程，进一步和函数的周期性联系上。由题设条件f(x)开始，依据周期函数的定义，只需推出f(x)=f(x+T)即可。 证明：因为y=f(x)图象关于直线x=1对称，所以f(x)=f2(x)=f(2+x) 因为是偶函数，所以f(x)=f(x)=f(2+x)故是周期函数，并且周期T=2。 例已知的f(x)定义域为R，且对一切xR满足f(2+x)=f(2x)，f(7+x)=f(7x). （）若f(5)=9，求f(5)的值 （）已知x2,7时，f(x)=(x2) 2，求当x16,20时，f(x)的解析式 解：（）因为f(x)的图象关于直线x=2，x=7对称，所以f(x)=f(4x)=f7(3+x) 所以f(x)是以为周期的周期函数。所以f(5)=f(5+10)=f(5)=9 （）画数轴寻找各区间的联系 f(x)的图象关于直线x=7对称，f(x)=f(14x) 当x7,12时，14x2,7，f(14x)=(14x2) 2=(x12)2 当x16,17时，x106,77,12，f(x10)=(x12) 2, 又由周期性f(x10)=f(x),f(x)=(x12) 2,x16,17, 当x17,20时，x107,107,12 ,f(x10)=(x22) 2, 又由周期性f(x10)=f(x),f(x)=(x22) 2,x17,20， 综上得f(x)=(x12) 2,x16,17,(x22) 2,x17,20 例11、设奇函数f(x)的定义域为R且满足f(x)+f(x+2)=a，f()在（，）内至少有几个根？思路：从抽象等式中获得新等式，构建方程组，探究f(x)的周期性解：在f(x)+f(x+2)=a中，将用代替，得f(x)+f(x+)=a，两式联立，消去f(x)得f(x)f(x+)，故f(x)以为周期。于是f()f()，f()f()，f()f()。所以，是方程f(x)在（，）内的六个根。另外，在f(x)f(x+)f(x)中，令x+x，得x，f()，于是f()f()f()，所以，也是方程f(x)的根综上：方程f(x)在（，）内的有九个根。评析：本题灵活运用赋值法（用代替），为什么不用代替呢？这里就是兼顾构建的方程组中能够消元，从而求出周期。接替中最容易忽视漏掉，三个根，大家要引起重视。六、寻找抽象函数的原型法 在抽象函数问题中.我们可以通过一些具体的模型.以具体函数代替抽象函数,通过具体函数模型的有关性质和研究方法,去推测抽象函数的性质或解题思路,就能实现思维上的突破，尤其是高中阶段，对一些问题适当的形式化，抽象化，可以迅速的解决问题。例、若对任意实数和常数，都有f(x) f( x)f( x)成立，判断f( x)是不是周期函数，为什么？思路：观察联想，寻找原型，猜想论证。解：观察抽象函数关系式，立即联想到tan（x）（tanx）（tanx）的形式极为相似，因此可以把tanx看作 f( x)的原型。我们知道tanx的周期是，而，猜想 是f( x)的一个周期。于是 f( x) f( x) f( x)，故 f( x)是周期函数，且是f( x)的一个周期。评析：以下是几类常用的抽象函数的模型,要熟悉并能运用。例如：1、 f( x)+f(y)= f(xy),模型是对数函数2、f(x+y)=f(x) f(y)，模型是指数函数