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行走 机器人 头部 臂部 控制 部分 设计 含有 CAD 文件

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南京理工大学泰州科技学院毕业设计（论文）任务书系部：机械工程系专 业：机械工程及自动化学 生 姓 名：吴玉坤学 号：05010236设计(论文)题目：两足行走机器人头部、臂部控制部分设计起 迄 日 期:2009年 3月9 日 6月14日设计(论文)地点:南京理工大学泰州科技学院指 导 教 师:路建萍 刘 艳专业负责人:龚光容发任务书日期: 2009年 2月 26 日毕 业 设 计（论 文）任 务 书1本毕业设计（论文）课题应达到的目的：通过该课题，一方面巩固相关专业的理论知识，学会将各门课程知识融合在一起，灵活运用，了解各种传感器的原理、功能及使用场合，培养学生对机电一体化产品的设计能力。掌握工程设计的一般方法以及独立分析问题和解决问题的能力，最终使学生的综合素质得以提高。2本毕业设计（论文）课题任务的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）：技术要求：熟悉微机及接口实验板的使用方法。了解机器人头部、臂部控制系统的原理及设计方法。总体方案的设计。详细方案的设计。调试硬件电路并编制相应的控制程序。提交规范的设计文档。条件：微机及相应接口实验板和控制功能芯片。毕 业 设 计（论 文）任 务 书3对本毕业设计（论文）课题成果的要求包括毕业设计论文、图表、实物样品等：（1）开题报告、文献综述、资料翻译；（2）机器人头部、臂部控制系统的原理图；（3）直流电动机的控制软件；（4）毕业设计说明书。4主要参考文献：1 马香峰.机器人机构学M. 北京: 机械工业出版社, 1991.2 王晓明电动机的单片机控制M北京航空航天大学出版社，2003.3 吴瑞祥.机器人技术及应用M. 北京：北京航空航天大学出版社，1994. 4 熊有伦.机器人技术基础M.武汉：华中理工大学出版社，1996.5 王志良.竞赛机器人制作技术M.北京：机械工业出版社，2007.6 马香峰等.工业机器人的操作机设计M. 北京：冶金工业出版社，1996年9月.7 余达太，马香峰. 工业机器人应用工程M. 北京：冶金工业出版社，1999年4月.8 刘政华等机械电子学M北京：国防科技大学出版社，1999.10.9 Ernest L. Halletl. Robotics: A User-Friendly IntroductionM. New York:CBS College Publishing,1985.10 Yoram Koren. Robotics for EngineersM.McGraw-Hill Book Company, 1985.11 张建民机电一体化原理与应用M国防科技大学出版社，1992.12 曲家骐等伺服控制系统中的传感器M北京：机械工业出版社，1998.513 秦志强等. 基础机器人制作与编程M. 北京： 电子工业出版社，2007.14 高钟毓机电一体化系统设计M北京：机械工业出版社，1997.15 陈继荣.智能电子创新制作M. 北京：科技出版社，2007.16 张建民等机电一体化系统设计M北京：北京理工大学出版社，1997.