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现代控制系统（十一版） 第一章 控制系统导论1、 实现高效的设计过程的主要途径是参数分析和优化。 参数分析的基础是：（1）辨识关键参数；（2）构建整个系统；（3）评估系统满足需求的程度。这三步是一个循环迭代的过程。一旦确定了关键参数，构建了整个系统，设计师就可以在此基础上优化参数。设计师总是尽力辨识确认有限的关键参数，并加以调整。2、 控制系统设计流程（重要）1 确定控制目标和受控变量，并初步定义（确定）系统性能指标设计要求和初步配置结构；2 系统定义和建模；3 控制系统设计，全系统集成的仿真和分析。（控制精度要求决定了测量受控变量的传感器选型）；4 设计规范/设计要求规定了闭环系统应该达到的性能，通常包括：（1）抗干扰能力；（2）对指令的响应能力；（3）产生使用执行机构驱动信号的能力；（4）灵敏度；（5）鲁棒性等方面的要求。5 首要任务：设计出能够达到预期控制性能的系统机构配置（传感器、受控对象、执行机构和控制器）。其中执行机构的选择与受控对象和变量有关，控制器通常包含一个求和放大器（框图中的比较器），用于将预期响应与实际响应进行比较，然后将偏差信号送入另一个放大器。6 调节系统参数，以便获得所期望的系统性能。7 设计完成之后，由于控制器通常以硬件的形态实现，还会出现各硬件之相互干扰的现象。进行系统集成时，控制系统设计必须考虑的诸多问题，充满了各种挑战。3、 分析研究动态系统的步骤为：1 定义系统及其元件；2 确定必要的假设条件并推导出数学模型；3 列写描述该模型的微分方程；4 求解方程（组），得到所求输出变量的解；5 检查假设条件和多得到的解；6 有必要，重新分析和设计系统。4、 中英文术语和概念Automation 自动化Closed-loop feedback control system 闭环反馈控制系统Complexity of design 设计的复杂性Control system 控制系统Design 设计Design gap 设计差异Engineering design 工程设计Feedback signal 反馈信号Flyball governor 飞球调节器Hybrid fuel automobile 混合动力汽车Mechatronics 机电一体化系统Multivariable control system 多变量控制系统Negative feedback 负反馈Open-loop control system 开环控制系统Optimization 优化Plant 受控对象Positive feedback 正反馈Process 受控过程Productivity 生产率Risk 风险Robot 机器人Specification 设计规范Synthesis 综合System 系统Trade-off 折中处理第二章 系统数学模关键词：数学模型 微分方程（组） 非线性模型区域（点）线性化 拉普拉斯变换 合理假设 相似变量 相似模型 线性模型 线性叠加原理注：线性系统满足叠加性和齐次行。一、“小信号”假设/线性近似处理思想：（重要）1 找到非线性模型的正常工作点（x1，x2，x3，.）；2 对工作点x1，x2，x3，.）进行（多元）泰勒级数展开；3 用工作点的切线方程代替非线性模型；4 在工作点运用线性近似处理具有相当高的精度。例子：单摆的力矩和角度函数关系。模型T=MgLsin()经过线性化得到T=MgL，在-45到45之间的近似精度非常高，在30范围内，线性模型响应与实际非线性响应的误差小于5。二、拉普拉斯变换（重要）关键词：系统特征方程决定了系统时间响应的主要特征极点、零点都是特殊的频率点零极点分布图刻画了系统时间响应的瞬态特性。阻尼系数、固有（自然）频率拉普拉斯变换对 留数定理（对于特征方程阶数较高或存在 多组复共轭极点时很有效）原理：能够用相对简单的代数方程取代发杂的微分方程，从而简化方程的求解过程。注意：进行拉氏变换时要明确变量的初始条件1 物理系统的线性化近似，为拉普拉斯变换创造了应用空间。2 利用拉普拉斯变换求解动态系统时域响应的主要步骤：1 建立微分方程组；2 求微分方程（组）的拉普拉斯变换；3 对感兴趣的变量求解代数方程，得到它的拉普拉斯变换；4 求解感兴趣的变量的拉普拉斯逆变换。注意：如果线性微分方程中的各项都对变换积分收敛，则存在拉普拉斯变换。 3. f（t）为物理可实现时域信号拉氏变换定义式：拉氏逆变换定义：可以将拉普拉斯变量S看做微分算子即：S=d/dt； 积分算子则可以理解为：4、 在进行求解拉普拉斯反变换时，需要对拉普拉斯变换式进行部分分式分解，与典型的拉氏变换公式对应。在系统分析和设计过程中，这中方法特别有用，分解后系统的特征根及其影响就一目了然。