高等代数课程习题.doc

高等代数课程习题第1章行列式习 题 1.11 计算下列二阶行列式： （1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）2 计算下列三阶行列式：（1） （2） （3） （4）（5） （6） 3 用定义计算行列式：（1） （2）（3） (4) .4.用方程组求解公式解下列方程组: (1) (2)习 题 1.21 计算下列行列式：（1） (2) （3） （4）2.计算行列式（1）（2） （3）（4） （5）3.用行列式的性质证明：（1）（2）4.试求下列方程的根：（1）（2）5.计算下列行列式（1） （2） （3） （4） （5） （6）习 题 1.31 解下列方程组（1）（2） 2 k取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) (2) 习 题 五1.41计算下列行列式（1）， （2） （3）（4）， （5）2用克莱姆法则解线性方程（1） (2)3当为何值时，方程组 可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) (2) (3) 5.试求一个2次多项式,满足.第2章矩阵习 题 2.21设 ， ， ，求3a-2b+c。 2已知 求矩阵x。 3计算下列矩阵（1）， （2） ，（3）（4），（5）4设 ， 求（1）ab3b； （2）abba； （3）（ab）（a+b）；（4）a2b2 5已知设 f（x）=x22x1，求f（a）。 6如果，证明a2=a的充要条件是b2=e。 7设 (1)计算行列式|(2ab)t+b|的值.(2)求行列式|a3a|.8.证明：(abc)t=ctbtat.习 题 2.3用分块矩阵的乘法计算下列各题1 求ab. 2. 求aba.习 题 2.5 1.用求矩阵的逆矩阵(1)其中adbc0; (2)(3) (3) 2.用矩阵的初等变换求逆矩阵(1) (2)(3) (4)3.设ak=0,其中a为方阵,k为大于1的某个正整数,证明(e-a)-1=e+a+a2+ak-1.4.解下列矩阵方程(1) (2)(3)5.若a为非退化矩阵,并且ab=ba,试证： a-1b=ba-1。习 题 2.6 1.求下列矩阵的秩 (1) (2)(3) (4)2.问能否适当选取矩阵 中的k的值,使(1) r(a)=1,(2) r(a)=2,(3) r(a)=3.3.试证明： .习 题 2.71.设,且a+b=c,求x，y，u，v，w，t。2计算（1）；（2） （n0）3.求逆矩阵:(1) (2) 4.求矩阵的秩:(1); (2)5.已知矩阵 (1)设ax-2a+5e=0,求x.(2)设ax=a+2x,求x.6.已知ap=pb,其中 ,求a与a100.7.设a为3阶方阵,a*为a的伴随矩阵,at为a的转置矩阵,a-1为a的逆矩阵,若行列式|a|=4,(1)求行列式的值.(2)求行列式.8.设a是n阶方阵,e是n阶单位矩阵,a+e是可逆矩阵,且f (a)=(e-a)(e+a)-1,求f (f (a).9.证明 10.设a为n阶满秩方阵(n2),a*为a的伴随矩阵,求证(a*)*=|a| n2a.第3章线性方程组习 题 3.1 1、判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。 （1） （2） （3） （4） 2求齐次线性方程组 的通解。 3问k取何值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？有解时并求出它的解。4当k取何值时，线性方程组 有非零解？并求出它的一般解。习 题 3.2 1.设向量, (1)若+=,求; (2)若3-2=5,求. 2将下列向量用其余向量线性表示： （1）1=(1，1，-1)t, 2=(1，2，1)t , 3=(0，0，1)t, =(1，0，-2)t; (2) 1=(1，1，1, 1)t, 2=(1，1，-1，-1)t , 3=(1，-1，1，-1)t, 4=(1，-1，-1，1)t=(1，2，1，1)t。 3判断下列向量组的线性相关性： （1）1=(1，1，1)t, 2=(0，2，5)t , 3=(1，3，6)t； （2）1=(2，-1，3)t, 2=(3，-1，5)t , 3=(1，-4，3)t （3）1=(4，3，-1, 1，-1)t, 2=(2，1，-3，2，-5)t , 3=(1，5，2，-2，6)t, 4=(1，-3，0，1，-2)t。4试证：（1）若1，2，3线性无关，则21+2，2+53，43+31线性无关。 （2）若1，2，3线性无关，则1，1+2，1+2+3线性无关。习 题 3.31.求下列向量组的秩和它的一个极大无关组:(1) 1=(2，1，1)t, 2=(1，2，-1)t , 3=(-2，3，0)t；(2) 1=(2，1，3, -1)t, 2=(3，-1，2，0)t , 3=(1，3，4，-2)t, 4=(4，-3，1，1)t 2求下列向量组的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组表示 ：(1)1=(1，-1，2, 4)t, 2=(0，3，1，2)t , 3=(3，0，7，14)t, 4=(1，-1，2，3)t(2) 1=(1，1，1)t, 2=(1，1，0)t , 3=(1，0，0)t, 4=(1，-2，-3)t 3.