毕 业 设 计（论 文）任 务 书5本毕业设计（论文）课题工作进度计划：起 迄 日 期工 作 内 容2009年 3月 9 日 3月15日 3月16日 3月22日3月23日 3月29日3月30日 4月5 日4月6 日 4月12日4月13日 5月3日5月4 日 5月10日5月11日 5月17 日5月18日 5月24 日5月25日 5月31 日6月1 日 6月7 日6月8 日 6月14 日选题，发放审题表及任务书，熟悉课题完成外文资料翻译完成开题报告(包含文献综述)查阅相关资料，熟悉直流电动机及头部、臂部的工作方式总体控制方案设计详细方案设计，包括传感器的选择、控制电路设计等系统联调，对设计方案进行评价与修改，使之完善绘制控制系统电气原理图和流程图整理相关资料，撰写并打印设计说明书初步提交设计成果（包括图纸及论文），整改正式提交设计成果和设计说明书准备论文答辩所在专业审查意见：负责人： 2009年 月 日系部意见：系部主任： 2009年 月 日 南京理工大学泰州科技学院毕业设计(论文)开题报告学 生 姓 名：吴玉坤学 号：05010236专 业：机械工程及自动化设计(论文)题目：两足行走机器人 头部、臂部控制部分设计 指 导 教 师:路建萍 刘 艳 2009 年 3 月 22 日开题报告填写要求1开题报告（含“文献综述”）作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业设计（论文）工作前期内完成，经指导教师签署意见及所在专业审查后生效；2开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网页上下载）打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见；3“文献综述”应按论文的格式成文，并直接书写（或打印）在本开题报告第一栏目内，学生写文献综述的参考文献应不少于15篇科技论文的信息量，一般一本参考书最多相当于三篇科技论文的信息量（不包括辞典、手册）；4有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 740894数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2009年3月15日”或“2009-03-15”。 毕 业 设 计（论 文）开 题 报 告1结合毕业设计（论文）课题情况，根据所查阅的文献资料，每人撰写2000字左右的文献综述：文 献 综 述摘要 两足步行机器人以其自动化程度最高，动态系统最为复杂，以及丰富的动力学特性而成为机器人领域理论研究的热点。两足步行机器人类似人类行走，灵巧轻便，对行走环境有良好的适应性，既能在平地上行走，也能在非结构性的复杂地面行走，因而使得步行机器人的应用范围大大拓宽，受到国内外学者的广泛关注，在理论和实践方面做出了卓有成效的研究，开发了多种结构的步行机器人。本文详细介绍了研究两足步行机器人的组成，机器人的原因，两足步行机器人的应用前景。国内外两足步行机器人的现状及发展趋势。关键词 机构 稳定性 自由度1 机器人的硬体组成机器人一般由执行机构、驱动装置、检测装置和控制系统等组成。执行机构即机器人本体，其臂部一般采用空间开链连杆机构，其中的运动副（转动副或移动副）常称为关节，关节个数通常即为机器人的自由度数。根据关节配置型式和运动坐标形式的不同，机器人执行机构可分为直角坐标式、圆柱坐标式、极坐标式和关节坐标式等类型。出于拟人化的考虑，常将机器人本体的有关部位分别称为基座、腰部、臂部、腕部、手部（夹持器或末端执行器）和行走部（对于移动机器人）等1。检测装置的作用是实时检测机器人的运动及工作情况，根据需要反馈给控制系统，与设定信息进行比较后，对执行机构进行调整，以保证机器人的动作符合预定的要求。作为检测装置的传感器大致可以分为两类：一类是内部信息传感器，用于检测机器人各部分的内部状况，如各关节的位置、速度、加速度等，并将所测得的信息作为反馈信号送至控制器，形成闭环控制2，3。另一类是外部信息传感器，用于获取有关机器人的作业对象及外界环境等方面的信息，以使机器人的动作能适应外界情况的变化，使之达到更高层次的自动化，甚至使机器人具有某种“感觉”，向智能化发展，例如视觉、声觉等外部传感器给出工作对象、工作环境的有关信息，利用这些信息构成一个大的反馈回路，从而将大大提高机器人的工作精度。