5、 实际应用中我们总是希望能够得到（实行了反馈控制后）系统响应y(t)的稳态值或终值，这需要用到终值定理：终值定理成立的条件是：Y(s)不能在虚轴上和右半平面上存在极点，也不能在原点出存在多重极点。6、 在S平面的左半平面中，极点S离虚轴越远，系统瞬态阶跃响应的衰减速度越快。大部分系统都有多对共轭复极点，其瞬态响应的特性由所有极点共同确定，而各个极点响应模态的幅度（强度）则由留数表示。3、 线性系统的传递函数（传递函数的定义只适合于线性系统）线性系统的传递函数定义：当两个变量的初始值都假定为0时（即0初始条件），输出变量的拉氏变换与输入变量的拉氏变换之比。传递函数表征了系统（或元件）的动态性能。注意：非定常系统，或称为时变系统，至少有一个系统参数随时间变化，因而可能无法运用拉普拉斯变换。1、 完整的输出响应包括：零输入响应（由初始状态决定）和由输入信号作用激发的零状态响应。（包括瞬态响应和稳态响应）2、 获得输出的拉氏变换后，展开成部分分式，根据特征方程、初始状态、输入信号分别得到相应的拉氏反变换，进而得到瞬态响应和稳态响应。3、 了解运算放大器的突出特性、了解反相放大器电路原理。掌握运算放大器的特性对于分析典型电路的传递函数非常有用！4、 掌握双质点质量弹簧阻尼机械系统和双节点电容电感电阻电路模型（电流源）的相似性。5、 掌握直流电机的传递函数（推导过程和思路、通过传递函数、模型公式画出控制方框图）重要1 磁场控制方式：电枢电流为常数，通过改变励磁电流If来实现对转矩的线性控制。具有可观的功率放大能力。2 电枢控制方式：励磁电流为常数，通过改变电枢电流来实现对转矩的线性控制。3 电机适合用于不需要快速响应且功率要求相对较低的场合。4 驱动大型负载则需要利用液压原理工作的执行机构。6、 液压执行机构（液压阀）的传递函数（液压阀、液压泵（马达）1 通过移动阀芯来改变活塞的运动速度和方向；2 通过一个小功率的输入位移输出一个大功率的位移输出；3 流量与输入位移和活塞两端的压差有关；4 液压阀的传递函数与直流电机的传递函数在形式上相同！重要注意：当液压执行机构工作在高压下，而且要求有快速响应时，就必须考虑液体自身的压缩变形可能产生的影响。7、 总结：传递函数非常重要！它提供了一种十分有用的关于系统元件的数学描述。通过传递函数在S平面的零极点分布，可以确定系统的瞬态响应特性，它是动态系统建模的得力工具。最好是能熟练掌握典型电路、典型电气元件、典型液压元件和典型机械部件的传递函数！P50P52。4、 方框图模型1、 控制系统着眼于对特定变量的控制，必须区分控制变量和受控变量。2、 矩阵形式特别适用于研究复杂的多变量系统。3、 方框图化简有某些前提条件：比如方框串联时，方框内的传函可直接相乘，这种简化的前提是第一个方框的负载效应可以忽略不计！4、 闭环传递函数非常重要，可以描述许多实际的控制系统。5、 方框图化简的基本等效变换规则：1） 保证每一条支路上的传函不变！2） 化简时不要让反馈点穿越比较点！1. 合并串联方框2. 相加点（比较点）后移、前移3. 分支点（反馈或前馈点）后移、前移4. 消去反馈回路6、 传递函数的分子应该是连接输入R（s）到输出Y（s）的前馈串联元件传递函数之积。分母则是1减去所有回路传递函数之和。超级经典的总结！5、 信号流图模型：无须对流图进行化简和变换，就可以利用流图增益公式方便的给出系统变量间的信号传递关系。1、 信号流图有节点及连接节点的有向线段构成，是一组线性关系的图解表示。特别适用于反馈控制系统。2、 记住梅森信号流图增益公式！它是定量分析复杂（反馈）系统的一种十分便捷的工具。3、 根据 传函方程组 写出 控制方框图 甚至 信号流图 很重要。6、 控制系统设计软件进行系统仿真MATALB控制系统工具箱 或者 LabVIEW Math Script掌握MATLAB控制类函数用法：roots poly conv polyval tf pzmap pole zero series parallel feedback minreal step。1、 实际物理系统中，极点的个数必须大于或等于零点的个数。2、 利用series（串联） parallel（并联） feedback（反馈）可以完成多回路的系统方框图的化简。3、 直接化简后得到的结果称为闭环传递函数并不合适，严格意义上讲：传递函数是经过零极点对消（即：消去结果分子分母的公因式）之后的输入输出关系描述，此时才能称为真正意义上的传递函数。 函数minreal完成零极点对消。