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第二章有理数全章复习 本章要点回顾 一 知识网络 有理数 概念 运算 有理数的分类 相反数 大小比较 法则 运算律 数轴 近似数与有效数字 绝对值 倒数 加法 减法 乘法 除法 乘方 混合运算 交换律 科学记数法 结合律 分配律 一 注意学好概念 深刻理解概念 二 注意事项 不少同学对概念记得准 背得熟 但是遇到具体问题就混淆不清 这是没有理解概念的缘故 因此学好概必须着重理解概念 例如 3 2与 32的意义是什么 结果等于什么 经常混淆 理解 非 的概念 非正数 负数 零 非负数 正数 零 非正有理数 负有理数 零 非负有理数 正有理数 零 二 注意运算顺序 运算中很多错误来自颠倒了运算顺序 例如下面的计算 三 正确使用运算法则和运算律 在使用乘法分配律时 常出现符号错误 例如 正确算法你知道吗 弄清概念 对比理解 正确使用运算法则及运算律是避免错误的重要一环 千万不可用盲目做题来达到学好数学的目的 赠语 一 转化思想 转化思想是一种最基本的数学思想 将所要研究或解决的问题转化为已经学过的问题来处理的数学思想称为转化思想 如 在相反数及加法法则的基础上 利用减法法则 将减法运算转化为加法运算 又如利用倒数的概念得到除法法则将除法转化为乘法运算 利用绝对值概念将有理数运算转化为算术运算 三 思想方法 二 数形结合思想 著名数学家华罗庚说 数缺形而少直觉 形少数而难入微 指明研究数学问题要注意数形结合 数形结合就是把抽象的数学语言和直观的图形结合起来 使抽象变直观 化繁为简 化难为易 启迪思维探求解题思路 用数轴上点来表示有理数 就是最简单的数形结合思想的体现 结合数轴 对于理解有理数的绝对值 相反数等概念以及大小比较等 更有直观性 当被研究的问题包含多种可能情况 不能一概而论时 必须按可能出现的所有情况来分别讨论 得出各种情况下相应的结论 这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想 如 下面研究数a的绝对值 a a 0 2 对任何有理数a 总有 a 0 三 分类讨论思想 分类讨论一般按以下四个步骤 1 确定分类讨论的对象 2 进行合理的分类 3 逐类进行讨论 4 归纳分类结果 得出问题答案所谓合理分类 是指分类时应按同一标准进行 并做到不 重复 不 遗漏 在有理数这一章中的一些主要概念和性质 例如 数轴 相反数 绝对值 有理数大小比较 有理数的运算法则和运算律的研究都离不开观察 四 观察方法 应考方略 从已知条件出发 运用定义 公式 定理进行运算推理 直接得出结论 一 常见题型介绍 1 填空题及其解法 1 直接法 例1 如果a的相反数是最大的负整数 b是绝对值最小的数 那么a b 填空题是初中数学的基本题型 这类题知识点覆盖面大 对于考察基础知识 基本方法 基本技能 计算的准确性和解题速度都有很大作用 解 最大的负整数是 1 a是 1的相反数 则a 1 绝对值最小的数是0 所以a b 1 0 1 2 识记法 通过对定义 公式 定理的掌握与回忆 把问题填补完整 例2 和分数统称为有理数 解 整数 依据题目的条件及特征 选择恰当的数值 特殊图形进行运计算或推理 求得正确结论 3 特殊法 例3 已知0 或 解 可取符合条件的特殊数 取a 1 2时 1 a 2 1 2 2 a 1 a 所以应填 号 把问题用图形表示出来 使得容易看清条件与结论的关系 从而得到结论 4 数形结合法 例4 已知a 0 b c 化简 c a c b b a 解 由已知条件 a b c可在数轴上表示如下 根据数轴上表示的两个数 右边的数总比左边的数大 c a c b b a a c c b a b 2a 2b 2 选择题及其解法 从题干给出的条件出发 联想有关的基础知识 通过推理 计算得到结论 从而确定选择支是正确的 此法为常用方法 1 直接法 例1 下列说法中 正确的是 a 在有理数中 0的意义仅表示没有b 正有理数和负有理数组成全体有理数c 0 7不是正数 也不是分数 因此它不是有理数d 零既不是正数 也不是负数 选择题是标准化试题的主要形式 选择题一般由 解题指令 题干 答案 三部分构成 初中数学的选择题一般指明在备选答案中只有一个正确 大都属于单项选择题 下面介绍几中常用方法 解 直接判断后 选择d 也叫做筛选法 是间接解选择题的方法之一 因为指令中指明了备选答案只有一个正确 所以当用直接法受到限制时 可以根据已知条件及选择支提供的信息 筛选排除其中三个答案 则剩下的一个就是需要选择的答案了 2 排除法 例2 下列判断正确的是 a m表示有理数 则 m表示负数b m表示有理数 则m的相反数是 mc m表示有理数 则 m的绝对值是md m表示有理数 则m倒数是1 m 解 举反例排除a 反例 取m的值为 4 则 m 4 举反例排除c 当m 6时 m的绝对值是 m 而不是m 举反例排除d 当m 0时 m没有倒数 故应选b 也叫做特例法 对于界定某一个范围的选择题 可以通过选择符合题干条件的特殊情况 特殊值 特殊图形 特殊关系等 进行计算和推理 排除错误答案 验证正确结论 这种解法的思路是把抽象问题具体化 一般问题特殊化 3 特殊值法 例3 相反数是a b 则原数是 a a bb b ac a bd a b 解 取特殊值a 3 b 5 则a b 8 而答案中a 2 b 2 c 2 d 8 显然原数 8是正确的 故本题应选d 很多与字母相关的题都可以用此法 是运用数形结合的思想来解答选择题的方法 它是根据题目所给条件 作出相应的图形 然后借助图形 应用条件进行分析 运算 推理 推出错误答案 选择正确结论 4 图示法 例4 若a0 b c 0 化简 a c b a b c 的结果是 a 2a 2bb 2cc 2b 2cd 2b 2a 解 由条件可画出图观察图形可知a c b 0 a b c 0 a c b a b c a c b a b c 2b 2a 故选d 二 解题方法与技巧 方法1 数形结合法 例1 已知数a b在数轴上对应点的位置如图所示 且 a b 则 a a b b a 化简后得 a 2b ab 2b ac ad b 解 从数轴上看出 a0 且 a b a a b b a a a b b a a 故选c 规律总结 充分利用数形结合思想 借助数轴这个桥梁来理解相反数 绝对值的概念 此知识点常以填空 选择形式在中考中出现 方法2 充分利用概念法 例2 已知a b互为相反数 c d互为倒数 且b 2 3 求代数式的值 解 a b互为相反数 c d互为倒数 a b cd 1 规律总结 一些概念本身就隐含着许多等式 如互为相反数的两个数的和为0 互为倒数的两个数的积为1 绝对值为一正数的数有两个 且它们互为相反数 灵活运用这些规律 可使问题较简单地得到解决 另外 本题也体现了整体代入消元的思想 方法3 利用非负数的性质 例2 已知 a 1 2 b 3 0 求a2 2ab 2b2的值 解 a 1 2 0 b 3 0 且 a 1 2 b 3 0 a 1 0且b 3 0 即a 1 b 3当a 1 b 3时 原式 12 2 1 3 2 32 13 规律总结 非负数的基本性质 几个非负数之和为0 则这几个非负数均为0 注意 使用这一