设向量组与向量组(sr)有相同的秩,证明: 向量组与向量组等价.习 题 3.41.设 问v1,v2是否是向量空间?为什么?2.试证:由向量1=(0，1，1)t, 2=(1，0，1)t , 3=(1，1，0)t所生成的向量空间就是r3.3.验证1=(1，-1，0)t, 2=(2，1，3)t , 3=(3，1，2)t为r3的一个基,并把1=(5，0，7)t, 2=(-9，-8，-13)t 用这个基线性表示 。习 题 3.51求下列齐次线性方程组的一个基础解系和它的通解： （1） （2） （3）2求下列方程组的通解： （1） （2） （3）习 题 3.6 1.判断下列向量组的线性相关性,并求秩和一个极大无关组:(1)1=(1，2，-1, 4)t, 2=(9，100，10，4)t , 3=(-2，-4，2，-8)t; (2) 1=(1，2，1, 3)t, 2=(4，-1，-5，-6)t , 3=(1，-3，-4，-7)t, 4=(2，1，-1，0)t(3) 1=(1，1，1, 1)t, 2=(1，1，-1，-1)t , 3=(1，-1，-1，1)t, 4=(-1，-1，-1，1)t 2. 求下列向量组的一个极大无关组,并将组中其余向量由极大无关组线性表示:(1) 1=(1，1，3, 1)t, 2=(-1，1，-1，3)t , 3=(-1，3，1，7)t, 4=(-1，3，1，7)t(2) 1=(1，1，2, 3)t, 2=(1，-1，1，1)t , 3=(1，3，3，5)t, 4=(4，-2，5，6)t5=(-3，-1，-5，-7)t. 3. k取何值时,方程组 有解?并求它的全部解.4.问a,b为何值时方程组 相容?相容时求出它的全部解.5.试证两个等价向量组的秩必相等.6.设1,2,s是非齐次线性方程组ax=b的s个解,k1,k2,ks为实数,满足k1+k2+ks=1,试证: x=k11+k22+kss也是所给非齐次线性方程组的.7.设a是矩阵,b是矩阵,若记分块矩阵 c=ab,试证:矩阵方程 ax=b,有解的充分必要条件是 r(c)=r(a). 8.对非齐次方程组ax=b,已知r(a)=r,以及方程组的(n-r+1)个线性无关的解向量1,2,n-r+1,试证：1n-r+1，n-rn-r+1是其导出组的一个基础解系. 第4 章矩阵对角化与二次型习 题 4.11 设有向量 ，（1）求内积（+，-） （2）求长度 |2-3| 。2 已知向量组（1），；（2）试将它们先正交化，再标准化。3 指出下列矩阵是否是正交矩阵？说明理由。（1） （2）习 题 4.21 求下列矩阵的特征值及特征向量（1） （2） （3）（4） （5） 2设a是n阶可逆矩阵，证明它的特征根00，而且是a-1的特征根。 3.设0是a的特征根,k是实数,试证(1) k0是ka的特征根;(2) 是a2的特征根.习 题 4.31 矩阵(1) (2) (3)是否可以对角化？若可以，将其对角化。2 将下列实对称 矩阵对角化（1） （2）习 题 4.41. 将下列二次型写成矩阵形式（1）（2）（3）2用配方法化二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换（1）（2）3 用正交变换化下列二次型为标准，并求出所用的正交变换（1）（2）习 题 4.51 判定下列二次型的正定性（1）（2）2 求k的值，使二次型 为正定的.习 题4.6 1.将下面向量组正交化,单位化. 2.试证矩阵正交矩阵.3.设,都是阶正交矩阵,求证也是正交矩阵.4.求下列矩阵的特征值和特征向量.(1), (2).并问它们的特征向量是否两两正交? 5.求一个正交变换,将矩阵 化为对角矩阵.6.求一个正交变换,化下列二次型为标准形.(1) (2) .7判定下列二次型的正定性.(1) (2) .8.设是正定矩阵,试证也是正定矩阵.线性代数课程习题答案第1章行列式习 题 1.11.计算下列二阶行列式：解:（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）2.计算下列三阶行列式：（1） （2） （3） （4）（5） （6） 3.用定义计算行列式：（1） （2）（3） (4) .4.用方程组求解公式解下列方程组: 习 题 1.22 计算下列行列式： 2.计算行列式（1） 3.用行列式的性质证明：4.试求下列方程的根：5.计算下列行列式(1) 习 题 1.33 解下列方程组 4 k取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：习 题 五1.41计算下列行列式， ， 2用克莱姆法则解线性方程4.证明下列各等式 第2章矩阵习 题 2.2 3计算下列矩阵， ，4设 ， 求（1）a