控制系统有两种方式。一种是集中式控制，即机器人的全部控制由一台微型计算机完成。另一种是分散（级）式控制，即采用多台微机来分担机器人的控制，如当采用上、下两级微机共同完成机器人的控制时，主机常用于负责系统的管理、通讯、运动学和动力学计算，并向下级微机发送指令信息；作为下级从机，各关节分别对应一个CPU，进行插补运算和伺服控制处理，实现给定的运动，并向主机反馈信息。根据作业任务要求的不同，机器人的控制方式又可分为点位控制、连续轨迹控制和力（力矩）控制。两足步行机器人的机构是所有部件的载体，也是设计两足步行机器人最基本的和首要的工作。它必须能够实现机器人的前后左右以及爬斜坡和上楼梯等的基本功能，因此自由度的配置必须合理：首先分析一下步行机器人的运动过程(前向)和行走步骤：重心右移(先右腿支撑)、左腿抬起、左腿放下、重心移到双腿中间、重心左移、右腿抬起、右腿放下、重心移到双腿间，共分8个阶段。从机器人步行过程可以看出：机器人向前迈步时，髓关节与踝关节必须各自配置有一个俯仰自由度以配合实现支撑腿和上躯体的移动；要实现重心转移，髋关节和踝关节的偏转自由度是必不可少的；机器人要达到目标位置，有时必须进行转弯，所以需要有髋关节上的转体自由度。另外膝关节处配置一个俯仰自由度能够调整摆动腿的着地高度，使上下台阶成为可能，还能实现不同的步态。这样最终决定髋关节配置3个自由度，包括转体(roll)、俯仰(pitch)和偏转(yaw)自由度，膝关节配置一个俯仰自由度，踝关节配置有俯仰和偏转两个自由度。这样，每条腿配置6个自由度，两条腿共12个自由度。髋关节、膝关节和踝关节的俯仰自由度共同协调动作可完成机器人的在纵向平面(前进方向)内的直线行走功能；髋关节的转体自由度可实现机器人的转弯功能；髋关节和踝关节的偏转自由度协调动作可实现在横向平面内的重心转移功能46。2 研究两足步行机器人的原因世界著名机器人学专家，日本早稻田大学的加藤一郎教授说过：“机器人应当具有的最大特征之一是步行功能”。步行功能的具备为扩大机器人的应用领域开辟了无限广阔的前景研究两足步行机器人的原因，概括起来有如下4个：(1)我们希望研制出两足步行机构，使它们能在许多结构性和非结构性环境中行走，以代替人进行作业或延伸和扩大凡类的活动领域。(2)我们希望更多地了解和掌握人类的步行特性，并利用这些特性为人类服务。(3)两足步行系统具有非常丰富的动力学特性，在这一方面的研究可以拓宽力学及机器人学的研究方向。(4)两足步行机器人可以作为一种智能机器人在人工智能中发挥重要的作用13。3 两足步行机器人应用前景实用的两足步行机器人由两条腿和一个平台(腰部)组成。腿的作用是为平台提供移动能力，而平台的作用则是提供一个基础，以便安装机械手、CCD摄像机、机载计算机控制系统和蓄电池9。显然，这种带机械手的两足步行机器人能非常灵活地从事较多的工作。但是，对于这种两足步行机器人来说，平台的稳定性对于有效地控制机械手末端操作器的位置和姿态是至关重要的，而两条腿的步态又对平台的稳定性起决定作用。因此，如何规划好腿的步态，协调地控制两条腿的运动以保持平台及整个两足步行机器人的稳定就成为一个主要问题。目前，两足步行机器人的应用领域主要是康复医学。从长远来看，两足步行机器人在无人工厂、核电站、海底开发、宇宙探索、康复医学以及教育、艺术和大众服务行业等领域都有着潜在而广阔的应用前景。4 两足步行机器人研究的现状4.1 国外的有关情况1985年，美国的Hodgins和Raibert等人研制了一个用来进行奔跑运动和表演体操动作的平面型两足步行机器人，这个机器人有3个自由度。1986年，他们用这个机器人进行奔跑实验，着重研究奔跑过程中出现的弹射飞行状态。在实验中，这个机器人的最大速度高达4.3米/秒。1988年和1990年，他们又用这个机器人进行翻筋斗动作实验。Hodgins和Raibert研究这两种运动是因为它们含有丰富的动力学内容，尤其是两者都具有弹射飞行状态7。