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3 1 4空间向量的坐标表示 提问 我们知道 在平面直角坐标系中 平面上任任意一向量都可以用向量的坐标来表示 我们把 x y 叫做向量a的 直角 坐标 记作a x y 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 x y 叫做向量的坐标表示 a y j i o 图1 x xi yj 平面向量的坐标表示 a xi yj 其中i j为向量i j 那空间中任意一向量怎样用坐标来表示 单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且大小都为1 那么这个基底叫做单位正交基底 常用来表示 因此我们可以类似平面直角坐标系 建立空间直角坐标系 在空间选定一点o和一个单位正交基底以点o为原点 分别以的正方向建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这样就建立了一个空间直角坐标系o xyz x轴 y轴 z轴 都叫做叫做坐标轴 点o叫做原点 向量都叫做坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 对空间任一向量 由空间向量基本定理 存在唯一的有序实数组 使 空间直角坐标系 在空间直角坐标系o xyz中 对空间任一点a 对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组x y z 使 如图 显然 向量的坐标 就是点a在此空间直角坐标系中的坐标 x y z 也就是说 以o为起点的有向线段 向量 的坐标可以和点的坐标建立起一一对应的关系 从而互相转化 我们说 点a的坐标为 x y z 记作a x y z 其中x叫做点a的横坐标 y叫做点a的纵坐标 z叫做点a的竖坐标 空间向量运算的坐标规律 则 设 练习1 已知求 解 结论 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 如果知道有向线段的起点和终点的坐标 那么有向线段表示的向量坐标怎样求 空间向量坐标运算法则 关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化 为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时 首先要选定单位正交基 进而确定各向量的坐标 小结 1 空间向量的坐标运算 2 利用向量的坐标运算判断空间几何
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