《一 数学归纳法》课件5.ppt

数学归纳法 1 数学归纳法的概念 先证明当n取第一值n0 例如可取n0 1 时命题成立 然后假设当n k k N k n0 时命题成立 证明当时命题也成立 这种证明方法叫做数学归纳法 2 数学归纳法适用范围 数学归纳法的适用范围仅限于与的数学命题的证明 n k 1 正整数有关 3 数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤 证明当n取 如取n0 1或2等 时命题正确 假设当n k k N k n0 时结论正确 证明当时命题也正确 由此可以断定 对于任意的正整数n 命题都正确 第一个值n0 n k 1 不小于n0 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点 一是要准确表述n n0时命题的形式 二是要准确把握由n k到n k 1时 命题结构的变化特点 并且一定要记住 在证明n k 1成立时 必须使用归纳假设 例2 求证 x2n y2n n N 能被x y整除 思路点拨 本题是与正整数有关的命题 直接分解出因式 x y 有困难 故可考虑用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 x2 y2 x y x y 能被x y整除 2 假设n k k 1 k N 时 x2k y2k能被x y整除 那么当n k 1时 x2k 2 y2k 2 x2 x2k y2 y2k x2y2k x2y2k x2 x2k y2k y2k x2 y2 x2k y2k与x2 y2都能被x y整除 x2 x2k y2k y2k x2 y2 能被x y整除 即n k 1时 x2k 2 y2k 2能被x y整除 由 1 2 可知 对任意正整数n命题均成立 利用数学归纳法证明整除时 关键是整理出除数因式与商数因式积的形式 这就往往要涉及到 添项 与 减项 因式分解 等变形技巧 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题得证 3 用数学归纳法证明 3n 1 7n 1 n N 能被9整除 证明 当n 1时 4 7 1 27能被9整除命题成立 假设n k时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 当n k 1时 3k 3 1 7k 1 1 3k 1 3 7 7k 1 7 3k 1 7k 1 21 7k 3k 1 7k 1 18k 7k 6 7k 21 7k 3k 1 7k 1 18k 7k 27 7k 由归纳假设 3k 1 7k 1能被9整除 又因为18k 7k 27 7k也能被9整除 所以 3 k 1 1 7k 1 1能被9整除 即n k 1时命题成立 则 可知对所有正整数n命题成立 4 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 证明 1 当n 1时 x y能被x y整除 2 假设n 2k 1时 x2k 1 y2k 1能被x y整除 当n 2k 1时 x2k 1 y2k 1 x2k 1 y2k 1 x2y2k 1 x2y2k 1 x2 x2k 1 y2k 1 y2k 1 x y x y 根据归纳假设x2k 1 y2k 1能被x y整除 另一项有因式x y 因此也能被x y整除 所以 当n 2k 1时 命题仍然成立 根据 1 2 可知当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 用数学归纳法证明几何问题时 一定要清楚从n k到n k 1时 新增加的量是多少 一般地 证明第二步时 常用的方法是加1法 即在原来k的基础上 再增加一个 当然我们也可以从k 1个中分出1个来 剩下的k个利用假设 6 求证 平面内有n n 2 条直线 其中任意两条直线不平行 任意三条直线不过同一点 求证它们彼此互相分割成n2条线段 或射线 证明 1 当n 2时 两条直线不平行 彼此互相分割成4条射线 命题成立 2 假设当n k时 命题成立 即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段 或射线 那么n k 1时 取出其中一条直线为l 其余k条直线彼此互相分割成k2条线段 或射线 直线l把这k条直线又一分为二 多出k条线段