高考数学专题复习导练测 第九章 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 理 新人教A版.doc

高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题考点自测1已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案1解析由题意得，双曲线1 (a0，b0)的焦点坐标为(，0)，(，0)，c；且双曲线的离心率为2a2，b2c2a23，双曲线的方程为1.2已知椭圆1 (ab0)与抛物线y22px (p0)有相同的焦点f，p，q是椭圆与抛物线的交点，若pq经过焦点f，则椭圆1 (ab0)的离心率为_答案1解析因为抛物线y22px (p0)的焦点f为，设椭圆另一焦点为e.当x时代入抛物线方程得yp，又因为pq经过焦点f，所以p且pfof.所以|pe| p，|pf|p，|ef|p.故2a pp,2cp，e1.3若双曲线1的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为()a1 b2 c3 d6答案b解析双曲线1的渐近线方程为yx，即xay0，圆(x2)2y24的圆心为c(2,0)，半径为r2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|cd|，另一方面，圆心c(2,0)到双曲线1的渐近线xay0的距离为d，所以，解得a21，即a1，该双曲线的实轴长为2a2.4若双曲线1 (a0，b0)的渐近线与抛物线yx22有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()a3，) b(3，)c(1,3 d(1,3)答案a解析依题意可知双曲线渐近线方程为yx，与抛物线方程联立消去y得x2x20.渐近线与抛物线有交点，80，求得b28a2，c 3a，e3.5设坐标原点为o，抛物线y22x与过焦点的直线交于a、b两点，则等于()a. b c3 d3答案b解析方法一(特殊值法)抛物线的焦点为f，过f且垂直于x轴的直线交抛物线于a(，1)，b(，1)，1.方法二设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2，y1y2p21.1.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题例1如图所示，在直角坐标系xoy中，点p(1，)到抛物线c：y22px(p0)的准线的距离为.点m(t,1)是c上的定点，a，b是c上的两动点，且线段ab的中点q(m，n)在直线om上(1)求曲线c的方程及t的值；(2)记d，求d的最大值思维点拨(2)用点差法求kab，用m表示出|ab|，利用基本不等式求最值解(1)y22px(p0)的准线为x，1()，p，抛物线c的方程为y2x.又点m(t,1)在曲线c上，t1.(2)由(1)知，点m(1,1)，从而nm，即点q(m，m)，依题意，直线ab的斜率存在，且不为0，设直线ab的斜率为k(k0)且a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，直线ab的方程为ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.从而|ab| |y1y2|2.d2m(1m)1，当且仅当m1m，即m时，上式等号成立，又m满足4m4m20.d的最大值为1.思维升华圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值已知点a(1,0)，b(1,0)，动点m的轨迹曲线c满足amb2，|cos23，过点b的直线交曲线c于p，q两点(1)求|的值，并写出曲线c的方程；(2)求apq面积的最大值解(1)设m(x，y)，在mab中，|ab|2，amb2，根据余弦定理得|2|22|cos 24.即(|)22|(1cos 2)4.(|)24|cos24.而|cos23，所以(|)2434.所以|4.又|42|ab|，因此点m的轨迹是以a，b为焦点的椭圆(点m在x轴上也符合题意)，a2，c1.所以曲线c的方程为1.(2)设直线pq的方程为xmy1.由消去x并整理得(3m24)y26my90.显然方程的0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则sapq2|y1y2|y1y2|.由根与系数的关系得y1y2，y1y2.所以(y1y2)2(y1y2)24y1y248.令t3m23，则t3，(y1y2)2.由于函数(t)t在3，)上是增函数，所以t，当t3m233，即m0时取等号所以(y1y2)29，即|y1y2|的最大值为3.所以apq面积的最大值为3，此时直线pq的方程为x1.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1的左，右顶点分别为a，b，右焦点为f.设过点t(t，m)的直线ta，tb与此椭圆分别交于点m(x1，y1)，n(x2，y2)，其中m0，y10，y20，y2b0)的离心率e ，ab3.(1)求椭圆c的方程；(2)如图所示，a、b、d是椭圆c的顶点，p是椭圆c上除顶点外的任意一点，直线dp交x轴于点n，直线ad交bp于点m，设bp的斜率为k，mn的斜率为m.证明：2mk为定值(1)解因为e，所以ac，bc.代入ab3得，c，a2，b1.故椭圆c的方程为y21.(2)证明方法一因为b(2,0)，点p不为椭圆顶点，则直线bp的方程为yk(x2)(k0，k)，代入y21，解得p.直线ad的方程为yx1.与联立解得m.由d(0,1)，p，n(x,0)三点共线知，解得n.所以mn的斜率为m.则2mkk(定值)方法二设p(x0，y0)(x00，2)，则k，直线ad的方程为y(x2)，直线bp的方程为y(x2)，直线dp的方程为y1x，令y0，由于y01可得n，联立解得m，因此mn的斜率为m.所以2mk(定值)题型三圆锥曲线中的探索性问题例3(2014福建)已知曲线上的点到点f(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；(2)曲线在点p处的切线l与x轴交于点a，直线y3分别与直线l及y轴交于点m，n.以mn为直径作圆c，过点a作圆c的切线，切点为b.试探究：当点p在曲线上运动(点p与原点不重合)时，线段ab的长度是否发生变化？证明你的结论思维点拨(1)设s(x，y)为曲线上的任意一点，利用抛物线的定义，判断s满足抛物线的定义，即可求曲线的方程；(2)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出a、m的坐标，n的坐标，以mn为直径作圆c，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点p在曲线上运动(点p与原点不重合)时，线段ab的长度不变解方法一(1)设s(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点s到f(0,1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点f(0,1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点p在曲线上运动时，线段ab的长度不变证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设p(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得a(x0,0)由得m(x0，3)又n(0,3)，所以圆心c(x0，3)，半径r|mn|x0|，|ab| .所以点p在曲线上运动时，线段ab的长度不变方法二(1)设s(x，y)为曲线上任意一点，则|y(3)|2，依题意，点s(x，y)只能在直线y3的上方，所以y3，所以y1，化简，得曲线的方程为x24y.