7、 中英文术语和概念Actuator 执行结构 assumption 假设条件 Block diagram 方框图Characteristic equation 特征方程 Closed-loop transfer function 闭环传递函数Critical damping 临界阻尼 damped oscillation 阻尼振荡 damping ratio 阻尼系数 DC motor 直流电机Differential equation 微分方程 error signal 偏（误）差信号Final value theorem 终值 homogeneity 齐次性Laplace transform 拉普拉斯变换 linear approximation 线性近似Linear system 线性系统 linearized 线性化Mason loop rule 梅森增益公式 mathematical model 数学模型Natural frequency 自然（固有）频率 necessary condition 必要条件Overdamped 过阻尼 Pole 极点 Principle of superposition 叠加原理 reference input 参考输入Residues 留数 signal-flow graph 信号流图Simulation 仿真 steady state value 稳态值S-plane S平面 Taylor series 泰勒级数Time constant 时间常数 transfer function 传递函数Underdamped 欠阻尼 unity feedback 单位反馈Zero 零点总结：第2章研究了负反馈系统的分子和设计方法。通过拉普拉斯变换，可以将系统的微分方程模型转换成复变量S的代数方程。以复变量S的代数方程为基础，进一步得到表示系统或元件的输入输出关系的传递函数。 第三章 状态空间模型1、 引言1、 状态空间模型为时域建模方法：以n阶微分方程描述的物理系统为研究对象。引入一组状态变量（状态变量的选取不是唯一的）之后，可以得到一个一阶微分方程组。将这个方程组改写成更为紧凑的矩阵形式就得到状态空间模型。这种矩阵模型便于用计算机求解和分析！2、 掌握状态空间模型和传递函数相互求取的方法；状态转移矩阵的作用；状态空间模型在控制系统设计过程中的作用。3、 时域：指数学模型以时间变量t为基本变量来描述系统及其相应。4、 本章介绍控制系统的时域表示法以及系统时间响应的求解方法。2、 动态系统的状态变量关键词：系统状态 初始条件（状态） 状态变量（组）1、 用来表示动态系统状态的状态变量的个数应该尽可能少，以避免出现冗余变量。2、 对于无源RLC网络而言，所需要的状态变量的个数等于网络内独立储能元件的个数。其中：电容对电压变化敏感；电感对电流变化敏感3、 实际应用中，通常，尽量选择易于测量的参量作为系统的状态变量。键（Bond）合图建模方法可用于机械、电气、流体和热力。3、 状态微分方程组1、将上述微分方程组写成矩阵形式：状态变量组构成的列向量称为状态向量，如上公式所示。 系统可缩写为状态微分方程的形式：简称为状态方程状态方程将系统状态变量的变化率与系统的状态和输入信号联系在一起；系统输出通过输出方程与系统状态变量和输入信号联系在一起： y是列向量形式的输出信号。其中系统的状态变量（或状态空间）模型同时包括了状体微分方程和输出方程。对状态微分方程组求解得到：其中称为系统的基本矩阵或状态转移矩阵，它（矩阵指数函数）完全决定了系统的零输入响应。因为：当时，有： 即系统的零输入响应。 注：后面将研究如何利用初始条件与系统响应之间的这种关系来求状态转移矩阵。状态空间模型的等效的信号流图表示，并利用信号流图研究系统的稳定性。四、信号流图模型和方框图模型1） 系统动态特性可以用一阶微分方程组描述，或用矩阵微分方程描述，系统状态描述了系统的动态行为。2） 熟练的将状态变量方程组转换为相应的信号流图和方框图，或者根据传递函数，得到信号流图和方框图模型都很重要！信号流图中：圆圈代表输入、中间、输出变量的拉氏变换，有向线段代表转换关系；信号流图与方框图的原理完全类似，只是在求解传递函数时，方法完全不同。3） 要直接获得许多电路系统、机电系统和其他控制系统的一阶微分方程组比较困难，实际中先是用第2章介绍的方法求得系统的传递函数，再根据传递函数确定状态变量（空间）模型。4） 倒立摆建模：水平方向运动微分方程、竖直方向微小摆动力矩微分方程！选取状态变量转换为状态变量方程组 注：本小节详细的讲述了梅森增益公式、传递函数、信号流图、方框图以及状体变量（空间）模型之间的关系（相互转换）及其综合应用。P124P131，其中相变量信号流图标准型在理论计算中很重要；但是物理状态变量模型特别实用，因为它的状态变量都是可以直接测量（或者只需简单转换）。五、由状态方程求解传递函数1） 给定传递函数分子分母除以系统阶次的S次方根据分子分母式子画出信号流图（物理状态方框图）状态微分方程2） 如何由状态微分方程确定SISO系统的传递函数G(s)： 其中u和y分别为系统的单输入和单输出。