高中数学第二章2.4平面向量的坐标课堂导学案北师大版必修.docx

2.4 平面向量的坐标课堂导学三点剖析1.向量的坐标运算【例1】 已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示+.思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式+=m+n，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出系数m、n.解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），+=（-3，5）+（-4，2）+（-5，1）=（-12，8）.根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得+=m+n，（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）.也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.可得.+=32-22.各个击破类题演练 1已知向量a=(3,-2),b=（-2，1），c=(7,-4),试用a和b来表示c.解:设c=ma+nb.即（7，-4）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),于是有所以c=a-2b.变式提升 1已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示.解析：=（1，3），=（2，4），=（-3，5）.设=m+n,即（-3，5）=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n)于是有=11-7.2.共线向量的坐标表示【例2】 已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p的坐标为（2k-1，7），且p，则k的值是( )A. B. C. D.思路分析：欲求k的值，只需建立k的方程，由共线向量定理的坐标表示，利用p，得到k的方程，然后求解.解：A(2,-2),B(4,3),=（2，5）.又p,14-5(2k-1)=0，即k=.答案：B友情提示 一般求字母的值时，往往将条件化为关于该字母的方程，然后通过解方程求得字母的值，所以解决这类问题的关键是从题目中找出等量关系.类题演练 2已知四边形ABCD是平行四边形，其顶点A、B、C的坐标分别是A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D点的坐标.解析：设D点坐标为（x，y），由题意可知，=（1，2），=（3-x，4-y）.四边形为平行四边形，=,即D的坐标为（2，2）变式提升 2已知：A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4），判断与是否共线？解析:=（2，1）-（-2，-3）=（4，4），=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）.4（-8）-4（-8）=0，.即与共线，或=-2.与共线.3.向量坐标形式的灵活应用【例3】 用坐标法证明+=0.思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算.解：设A（a1,a2）,B(b1,b2),C(c1,c2),则=(b1-a1,b2-a2),=(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2)，+=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)=(b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2)=(0,0)=0.+=0.友情提示 这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无需考虑三个点A、B、C是否共线.同时，对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：=0.类题演练 3已知平面内三个点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），求,+,2+.解析：A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),=(7-1,0+2)=(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10),2+=2(6,2)+(-6,8)=(12,4)+(-3,4)=(9,8).变式提升 3 若点O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且=2，=3，则点A的坐标为_，点B的坐标为_，向量的坐标为_.解析：O（0，0），A（1，2），B（-1，3），=（1，2），=（-1，3），=2(1,2)=(2,4),=3(-1,3)=(-3,9).A(2,4),B(-3,9),=(-3-2,9-4)=(-5,5).答案：（2，4） （-3，9） （-5，5）【例4】 如右图，已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使|AP|=3|BP|，求P点坐标.思路分析：由、同向共线，得=3.这样就可建立方程组，求出点P的坐标.解：设P点坐标为（x,y）,则=（x+1,y-2）,=(x-3,y-4).由、同向共线，得=3，即（x+1,y-2）=3(x-3,y-4).于是,解得 因此，P点的坐标为（5，5）.友情提示 一般地，A、B、P三点中选哪一个点作起点，分点或终点都可以，但一经确定两点.第三点也随之确定.虽然对各种情况的系数不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的系数的值，优化解题过程.而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点，致使公式用错.类题演练 4已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标.解析：因为=（1，3）-（-2，1）=（3，2）.所以=（+）=(-,2).=+=(-1,).=+=(0,).因此M（-，2），P（-1，），Q（0，）.变式提