(2)同方法一思维升华(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法已知椭圆c1、抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心和c2的顶点均为原点o，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求c1，c2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过c2的焦点f；与c1交于不同的两点m，n，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设抛物线c2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点知(3，2)，(4，4)在c2上，易求得c2的标准方程为y24x.设椭圆c1：1(ab0)，把点(2,0)，(，)代入得解得，所以c1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与c1的交点为m(x1，y1)，n(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2.所以y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k21.由，即0，得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得0，解得k2，所以存在直线l满足条件，且直线l的方程为2xy20或2xy20.题型四直线、圆及圆锥曲线的交汇问题例4(2013浙江)如图，点p(0，1)是椭圆c1：1(ab0)的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2y24的直径l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a，b两点，l2交椭圆c1于另一点d.(1)求椭圆c1的方程；(2)求abd面积取最大值时直线l1的方程思维点拨(1)根据椭圆的几何性质易求出a，b的值，从而写出椭圆的方程；(2)要求abd的面积，需要求出ab，pd的长，ab是圆的弦，考虑用圆的知识来求，pd应当考虑用椭圆的相关知识来求求出ab，pd的长后，表示出abd的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值解(1)由题意得所以椭圆c1的方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，d(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆c2：x2y24，故点o到直线l1的距离d，所以|ab|22.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0.所以|pd|.设abd的面积为s，则s|ab|pd|，所以s，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.思维升华对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力如图，已知圆m：(x)2y2，椭圆c：1 (ab0)的右顶点为圆m的圆心，左焦点与双曲线x2y21的左顶点重合(1)求椭圆c的方程；(2)已知直线l：ykx与椭圆c分别交于两点a，b，与圆m分别交于两点g，h(其中点g在线段ab上)，且|ag|bh|，求k的值解(1)由题意，得圆心m(，0)，双曲线的左顶点(1,0)，所以a，c1，b1，椭圆c的方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由直线l与椭圆相交于两点a，b，则所以(12k2)x220，则x1x20，x1x2，所以|ab| .点m(，0)到直线l的距离d，则|gh|22 .显然，若点h也在线段ab上，则由对称性知，直线ykx就是y轴，矛盾因为|ag|bh|，所以|ab|gh|，即4，整理得4k43k210.解得k21，即k1.(时间：80分钟)1在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的a，b两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点解(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)2已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a(2,3)，且点f(2，0)为其右焦点(1)求椭圆c的方程；(2)是否存在平行于oa的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oa与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解方法一(1)依题意，可设椭圆c的方程为1(ab0)，且可知其左焦点为f(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆c的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为yxt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆c有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线oa与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在方法二(1)依题意，可设椭圆c的方程为1(ab0)，且有解得b212，b23(舍去)从而a216.所以椭圆c的方程为1.(2)同方法一3已知椭圆c：1 (ab0)与双曲线1 (1v4)有公共焦点，过椭圆c的右顶点b任意作直线l，设直线l交抛物线y22x于p、q两点，且opoq.(1)求椭圆c的方程；(2)在椭圆c上，是否存在点r(m，n)使得直线l：mxny1与圆o：x2y21相交于不同的两点m、n，且omn的面积最大？若存在，求出点r的坐标及对应的omn的面积；若不存在，请说明理由解(1)1vb0)，则c1，又(ac)(ac)a2c21.a22，b21，故椭圆的标准方程为y21.(2)假设存在直线l交椭圆于p，q两点，且f恰为pqm的垂心，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(0,1)，f(1,0)，直线l的斜率k1.于是设直线l为yxm，由得3x24mx2m220，x1x2m，x1x2.x1(x21)y2(y11)0.又yixim(i1,2)，x1(x21)(x2m)(x1m1)0，即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0.(*)将代入(*)式得2(m1)m2m0，解得m或m1，经检验m符合条件故存在直线l，使点f恰为pqm的垂心，直线l的方程为yx.5已知椭圆c的中心为坐标原点o，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点p(0，m)，与椭圆c交于异于椭圆顶点的两点a，b，且2.(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围解(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意，知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即消去y