在美国研究两足步行机器人的科学家中，郑元芳博士是一个非常杰出的人物。他在80年代初由中国去了美国，于1984年在俄亥俄州立大学获博士学位，然后一直在克莱姆森大学工作，最近又回到俄亥俄州立大学任职。在克莱姆森大学期间，他主持研制了两台步行机器人，分别命名为SD1和SD2。SDl具有4个自由度，SD2则有8个自由度10。其中，SD2是美国第一台真正拟人的两足步行机器人。1986年，SD2机器人成功地实现了平地上前进、后退以及左、右侧行。1987年，这个机器人又成功地实现了动态步行。郑元芳博士也因他在机器人领域的突出贡献而获得美国1987年度“总统青年研究员”奖 。1984年，郑元芳博士对两足步行机器人与环境接触时的碰撞效应进行了研究。1987年，他提出了一种用于两足步行机器人运动控制的监控系统。1989年，他研究了两足步行机器人的扰动抑制问题。1990年他首次提出了使两足步行机器人能走斜坡的控制方案，利用SD2机器人进行了成功的实验。此外，郑元芳博士还从神经生理学的角度对人类肌肉的多级传感与多级驱动原理进行了研究，提出了采用这种原理设计两足步行机器人的方法12。4.2 国内的研究情况我国从80年代中期才开始研究两足步行机器人，当时主要的研究单位是哈尔滨工业大学和国防科技大学。哈尔滨工业大学研制成功的第一台两足步行机器人重7Okg，高l10cm，有10个自由度，采用直流电机经谐波减速驱动，控制系统由一台IBMPCXT计算机和l0个MCS 51单片机系统组成。1989年l0月，这个机器人实现了平地上的前进，左、右侧行以及上、下楼梯的运动，步幅可达45cm，步速为l0秒步，为静态步行14。最近哈尔滨工业大学又研制了一台l2自由度的两足步行机器人，并正在进行动态步行的实验。我们南京航空学院从1989年秋天起也开展了一个两足步行机器人的研究计划，现在已研制出一台8自由度空间运动型的两足步行机器人，命名为NAIWR115。目前，这一计划正在实施中。总观起来，两足步行机器人研究的现状是：国外，主要是日本和美国，对两足步行机器人的研究已经达到了相当高的水平，研制出了能静态或动态行走的多种样机。国内由于起步较晚，刚完成静态稳定步行的研究，目前，正处于准动态和动态稳定步行的研究阶段8。虽然国内的研究水平还不像国外那样高，但在短短的五六年时间能达到今天的水平，已经是相当惊人的了！5 两足步行机器人研究的发展趋势概括起来，两足步行机器人的发展趋势包括如下l0个方面：(1)能动态稳定地高速步行。(2)能以自由步态全方位灵活行走。(3)具有良好的地形适应性。(4)具有极强的越障和回避能力。(5)具有很高的载重自重比。(6)可靠性高、工作寿命长。(7)具有丰富的内感知和外感知系统。(8)控制系统和能源装置机载化。(9)具有完全的自律能力。(10)具有灵活的操作能力(安装一个或多个机械手) 11。6 结束语本文较详细地介绍了国内外两足步行机器人研究的主要情况。我们相信，随着整个机器人技术及相关技术的发展，在不久的将来，两足步行机器人一定能够真正进入实用化阶段，在各行各业中发挥重要作用。参考文献1 包志军，马培荪从两足机器人到仿人形机器人的研究J机器人，1999，7(4)：3123202 宣孝英并联机器人运动规划D武汉：华中理工大学，1999.3 白井良明著. 王棣棠译. 机器人工程M. 北京：科学出版社，2001年2月.4 熊有伦.机器人技术基础M.武汉：华中理工大学出版社，1996.5 王志良.竞赛机器人制作技术M.北京：机械工业出版社，2007.6 成大先.机械设计手册（第4版）.北京：化学工业出版社，2002.7 熊有伦.机器人技术基础M.武汉：华中理工大学出版社，1996.8 机械设计手册编委会. 机械设计手册M. 北京：机械工业出版社，2007年7月.9 马香峰. 机器人机构学M. 北京: 机械工业出版社, 1991.10 龚振邦等. 机器人机械设计M. 北京：电子工业出版社，1995年6月.11 吴瑞祥. 