经拉氏变换得到： 为了确定传递函数，此处不考虑非零的初始条件，即假定初始条件为0，合并同类项得到： 从而得到系统的传递函数：G(s)=Y(s)/U(s)。该方法与得到信号流图，然后利用梅森公式得到的传递函数完全一致。状态微分方程的解就是系统状态变量的时间响应x(t)！六、状态转移矩阵和系统时间响应（非常重要）1） 通常都希望求得控制系统状态变量的时间响应x(t)，以便了解系统的性能。求解状态微分方程就可以得到系统的瞬态响应，通解为：从公式知：只要已知初始条件x(0)、输入u(t)和状态转移矩阵exp(At)，就可以求得x(t)。所以关键就是求决定了系统响应的状态转移矩阵exp(At)用信号流图和梅森增益公式求解。L(exp(At)=sI-A-1七、利用软件分析状态空间模型1） 基本要素是状态向量x和各个常值矩阵（A，B，C，D），掌握ss、lsim、expm、tf函数：ss：将传递函数转换为状态空间模型；sys=ss(A,B,C,D);expm：求解给定时刻的状态转移矩阵，注意区别exp(A)和expm(A)；lsim：求解系统传递函数的输出时间响应(包括零初始和非零初始条件）。y,T,x=lsim(sys,u,t,x0);y：t时刻的输出响应；T：时间向量；x：t时刻的状态响应；u：输入；t：所求的系统响应为t时刻对应的响应；x0：初始条件（可选、可不选）；tf：将状态空间模型转换为传递函数模型。 num=2 8 6; 分子系数向量 den=1 8 16 6; 分母系数向量 sys_tf=tf(num,den); 用tf函数得到传递函数 sys_ss=ss(sys_tf); 将传递函数转换为状态空间模型 磁盘驱动器读取系统简化为双质点系统在阶跃激励下的响应如下程序所示：k=10;M1=0.02;M2=0.0005;b1=410e-3;b2=4.1e-3;t=0:0.001:1.5;A=0 0 1 0;0 0 0 1;-k/M1 k/M1 -b1/M1 0;k/M2 -k/M2 0 -b2/M2;B=0;0;1/M1;0;C=0 0 0 1;D=0;sys=ss(A,B,C,D);y=step(sys,t);plot(t,y);gridxlabel(Time(s),ylabel(y dot(m/s)K取10时，响应存在严重的振荡，如下图1所示，因此需要采用k100的弹性系数，需要很强的刚性才能降低振荡，响应如图2所示。图1图28、 总结：1、继续讨论时域内系统的分析和建模方法。系统状态的概念、状态变量的定义和选择方案的多样性、状态微分方程及状态向量x(t)的求解方法、根据系统传递函数或微分方程建立系统的信号流图和方框图模型、梅森增益公式信号流图状态微分方程、如何求解状态转移矩阵及系统状态向量的时间响应x(t)、利用仿真软件中的函数实现传递函数和状态空间模型的相互转换，以及求取转台转移矩阵。9、 中英文术语和概念Canonical form 标准型Diagonal canonical form 对角线标准型Discrete-time approximation 离散时间近似Eulers method 欧拉方法Fundamental matrix 基本矩阵Input feedforward canonical form 输入前馈标准型Jordan canonical form 若当标准型Matrix exponential function 矩阵指数函数Output equation 输出方程Phase variable canonical form 相变量标准型Phase variable 相变量Physical variable 物理量State differential equation 状态微分方程State of system 系统状态State-space representation 状态空间模型State variable feedback 状态变量反馈State variable 状态变量State vector 状态向量Time domain 时域Time-varying system 时变系统Transition matrix 转移矩阵第4章 反馈控制系统的特性1、 引言1. 在开环系统中，干扰信号Td(s)能够直接作用并影响到系统输出Y(s)，因此，开环系统对于干扰信号和传递函数G(s)中的参数的变化高度敏感！2. 闭环系统将测量得到的输出信号与期望的输出信号进行比较，产生偏差信号，并通过控制器利用该偏差信号来调节执行机构。3. 反馈系统的优势：1） 能降低系统对受控对象参数变化的灵敏度；2） 提高系统抗干扰信号的能力；3） 提高系统衰减测量噪声的能力；4） 降低系统稳态误差；5） 很容易实现对系统瞬态响应的控制和调节。