高考数学一轮复习 必考部分 第三篇 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用应用能力提升 文 北师大版.doc

第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】 知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,3,5,6,7,11与面积相关的问题4,8,10,12,14判断三角形的形状2,9实际应用问题及综合问题13,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2016石景山区模拟)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,a=4,b=43,a=30,则b等于(b)(a)60(b)60或120(c)30(d)30或150解析:因为a=4,b=43,a=30,由正弦定理asina=bsinbsin b=bsinaa=32,因为b是三角形的内角,且ba,所以b=60或120.2.(2015广州四校联考)在abc中,已知2sin acos b=sin c,那么abc一定是(c)(a)直角三角形(b)等腰直角三角形(c)等腰三角形(d)正三角形解析:在三角形中,2sin acos b=sin c=sin(a+b)=sin acos b+cos asin bsin acos b-cos asin b=sin(a-b)=0,所以a=b,即三角形为等腰三角形.3.(2015高考广东卷)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若a=2,c=23,cos a=32且bc,则b等于(c)(a)3(b)22(c)2(d)3解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,即4=b2+12-6bb2-6b+8=0(b-2)(b-4)=0,由b0,所以a+b=25.答案:2515.(2015高考山东卷)abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c.已知cos b=33,sin (a+b)=69,ac=23,求sin a和c的值.解:在abc中,由cos b=33,得sin b=63,因为a+b+c=,所以sin c=sin(a+b)=69.因为sin csin b,所以cb,可知c为锐角,所以cos c=539,因此sin a=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c=63539+3369=223.由asina=csinc,可得a=csinasinc=223c69=23c.又ac=23,所以c=1.16.某炮兵阵地位于地面a处,两观察所分别位于地面c和d处,已知cd=6 km,acd=45,adc=75,目标出现于地面b处时,测量得bcd=30,bdc=15,如图,求炮兵阵地到目标的距离.解:在acd中,cad=180-acd-adc=60,cd=6,acd=45,根据正弦定理得ad=cdsin45sin60=23cd.同理,在bcd中,cbd=180-bcd-bdc=135,cd=6,bcd=30,根据正弦定理得bd=cdsin30sin135=22cd.又在abd中,adb=adc+bdc=90,根据勾股定理有ab=ad2+bd2=23+12cd=426cd=42 (km).所以炮兵阵地到目标的距离为42km.精彩5分钟1.(2015浏阳一中模拟)已知abc内角a,b,c的对边分别是a,b,c,若cos b=14,b=2,sin c=2sin a,则abc的面积为(b)(a)156(b)154(c)152(d)15解题关键:关键求a,c,选用abc面积公式sabc=12acsin b.解析:由正弦定理asina=csinc,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得4=a2+c2-2ac14,由得a=1,c=2,又sin b=1-cos2b=154,所以sabc=12ac sin b=1212154=154.2.(2014高考江苏卷)若abc的内角满足sin a+2sin b=2sin c,则cos c的最小值是.解题关键:关键由sin a+2sin b=2sin c转化为边关系,再由余弦定理化为两边代数式,运用基本不等式.解析:由正弦定理可得a+2b=2c,又cos c=a2+b2-c22ab=a2+b2-14(a+2b)22ab=3a2+2b2-22ab8ab26ab-22ab8ab=6-24,当且仅当3a=2b时取等号,所以cos c的最小值是6-24.答案:6-243.(2015临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在a处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的c处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.解题关键:首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.解析:如图,设舰艇在b处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则ab=21t,cb=9t,在abc中,根据余弦定理,则有ab2