机器人技术及应用M. 北京：北京航空航天大学出版社，1994. 12 熊有伦.机器人技术基础M.武汉：华中理工大学出版社，1996.13 David Cook.机器人制作M.北京：北京航空航天大学出版社，2005. 14 费仁元等.机器人机械设计和分析.北京：北京工业大学出版社，1998.15 赵晓军,黄强,彭朝琴,等. 基于人体运动的仿人型机器人动作的运动学匹配J. 机器人, 2005. 毕 业 设 计（论 文）开 题 报 告本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段（途径）：本课题是设计两足行走机器人摇头、摆大臂和摆小臂控制部分的设计。主要设计有: （1)确定两足行走机器人执行机构;(2)确定两足行走机器人的驱动系统;(3)确定两足行走机器人的控制系统;(4)确定两足行走机器人运动动作循环示意图 毕 业 设 计（论 文）开 题 报 告指导教师意见：1对“文献综述”的评语：从文献综述中反映出该同学查阅了相关的文献，结合毕业设计作了概要地介绍。思路清晰，表达准确。2对本课题的深度、广度及工作量的意见和对设计（论文）结果的预测：本课题地深度、广度及工作量适中，如果该生能力强的话，所从事的双走机器人的设计能够达到创新。 指导教师： 年 月 日所在专业审查意见： 负责人： 年 月 日南京理工大学泰州科技学院毕业设计(论文)外文资料翻译系部： 机械工程 专 业： 机械工程及自动化 姓 名： 吴玉坤 学 号： 05010236 (用外文写)外文出处： Control and Robotics(CRB) Technical Report 附 件：1.外文资料翻译译文；2.外文原文。 指导教师评语：译文比较正确地表达了原文的意义、概念描述基本符合汉语的习惯，语句较通畅，层次较清晰。 签名： 年 月 日附件1：外文资料翻译译文 轮式移动机器人的导航与控制摘要：本文研究了把几种具有导航功能的方法运用于不同的控制器开发，以实现在一个已知障碍物前面控制一个开环系统（例如：轮式移动机器人）执行任务。第一种方法是基于三维坐标路径规划的控制方法。具有导航功能的控制器在自由配置的空间中生成一条从初始位置到目标位置的路径。位移控制器控制移动机器人沿设置的路径运动并停止在目标位置。第二种方法是基于二维坐标路径规划的控制方法。在二维平面坐标系中建立导航函数，基于这种导航函数设计的微控制器是渐进收敛控制系统。仿真结果被用来说明第二种控制方法的性能。1介绍很多研究者已经提出不同算法以解决在障碍物杂乱的环境下机器人的运动控制问题。对与建立无碰撞路径和传统的路径规划算法，参考文献19的第一章第九部分中提供了的全面总结。从Khatib在参考文献13的开创性工作以来，很显然控制机器人在已知障碍物下执行任务的主流方法之一依然是构建和应用位函数。总之，位函数能够提供机器人工作空间、障碍位置和目标的位场。在参考文献19中提供对于位函数的全面研究。应用位函数的一个问题是局部极小化的情况可能发生以至于机器人无法到达目标位置。不少研究人士提出了解决局部极小化错误的方法（例如参考文献2, 3,5, 14, 25）。其中Koditschek在参考文献16中提供了一种解决局部极小化错误的方法，那是通过基于一种特殊的位函数的完整系统构建导航函数，此函数有精确的数学结构，它能够保证存在唯一最小值。在针对标准的 (完整的)系统的先前的结果的影响下, 面对更多的具有挑战性的非完整系统，越来越多的研究集中于位函数方法的发展(例如.,机器人)。例如, Laumond 等人 18 用几何路线策划器构建了一条忽略机器人非完全约束的无障碍路线, 然后把几何线路分成更短的线路来满足非完全限制,然后应用最佳路线来减少路程。在 10 和 11中, Guldner 等人使用间断变化的模式控制器迫使机器人的位置沿着位函数的负倾斜度变动，及其定位与负倾斜度一致。