2、 偏差信号分析1、 闭环反馈控制系统包括3中类型的输入信号和1个输出信号Y(s)，其中输入信号有参考输入R(s)、干扰信号Td(s)、测量噪声N(s)。即偏差信号：E(s)=R(s)-Y(s)。2、 在控制系统分析中，开环传递函数（广义增益）起着非常重要的作用！，定义则灵敏度函数定义为：可以定义补灵敏度函数为：偏差信号为：要是的E(s)最小，需要降低干扰信号的影响，减小噪声信号的系数，因此就需要S(s)和C(s)都减小，但是S(s)+C(s)=1。故在设计控制器时，从抑制干扰信号和衰减测量噪声这两个方面所提出的要求是相互冲突的。注意：实际应用，存在合理的解决方案，即：通过设计控制器Gc(s)，使开环传递函数L(s)在低频段（干扰信号的频率通常处于低频段）的幅值尽可能大，在高频段（测量噪声通常集中在高频段）的幅值尽可能小！3、 控制系统对参数变化的敏感度（假定干扰信号和测量噪声都已经消除，即Td(s)=N(s)=0）。1、 控制系统对受控对象参数变化的灵敏度是非常重要的系统特性之一。开环系统对开环增益的灵敏度为1，闭环反馈控制的一个基本优点就是能够降低系统对受控对象参数变化的灵敏度。2、 增加系统开环传递函数L(s)的幅值能够减低受控对象G(s)的变化对系统输出的影响即能够降低系统对受控对象参数G(s)变化的灵敏度。L(s)的幅值越大，跟踪误差的变化量越小，这意味着：系统对受控对象的变化量的灵敏度也随之降低。3、 系统灵敏度：系统传递函数的变化率与受控对象传递函数变化率之比。系统传递函数为，受控对象的传递函数为，则系统灵敏度为。系统灵敏度是指，当变化量为微小增量时，系统传递函数的变化率与受控对象传递函数（或参数）的变化率之比！反馈放大器应用非常广泛，需要掌握它的基本原理和特性！4、 反馈控制系统的干扰信号1、干扰信号是能够影响系统输出的多余的输入信号，当受控对象G(s)和干扰信号Td(s)都已经给定，开环传递函数L(s)越大，干扰信号Td(s)对跟踪误差的影响程度越小。即L(s)越大，系统灵敏度S(s)越小。精确的说：为了获得良好的干扰信号抑制能力，在干扰信号的频率范围内（低频段），必须使得开环传递函数L(s)保持较大的幅值。2、衰减测量噪声：噪声对跟踪误差的影响：当减小开环传递函数L(s)时，测量噪声N(s)对跟踪误差E(s)的影响也随之降低。为了有效的衰减测量噪声，在噪声信号的频段内（高频段），必须使开环传递函数保持较小的幅值。一旦干扰信号（低频段）和测量噪声（高频段）之间的频率不能区分开来，那么控制系统设计过程将格外复杂。3、在绝大部分系统中，测量噪声信号N(s)是由测量传感器产生的。当时，参考输入信号R(s)对跟踪误差的影响为：增大开环传递函数L(s)，既能够降低系统对受控对象变化的灵敏度，也能够降低对参考输入信号R(s)的跟踪误差。5、 系统瞬态响应的调控瞬态响应是控制系统最重要的特性之一，它利用时间函数来描述系统响应！1、 对开环系统，若系统不能产生满意的瞬态响应，就必须更改受控对象G(s)，或者在受控对象之前串联一个控制器Gc(s)来改变响应；对于反馈系统，它可以调节反馈环节的参数获得预期的响应。2、 对于负载惯量较大的系统而言，很难通过调节电机的时间常数来调节控制系统的瞬态响应，最好是通过增大前向通道增益Ka来调节系统的瞬态响应。为了得到较大的增益KaKtK1，前向通道放大器增益Ka必须保持相当大的值，而且电机的电枢电压信号和相应的扭矩信号也会比开环大很多，所以闭环控制系统需要选用大功率的电机！以便避免电机饱和。其中Kt为反馈环节增益、K1为受控对象电机的传递函数增益。注意：闭环系统对电机常数Km的灵敏度是s的函数，随着系统工作频率的变化而变化，必须在不同的频率下分析系统的灵敏度！3、闭环系统的瞬态响应比开环系统的瞬态响应大很多，大100倍是很常见的。6、 稳态误差（开环与闭环）稳态误差：指的是系统瞬态响应消失之后，系统持续响应与预期响应的误差。1、 合理的反馈控制系统设计，可以调节系统的瞬态响应，并显著降低系统的灵敏度及系统干扰的影响。2、 对于开环系统，当干扰信号Td(s)=0时，开环系统误差为：对于闭环系统，当干扰信号和测量噪声都为0，即，且反馈回路H(s)=1时，闭环系统的误差为：利用终值定理： 当输入为单位阶跃信号时得到：开环稳态误差为：；闭环稳态误差为：其中G(0)称为直流增益，通常，直流增益都会远远大于1，所以开环稳态误差比较大，同时s为0时的开环增益L(0)=Gc(0)G(0)也会比较大，因此闭环系统稳态误差会小很多。7、 引入反馈的不利面1、 增加了元器件数量，提高系统的复杂程度，必须引入反馈器件，其中最关键的是测量器件（如传感器往往是最昂贵的），此外传感器自身特性引入了测量噪声，也影响系统精度。