中考数学二轮复习 专题五 数学思想方法.doc

数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例1 （2015湖北十堰，第7题3分）.当x=1时，ax+b+1的值为2，则（a+b1）（1ab）的值为（）a16b8c8d16考点：整式的混合运算化简求值分析：由x=1时，代数式ax+b+1的值是2，求出a+b的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解解答：解：当x=1时，ax+b+1的值为2，a+b+1=2，a+b=3，（a+b1）（1ab）=（31）（1+3）=16故选：a点评：此题考查整式的化简求值，运用整体代入法是解决问题的关键对应训练1（2015福建龙岩13，3分）若4a2b=2，则2ab+= 考点：代数式求值分析：根据整体代入法解答即可解答：解：因为4a2b=2，所以可得2ab=，把2ab=代入2ab+=2点评：此题考查代数式求值，关键是根据整体代入法计算考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 例2 （2015山西,第5题3分）我们解一元二次方程3x26x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2这种解法体现的数学思想是（）a转化思想b函数思想c数形结合思想d公理化思想考点：解一元二次方程-因式分解法专题：计算题分析：上述解题过程利用了转化的数学思想解答：解：我们解一元二次方程3x26x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2这种解法体现的数学思想是转化思想，故选a点评：此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键对应训练2（2015四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点b处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点a处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是a13cmbcmccmdcm考点：平面展开-最短路径问题.分析：将容器侧面展开，建立a关于ef的对称点a，根据两点之间线段最短可知ab的长度即为所求解答：解：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点b处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点a处，ad=5cm，bd=123+ae=12cm，将容器侧面展开，作a关于ef的对称点a，连接ab，则ab即为最短距离，ab=13（cm）故选：a点评：本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏例3 （2015湖北荆州第9题3分）如图，正方形abcd的边长为3cm，动点p从b点出发以3cm/s的速度沿着边bccdda运动，到达a点停止运动；另一动点q同时从b点出发，以1cm/s的速度沿着边ba向a点运动，到达a点停止运动设p点运动时间为x（s），bpq的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）abcd考点：动点问题的函数图象分析：首先根据正方形的边长与动点p、q的速度可知动点q始终在ab边上，而动点p可以在bc边、cd边、ad边上，再分三种情况进行讨论：0x1；1x2；2x3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解解答：解：由题意可得bq=x0x1时，p点在bc边上，bp=3x，则bpq的面积=bpbq，解y=3xx=x2；故a选项错误；1x2时，p点在cd边上，则bpq的面积=bqbc，解y=x3=x；故b选项错误；2x3时，p点在ad边上，ap=93x，则bpq的面积=apbq，解y=（93x）x=xx2；故d选项错误故选c点评：本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键对应训练3（2015黑龙江省大庆,第9题3分）已知二次函数y=a（x2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x12|x22|，则下列表达式正确的是（） a y1+y20 b y1y20 c a（y1y2）0 d a（y1+y2）0考点： 二次函数图象上点的坐标特征分析： 分a0和a0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解解答： 解：a0时，二次函数图象开口向上，|x12|x22|，y1y2，无法确定y1+y2的正负情况，a（y1y2）0，a0时，二次函数图象开口向下，|x12|x22|，y1y2，无法确定y1+y2的正负情况，a（y1y2）0，综上所述，表达式正确的是a（y1y2）0故选c点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数a的正负情况分情况讨论四、中考真题演练1. （2015黄冈,第10题3分）若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为_.2. （2015黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2x1=0的两根，求的值3. (2015黑龙江绥化，第21题 分)在矩形abcd中 ，ab=4 , bc=3 , 点p在ab上。若将dap沿dp折叠 ，使点a落在矩形对角线上的处 ，则ap的长为_4. （2015山东日照 ，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于a，b两点，交x轴与d，c两点，连接ac，bc，已知a（0，3），c（3，0）（）求抛物线的解析式和tanbac的值；（）在（）条件下：（1）p为y轴右侧抛物线上一动点，连接pa，过点p作pqpa交y轴于点q，问：是否存在点p使得以a，p，q为顶点的三角形与acb相似？