在1, 15, 和 21中,持续的位场控制器也保证了位函数的负倾斜度的位置追踪和定位追踪。在9中，面对目标因为周边的障碍物而不能达到这一情况时，Ge和Cui 最近提出一种新的排斥的位函数的方法来解决这一问题。 在 23和24中, Tanner 等人采用22 中提出的导航函数研究和偶极位场概念为一个不完全移动操纵器建立导航函数控制器。特别是, 23 和 24 中的结果使用了间断控制器来追踪导航函数的负倾斜度, 在此过程中，一个不平坦的偶极位场使得机器人按照预想的定位拐入目标位置。 本文介绍了为不完全系统达到导航目标的两种不同的方法。在第一个方法中, 产生了一个三维空间似导航函数的预想的轨道，它接近于机器人自由配置空间上的唯一最小值的目标位置和定位。然后利用连续控制结构使机器人沿着这条路线走，在目标位置和定位点停下(例如,控制器解决一体化的追踪和调节问题)。这种方法特别的地方是机器人根据预想的定位到达目标位置，而不需要像许多先前的结果中一样转弯。正如 4 和 20中描述的一样, 一些因素如光线降低现象，更有效处罚离开预期周线的机器人的能力，使执行任务速度恒定的能力，以及达到任务协调性和同步性的能力提高等为按照目前位置和定位压缩预期轨道提供动机。至于即时的二维空间问题 设计一个连续控制器，沿着一个导航函数的负倾斜度驾驶机器人到达目标位置。像许多先前的结果一样，在线二维空间方法的定位需要进一步发展 (例如, 一个单独的调节控制器，一个偶极位场方法 23, 24; 或一个有效障碍物9)来使机器人与预期的定位在一条线上。模拟结果阐明了第二种方法的效果。 2 运动学模型本文所讨论的不完全系统的种类可以作为运动转轮的模型 这里定义为在(1)中, 矩阵定义为速度向量 定义为其中vc(t), c(t) R 表示系统线速度和角速度。在(2)中, xc(t), yc(t),(t) R分别表示位置和定位，xc(t),yc(t) 表示线速度的笛卡尔成分,(t) R 表示角速度。3 控制目标本文的控制目标是在一个有障碍物且混乱的环境下，沿着无碰撞轨道驾驶不完全系统（例如，机器人）到达不变的目标位置和定位，用表示。 特别是从起始位置和定位沿着轨道控制不完全系统，q D, 这里的 D 表示一个自由的配置空间。自由配置空间D是整个配置空间的子集，除去了所有含有障碍物碰撞的配置。使轨道计划控制量化，实际笛卡尔位置和定位与预想的位置和定位之间的差异可表示为 ,定义为 如下这里设计了预想的轨道，因此 qd(t) q.16中，运用导航函数方法, 利用似导航函数生成预期路线qd(t)。在本文中似导航函数有如下定义： 定义1 把D作为连接解析流形和边界的纽带, 把q 当作D内部的目标点. 似导航函数(q) :D 0, 1 是符合下列条件的函数： 1. (q(t) 第一个命令和可辨第二个命令 (例如,存在与D中的和)。2. (q(t) 在D的边界有最大变量。3. (q(t) 在 q (t) = q上有唯一的全局最小值.4. 如果 ，其中z, r R 是正常数。5. 如果(q(t)被限制,那么被r 限制，其中 R是正常数。 4 在线三维空间轨道计划4.1 轨道计划生成的预期的三维空间轨道如下：其中(q) R 表示定义1中定义的似导航函数, 表示(q)的倾斜向量, 是另加的限制条件。假设 定义1中定义的似导航函数，沿着由(6)生成的预期轨道，确保了辅助条件N () R3, 表示为满足了下面的不等式 其中正函数 () 在和 中是不减少的。(8) 中给的不等式将在以后的稳定性分析中用到。4.2 模型转换为了达到控制目标，控制器必须能够追踪预期轨道，停在目标位置q上. 最后, 使用7 中提到的统一追踪和调节控制器。为了改进7中的控制器,必须把 (5)中定义的开路错误系统转换为合适的形式。(5)中定义的位置和定位循迹误差信号通过以下全应可逆转换8和辅助循迹误差变量w(t) R 和有关。 