2、 增益损失 假定单环系统，开环增益为Gc(s)G(s)，对应的单位负反馈系统的闭环增益缩减为Gc(s)G(s)/(1+Gc(s)G(s)，当然同时闭环系统对参数变化和干扰的灵敏度也缩减到了开环系统的1/(1+Gc(s)G(s)。注意：闭环系统中，功率放大器和执行机构的增益没有任何变化，损失的只是输入到输出的总增益。3、 可能导致系统不稳定 总结：归根结底，我们总是希望系统的输出Y(s)等于输入R(s)。8、 尽管反馈控制提高了控制系统的成本，但在控制系统设计中得到了广泛的应用，主要原因在于：1） 能降低对受控对象参数变化的灵敏度2） 能提高系统抑制干扰的能力3） 能提供系统衰减测量噪声的能力4） 能减小系统的稳态误差5） 便于调节系统的瞬态响应控制系统分析中，开环传递函数（广义增益）L(s)=Gc(s)G(s) 是一个非常重要的基本概念。第5章 反馈控制系统的性能1、 重点要求1、 常用的重要测试信号，二阶系统对这些测试信号的动态响应特性；二阶系统极点位置与动态特性之间的直接关系；二阶系统的极点位置与系统性能指标（如超调量、调节时间、上升时间和峰值时间）；零点和第三个极点对二阶系统响应的影响。2、 瞬态响应：随着时间推移会消失的响应；稳态响应：在初始输入激励之后长期存在的响应。2、 测试输入信号1、 各测试信号关系：脉冲信号（积分）阶跃信号（积分）斜坡信号（积分）抛物线信号3、 二阶系统性能（系统首先是稳定的）1、 输入信号x(t)的响应y(t)的导数=输入信号x(t)的导数x(t)的响应。2、 系统的瞬态响应性能主要体现在：1） 响应的快速性上升时间和峰值时间；2） 对预期输出响应的逼近程度超调量和调节时间；但这两方面的的指标往往是冲突的，必须进行折中处理。四、零点和第三个极点对二阶系统响应的影响系统时域响应特性与S平面上闭环传递函数的极点分布之间的关系，是确定系统性能指标的非常有用的工具！掌握单位负反馈控制系统零极点配置法P241。对系统分析和设计而言，理解并掌握闭环特征根的位置分布与系统动态响应特性之间的关系是非常重要的。实零点和实极点会影响系统的动态响应，只有当实零点和实极点的位置远离复数极点对时，它们两才会对阶跃响应的影响才会比较小！ 3、对于传递函数，当s=0时，对应的传递函数的值称为直流增益。阻尼比是决定闭环系统性能指标的关键参数。可以根据系统的实际阶跃响应来辨识估计阻尼比，也可以先确定系统阶跃响应的超调量，再估计阻尼比！5、 S平面上根的位置与系统的瞬态响应1、 闭环反馈控制系统的瞬态响应可以用闭环传递函数的极点位置分布来表征。对控制系统工程师而言，理解和掌握线性系统的复频率表示、传递函数的零点和极点以及系统的时域响应（对阶跃信号和其他类型的输入信号）之间的关系是非常重要的！很多分析和设计都在复平面进行，所使用的模型是传递函数及其零极点，但是控制系统性能分析，往往要在时间域内通过分析时域响应来实现。2、 零极点配置法对于进行控制系统设计非常有用。总体而言，闭环传递函数极点的位置决定了系统的瞬态响应模态，而零点位置则确定了每个模态函数的相对权重。六、反馈控制系统的稳态误差1、开环传递函数的一般形式为： 当s趋向于零时，开环传递函数的取值（称为位置误差系数）依赖于积分器的个数N。积分器的个数N称为系统的型数，相应的系统称为N型系统，通常接触0型、1型和2型系统。2、稳态误差取决于系统的积分器的个数N。速度误差系数，加速度误差系数。经常利用型数和稳态误差系数来界定控制系统的稳定性能，它们能够表征系统减小或消除稳态误差的能力。七、综合性能指标1、误差平方积分ISE、误差绝对值积分IAE、时间与误差绝对值之积的积分ITAE、时间与误差平方之积的积分ITSE。其中ITAE是相对最好的综合性能指标，当系统参数变化时，很容易辨识出ITAE的极小值。2、当所选用的综合性能指标达到极小值时，就称为控制系统为最优的。P254P256中给出了输入为阶跃信号、斜坡信号，基于ITAE指标的传递函数T(s)的最优系数。8、 线性系统的简化1、 用低阶模型简化近似复杂的高阶系统的传递函数，比较有效和常用。相对简单的方法：直接删除高阶传递函数中的某些极点（该极点与其他极点相比，它的负实部的绝对值非常大，即离虚轴远，因而对系统动态响应没有显著的影响。）同时，为了维持系统稳态响应性能（保持开环增益），降阶时分子需要除以该极点的实部！2、 更为精细的降阶方法，使降阶前后的系统频率响应尽可能匹配。P257给出了详细的求取低阶模型参数的方法和步骤。