若存在，请求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由（2）设e为线段ac上一点（不含端点），连接de，一动点m从点d出发，沿线段de以每秒一个单位速度运动到e点，再沿线段ea以每秒个单位的速度运动到a后停止，当点e的坐标是多少时，点m在整个运动中用时最少？五、中考真题演练参考答案1. （2015黄冈,第10题3分）若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为_.考点：根与系数的关系 专题：计算题 分析：先根据根与系数的关系得到x1 +x2 =2 ，x1 x2 = 1，然后利用整体代入的方法计算 解答：解：根据题意得x1 +x2 =2 ，x1 x2 = 1， 所以x1+x2-x1x2 =2 （1）=3 故答案为3 点评：本题考查了根与系数的关系：若x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c=0 （a0 ）的两根时， x1 +x2 = ，x1 x2 = 2.（2015黑龙江省大庆,第21题5分）已知实数a，b是方程x2x1=0的两根，求的值考点： 根与系数的关系分析： 根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=1，再利用完全平方公式变形得到=，然后利用整体代入的方法进行计算解答： 解：实数a，b是方程x2x1=0的两根，a+b=1，ab=1，=3点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2= 3. (2015黑龙江绥化，第21题 分)在矩形abcd中 ，ab=4 , bc=3 , 点p在ab上。若将dap沿dp折叠 ，使点a落在矩形对角线上的处 ，则ap的长为_考点：翻折变换（折叠问题）专题：分类讨论分析：分两种情况探讨：点a落在矩形对角线bd上，点a落在矩形对角线ac上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案解答：解：点a落在矩形对角线bd上，如图1，ab=4，bc=3，bd=5，根据折叠的性质，ad=ad=3，ap=ap，a=pad=90，ba=2，设ap=x，则bp=4x，bp2=ba2+pa2，（4x）2=x2+22解得：x=，ap=；点a落在矩形对角线ac上，如图2，根据折叠的性质可知dpac，dapabc，ap=故答案为：或点评：本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键4. （2015山东日照 ，第22题14分）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于a，b两点，交x轴与d，c两点，连接ac，bc，已知a（0，3），c（3，0）（）求抛物线的解析式和tanbac的值；（）在（）条件下：（1）p为y轴右侧抛物线上一动点，连接pa，过点p作pqpa交y轴于点q，问：是否存在点p使得以a，p，q为顶点的三角形与acb相似？若存在，请求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由（2）设e为线段ac上一点（不含端点），连接de，一动点m从点d出发，沿线段de以每秒一个单位速度运动到e点，再沿线段ea以每秒个单位的速度运动到a后停止，当点e的坐标是多少时，点m在整个运动中用时最少？考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义专题：压轴题分析：（）只需把a、c两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线ab与抛物线的交点b的坐标，过点b作bhx轴于h，如图1易得bch=aco=45，bc=，ac=3，从而得到acb=90，然后根据三角函数的定义就可求出tanbac的值；（）（1）过点p作pgy轴于g，则pga=90设点p的横坐标为x，由p在y轴右侧可得x0，则pg=x，易得apq=acb=90若点g在点a的下方，当paq=cab时，paqcab此时可证得pgabca，根据相似三角形的性质可得ag=3pg=3x则有p（x，33x），然后把p（x，33x）代入抛物线的解析式，就可求出点p的坐标当paq=cba时，paqcba，同理，可求出点p的坐标；若点g在点a的上方，同理，可求出点p的坐标；（2）过点e作eny轴于n，如图3易得ae=en，则点m在整个运动中所用的时间可表示为+=de+en作点d关于ac的对称点d，连接de，则有de=de，dc=dc，dca=dca=45，从而可得dcd=90，de+en=de+en根据两点之间线段最短可得：当d、e、n三点共线时，de+en=de+en最小此时可证到四边形ocdn是矩形，从而有nd=oc=3，on=dc=dc然后求出点d的坐标，从而得到od、on、ne的值，即可得到点e的坐标解答：解：（）把a（0，3），c（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：抛物线的解析式为y=x2x+3联立，解得：或，点b的坐标为（4，1）过点b作bhx轴于h，如图1c（3，0），b（4，1），bh=1，oc=3，oh=4，ch=43=1，bh=ch=1bhc=90，bch=45，bc=同理：aco=45，ac=3，acb=1804545=90，tanbac=；（）（1）存在点p，使得以a，p，q为顶点的三角形与acb相似过点p作pgy轴于g，则pga=90设点p的横坐标为x，由p在y轴右侧可得x0，则pg=xpqpa，acb=90，apq=acb=90若点g在点a的下方，如图2，当paq=cab时，则paqcabpga=acb=90，paq=cab，pgabca，=ag=3pg=3x则p（x，33x）把p（x，33x）代入y=x2x+3，得x2x+3=33x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=1（舍去）如图2，当paq=cba时，则paqcba同理可得：ag=pg=x，则p（x，3x），把p（x，3x）代入