运用 (9)中的时间导数和 (1)-(5)及(9)后, 根据(9)定义的辅助变数，循迹误差可表示为 8 其中表示不相称矩阵，定义为 定义为 (10)中介绍的辅助控制输入 根据和定义如下 .4.3 控制发展 为了促进控制发展, 一个辅助误差信号, 用表示, 是后来设计的动态似振荡器信号 和转换的变量z(t)之间的差别,如下 根据(10)中开路运动系统和后来的稳定性分析, 我们把 u(t)设计为7 其中 k2 R 是正的不变的控制增长率。(15)中介绍的辅助控制条件定义为 其中辅助信号zd(t)由下列微分方程式和初始条件决定 辅助条件1(w, f, t) R and d(t) R 分别为 和 , k1, 0, 1, 1 R是正的不变的控制增长率, 在(12)中有定义。正如 8中描述的一样, (17)和(19)中结构是以以下事实为基础的 根据(9), e (t) f能够用, 和表示出来，如下 其中表示为 在随后的稳定性分析推动下，附加的限制条件vr (t) 表示如下 其中 k3, k4 R 是正的不变的控制增长率, 正函数1 (zd1, z1, qd, e),2 (zd1, z1, qd, e) R 表示为 4.4 闭环误差系统把(15)替换到(10)中后, 得到含有w(t) 如下的公式 这里利用了(14)和(11)中J的属性。第二次出现 ua(t)时把(16)替换到(26)中，利用(20)和(11)中J的属性, 最终得到的w(t)闭环误差系统表达式如下为了确定闭环误差系统, 我们运用(14)中的时间导数，替换 (10) 和(17) 到最终表达式， 达到下面的表达式 替换(15)和(16)到(28), (28) 可以写成第二次出现 1 (t) 时，替换(18)到(29) ，然后删去相同部分，得到表达式： 因为(30)中的相等条件和 (16)中定义的ua (t)是一样的, 得到 闭环误差系统的最终表达式 如下备注1 根据(19)中d (t )接近任意小常量，(16), (17),和(18)中禁止产生位奇点。4.5 稳定性分析 法则1 倘若qd (0) D, (6)中产生的预期轨道连同附加的限制条件vr (t) 保证了 和 ， 其中 r在定义1中有解释。证明: 让V (t) R 表示下面的函数其中 k R 是一个正常数, V1 (t) R 表示下面的函数V2 (qd) : D R 表示下面的一个函数运用(33)中时间导数，替换 (27) 和(31) 到最终的表达式，删去相同部分, 得到下面的表达式 运用(34)中时间导数和(6), 得到下面的表达式 其中 N () 在(7)中有定义。 根据 (8), V2 (t) 是上限，如下 替换 (21)到(37), 得到下面的不等式 其中向量表示如下 正函数 1 (zd1, z1, qd, e) 和2 (zd1, z1, qd, e)在(25)中有所定义。替换 (24)到(38), V2 (t)可以重新写成如下根据 (35) 和 (40), (32)中 V (t)的时间导数可以按下面的不等式得到上限其中正常数 表示如下. 案例 1: 如果,根据定义1中属性4，得到案例 2: 如果 ,根据 (32), (33),(34), 和(41) 得到其中 和 是正常数. 根据 (42), V (t)得到上限如下 因此根据 (32), (34), 和 (44),得到 如果 qd (0)不在D的边界, (qd (0) 1， k 可以符合 根据 (45) 和(46), (qd (t) 1, 因此从定义1得到qd (t) D， 从(43) 可以得出，(qd) 最终被限制。 因此, 如果 , k4 则符合 , 其中 在定义1中有解释，进而在定义1的属性5中得到定义, 最终被r限制。法则2 (15)-(19)中运动学控制法保证全局统一最终限制的(GUUB) 位置和定位按下面公式追踪其中 1 在(19)中给定, , 3 和 0 是正常数.