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高一数学期末复习专题一平面向量 一、知识梳理1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量称为向量，向量的大小称为向量的_(或称为模)(2)零向量：_的向量称为零向量，其方向是_的(3)单位向量：长度等于_的向量(4)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又称为_，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上规定：0与任一向量_(5)相等向量：长度_且方向_的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法_法则_法则(1)交换律：ab_；(2)结合律：(ab)c_.减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法_法则aba(b)3向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：|a|_；当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当a0时，a0；当0时，a_.(2)运算律：设，是两个实数，则(a)_.(结合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理： _4平面向量基本定理如果e1，e2是同一个平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a_.其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的_(1)e1，e2均为非零向量，必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底(2)基底不唯一，当基底给定时，分解形式唯一；1，2是被a，e1，e2唯一确定的数量5平面向量的坐标运算在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj，我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y) (1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_；|_.(3)若a(x，y)，则a_.（4）若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.6向量的数量积：（1）已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(2)向量的夹角：如图，两个非零向量a和b，a，b，则_为向量a与b的夹角两向量夹角的范围为0，当0时，a与b同向，当_时，a与b反向(3)数量积的运算法则：(1)ab_(交换律)；(2)(a)b(ab)_；(3)(ab)c_.典型例题例1判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)若|a|b|，则ab；(2)若ab，则|a|b|；(3)若ab，bc，则ac；(4)若ab，bc，则ac；(5)若|a|0，则a0；(6)若0，则a0；(7)若，则ABCD是平行四边形例2设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线巩固练习：1下列命题：如果非零向量a与b的方向相同或相反，且ab是非零向量，那么ab的方向必与a，b之一方向相同；ABC中，必有0；0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；若a，b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确的命题是_2设向量a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.3.如图，在ABC中，在AC上取点N，使得ANAC，在AB上取点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得MQCM时，试确定的值例3如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.例4已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且满足t(tR)(1)t为何值时，点P在x轴上；t为何值时，点P在y轴上？(2)四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由例5平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.巩固练习1已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC60，设，则实数_.2.如图，P是ABC内一点，且满足条件230，设Q为CP的延长线与AB的交点，令p，试用p表示.3已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值； (2)若|a|b|,0，求的值例6在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值例7设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向