9、 利用MATLAB分析系统时域性能指标使用step函数和impulse函数求系统响应二阶系统的阶跃响应m程序：t=0:0.1:12;num=1;zeta1=0.1;den1=1 2*zeta1 1;sys1=tf(num,den1);zeta2=0.2;den2=1 2*zeta2 1;sys2=tf(num,den2);zeta3=0.4;den3=1 2*zeta3 1;sys3=tf(num,den3);zeta4=0.7;den4=1 2*zeta4 1;sys4=tf(num,den4);zeta5=1.0;den5=1 2*zeta5 1;sys5=tf(num,den5);zeta6=2.0;den6=1 2*zeta6 1;sys6=tf(num,den6);y1,T1=step(sys1,t);y2,T2=step(sys2,t);y3,T3=step(sys3,t);y4,T4=step(sys4,t);y5,T5=step(sys5,t);y6,T6=step(sys6,t);plot(T1,y1,T2,y2,T3,y3,T4,y4,T5,y5,T6,y6)xlabel(omega_n t),ylabel(y(t)title(zeta=0.1,0.2,0.4,0.7,1.0,2.0),grid二阶系统的脉冲响应m程序；cleart=0:0.1:10;num=1;zeta1=0.1;den1=1 2*zeta1 1;sys1=tf(num,den1);zeta2=0.25;den2=1 2*zeta2 1;sys2=tf(num,den2);zeta3=0.5;den3=1 2*zeta3 1;sys3=tf(num,den3);zeta4=1.0;den4=1 2*zeta4 1;sys4=tf(num,den4);y1,T1=impulse(sys1,t);y2,T2=impulse(sys2,t);y3,T3=impulse(sys3,t);y4,T4=impulse(sys4,t);plot(t,y1,t,y2,t,y3,t,y4)xlabel(omega_nt),ylabel(y(t)/omega_n)title(zeta=0.1,0.25,0.5,1.0),grid使用lsim函数求任意输入信号下的动态响应：clearnum=10 20;den=1 10 0;sysg=tf(num,den);sys=feedback(sysg,1);t=0:0.1:8.2;v1=0:0.1:2;v2=2:-0.1:-2;v3=-2:0.1:0;u=v1;v2;v3;%锯齿波输入信号y,T=lsim(sys,u,t);%仿真输出plot(T,y,t,u,-),xlabel(Time(s),ylabel(theta(rad),grid%比较高阶（三阶）与低阶（二阶）传递函数的响应clearnum1=6;den1=1 6 11 6;sys1=tf(num1,den1);num2=1.6;den2=1 2.594 1.6;sys2=tf(num2,den2);t=0:0.1:8;y1,T1=step(sys1,t);y2,T2=step(sys2,t);plot(T1,y1,T2,y2,-);gridxlabel(Time(s),ylabel(Step Response)系统性能最重要的指标之一是对测试输入信号的稳态误差。10、 中英文术语和概念Acceleration error constant，Ka 加速度误差系数Design specification 设计指标要求Dominant root 主导根Optimum control system 最优控制系统Peak time 峰值时间Percent overshoot 超调量Performance index 性能指标Position error constant，Kp 位置误差系数KpRise time 上升时间Setting time 调节时间 Steady-state response 稳态响应Test input signal 测试输入信号Transient response 瞬态响应Type number 型数Unit impulse 单位脉冲信号Velocity error constant，Kv 速度误差系数Kv 第六章 线性反馈系统的稳定性（和相对稳定性）1、 引言当输入有界时，稳定的系统多产生的输出也是有界的这称为有界输入有界输出稳定性！反馈控制系统的稳定性与传递函数的特征根，或者状态空间模型中系统矩阵的特征值在s平面上的位置密切相关。劳斯判据用来判断系统稳定性非常有用。相对稳定性是有特征方程的实根，或者共轭复根的实部决定的系统特性。1、 对于稳定性的分析和判断可以查阅书籍临时对照分析。2、 劳斯判据是系统稳定性的充分必要条件。如果特征方程的系数已知，就能够通过劳斯判据来确定s右半平面上的特征根的个数，从而判断系统是否稳定。3、%利用pole求取闭环传函的极点,并通过根的实部符号判断系统稳定性（zero求零点）。 