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文档简介

学校 江苏省洪泽中学教师 傅启峰 平面向量的数量积 一般地 实数 与向量a的积是一个向量 记作 a 它的长度和方向规定如下 1 a a 2 当 0时 a的方向与a方向相同 当 0时 a的方向与a方向相反 特别地 当 0或a 0时 a 0 复习 1 数乘的定义 设a b为任意向量 为任意实数 则有 a a a a a a b a b 2 数乘的运算律 引入 我们学过功的概念 即一个物体在力f的作用下产生位移s 如图 s 力f所做的功w可用下式计算w f s cos 其中 是f与s的夹角 从力所做的功出发 我们引入向量数量积的概念 两个非零向量a和b 作 则叫做向量a和b的夹角 若 a与b同向 若a与b反向 若 a与b垂直 记作 1 向量的夹角 2 平面向量的数量积的定义 注意 1 两向量的数量积是一个数量 而不是向量 符号由夹角决定 2 a b不能写成a b 3 向量的数量积与实数积的区别 解 a b a b cos 5 4 cos120 5 4 1 2 10 1 已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120 求a b 2 已知a 1 1 b 2 0 求a b 解 a 2 b 2 45 a b a b cos 2 2 cos45 2 练习2 过点b作 b cos 叫向量b在a方向上的投影 为锐角时 b cos 0 为钝角时 b cos 0 为直角时 b cos 0 我们得到a b的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 3 平面向量的数量积的重要性质 1 若a 0 则对任一向量b 有a b 02 若a 0 则对任一非零向量b 有a b 03 若a 0 a b 0 则b 04 若a b 0 则a b中至少有一个为05 若a 0 a b b c 则a c6 若a b a c 则b c 当且仅当a 0时成立7 对任意向量a b c 有 a b c a b c 8 对任一向量a 有a2 a 2 练习3 判断正误 4 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数 则向量的数量积满足 注意 数量积运算不满足结合律消去律 1 交换律 则 所以 2 若 证明 若 3 分析 a1 b1 3 证明 在平面内取一点 作 即 在方向上的投影等于 在方向上的投影的和 即 即 5 平面向量数量积的常用公式 求证 1 2 证明 1 2 例2 已知 与的夹角为60 求 1 在方向上的投影 2 在方向上的投影 3 2 3 解 3 练习 a锐角三角形 c钝角三角形 d不能确定 b直角三角形 d c a锐角三角形 b直角三角形 c钝角三角形 d不能确定 课堂小结 本节课我们主要学习了平面向量数量积的性质及其应用 常见的题型主要有 1 直接计算数量积 定义式以及夹角的定
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