num=1;den=1 1 2 23;sys=tf(num,den); sys=feedback(sys,1); pole(sys)ans = -3.0000 + 0.0000i 1.0000 + 2.6458i 1.0000 - 2.6458i共轭复根实部为正数说明系统不稳定！4、 利用for循环求取当增益不断变化时的零极点分布根轨迹 K=0:0.5:20;for i=1:length(K) q=1 2 4 K(i); p(:,i)=roots(q);endplot(real(p),imag(p),x),grid xlabel(Real axis),ylabel(Imaginary axis)5、 利用劳斯判据得到保证系统稳定的参数a和K的取值范围，得到(a, K)数组，然后利用for循环，编写m程序在(K，a)平面得到分界曲线，将平面划分为稳定区域和不稳定区域，（平面分区）如下：a=0.1:0.01:3.0;K=20:1:120;x=0*K;y=0*K;n=length(K);m=length(a);for i=1:n for j=1:m q=1 8 17 K(i)+10 K(i)*a(j); p=roots(q); if max(real(p)0,x(i)=K(i);y(i)=a(j-1);break;end end%将分界点赋值给x，y向量endplot(x,y),grid,xlabel(K),ylabel(a)6、 利用ploy函数求取状态变量（空间）模型（系统）的稳定性状态空间模型的特征方程为： 当系统矩阵A的维数较低时，可以采用手工方式计算的行列式。poly函数：用途1、有根向量出发重构多项式；用途2、计算系统矩阵A的特征多项式，即利用poly可以得到的系数向量，A为nxn维方阵，poly(A)输出一个n+1维的行向量，如下： clearA=-8 -16 -6;1 0 0;0 1 0;p=poly(A)roots(p)p = 1.0000 8.0000 16.0000 6.0000ans = -5.0861 -2.4280 -0.48597、 三维曲面分区判断三个参数的稳定区域1. 利用劳斯判据确定K、p和z的取值范围2. 利用mesh函数构建三维曲面如下；clearp,z=meshgrid(1.2:0.2:10,0.1:0.2:10);%提供绘图所需的二维平面网格k=p.*(p-1)./(p-1-z);%计算稳定二维面mesh(k)%画三维曲面第7章 根轨迹法1、 引言1、 闭环特征根在s平面上的位置分布对反馈系统性能有着非常重要的影响。当某个参数变化时，闭环特征根在S平面上的变化轨迹称为系统的根轨迹。根轨迹是分析设计反馈控制系统的一种有力的工具。2、 根轨迹法还能把握特征根对参数变化的灵敏度，将它与劳斯判据结合，能发挥更大的作用。单回路控制系统的根轨迹可以方便的扩展到多回路系统，如果特征根的位置不符合要求，则根轨迹很容易确定应该怎样调整参数。2、 根轨迹的概念1、 根轨迹中每个闭环特征根都必须满足幅值条件和相角条件，对于多回路系统还要用到梅森信号流图增益公式。2、 绘制根轨迹步骤：1） 准备工作；求得开环和闭环特征方程零极点，当系统增益K从0到无穷大增加时，闭环特征方程的根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点（或无穷远处）。当开环传递函数有n个极点和M个零点并且nM时，就会有n-M条根轨迹分支趋向于无穷远处的开环零点。根轨迹分支的条数等于开环极点的个数。2） 确定实轴上根轨迹段：实轴上的根轨迹总是位于奇数个开环零点和极点的左侧。根轨迹的分支必然是关于实轴对称的。3） 根轨迹沿渐近线趋向于无穷远处的开环零点，渐近线与实轴的交角（可求）为，与实轴有公共的交点，即渐近中心（可求）。4） 如果根轨迹通过虚轴，则用劳斯判据确定根轨迹与虚轴的交点。5） 确定实轴上的分离点（如果有）。根据相角条件，在分离点处，各条根轨迹分支的切线将均分360。可以用图解法或者解析法得到实轴上的分离点。6） 应用相角条件，确定根轨迹离开开环极点的出射角和进入开环零点的入射角。根轨迹离开开环极点的出射角等于相角差的主值。该相角差等于各开环零点到该极点的向量的相角之和，减去其他开环极点到该极点的向量的相角之和，主值用调整得到。7） 如果要绘制精确的根轨迹，应该利用计算机辅助软件。P350给出了根轨迹绘制的详细步骤和相关方程或规则。3、 应用根轨迹进行参数设计1、 根轨迹；当系统增益K由零到无穷大变化时，系统闭环特征根的轨迹。也可以利用它考察其他参数对系统的影响（如用它来研究2个或2个以上参数对系统影响基于根轨迹的参数设计方法。2、 特征根灵敏由对数灵敏度转变而来 ，参数变化时，特征根位置的变化程度大小。应用根灵敏度分析和设计控制系统，必须针对由开环传递函数及其零点和极点决定的闭环特征根的可能分布情况完成大量的计算工作。局限性：需要大量的计算，没有明确的参数调整方向以便减