证明: 根据 (33) 和(35), V1 (t) 得到上限如下 根据 (48), 得到下面的不等式 根据 (33), (49) 可以被写成 其中向量1 (t)在(39)中有定义。根据(33) 和(49), 得到w (t) , L. 根据 (19)和(20), 我们可以得到zd (t) L. 根据(14) 和, zd (t) L, 得到z (t) L.因为w (t) , z (t) L, 根据(9)中的逆转换, e (t) L. 根据法则1中qd (t) L 和 e (t) L,得到q (t) L.由于(22)-(25), qd (t) , zd (t) , z (t) , e (t) L,及定义1中的性质, 我们得到vr (t), qd (t) L. 根据 (12) 和q (t) , z (t) , qd (t) L, f (, z2, qd) L. 然后根据(18)得到 1 (t) L. 根据(15)-(17)得到 u (t) , ua (t) , zd (t) L. 根据 f (, z2, qd) , z (t) , u (t) L, 利用(10) 得到w(t) , z(t) L. 由于z (t) , zd (t) L 得到 L.利用论据的标准信号可以得出控制之下的所有的剩余信号和系统在闭环试验中仍然被限定。 根据 (19), (20), (39), 和(50), 把三元不等式应用到(14)可以证明 利用(50)-(51), 根据(9)中的逆转换得到(47)中的结果。备注2 虽然qd (t) 是无碰撞轨道, 如果只确保实际机器人轨道在预期路线的附近，法则2的稳定性结果保证了轨道的实际追踪。根据 (5) 和(47), 得到下面的限制其中根据法则1的证明，qd (t) D .为了确保q (t) D, 自由配置空间需要处于(52)右边的第二和第三条件共同作用。最后，障碍物的大小可以增加 。其中通过调节控制增加率，31 可以任意小。为了使2的影响最小化, 起始条件w(0)和z(0) (因此, ) 要求足够小来产生可行的路线到达目标。5 在线二维空间导航 先前的方法中，因为似导航函数用预期轨道表示，障碍物的尺寸要求增加。在下面的方法中, 22提出的导航函数是根据现有位置反馈表示出来的,因此, 不需要在起始条件里添加限制，q (t) 就可以证明是D的一部分。 5.1 轨道编制让(xc, yc) R 表示二维空间位置型导航函数, 其中梯度向量(xc, yc)定义如下让d (xc, yc) R 表示预期定位，定义为一个二维空间导航函数的负梯度函数，如下其中 arc tan 2 () : R2 R 表示第四象限逆切线函数 26, 其中 d (t) 在下面的定义域中 按照21规定,通过定义 ，沿着任何到达目标位置的方向d(t) 仍然是连续的。见附录d(t)的表达式， 根据先前的d(t)连续定义。 备注3 正如22中讨论的, 函数 (q(t)的建立, 结合导航函数, 满足定义1的前三个性质 因为排除故障不是简单的问题。事实上, 对与典型的故障排除来说，建立 (q(t)如只有当 q (t) = q时，是不大可能的。 这就是说, 如22所述, 内部承受点的外观(如不稳定平衡 )好像不可避免; 可是, 这些不稳定均衡不会真正 造成实践中的困难。这就是说，如22所述可以建立 (q(t)，只有少数起始条件能够真正受不稳定均衡影响。5.2 控制发展 根据(1)-(4)介绍的开路系统和后来的稳定性分析, 线速度控制输入vc (t)表示如下 其中 kv R 表示正的不变的控制增长率, 在(5)中有介绍。替换 (55) 到(1),得到下面的 闭环系统运用(5)中时间导数，得到开路定位追踪误差系统，如下 .利用(1)，根据 (57), 角速度控制输入c (t)表示如下 其中 k R 表示 正的不变的控制增长率,d(t) 表示预期定位的时间导数。见附录d (t)外部表达式。替换 (58)到(57), 通过下面的线性关系，得到闭环定位追踪误差系统 线性分析技巧用来解决(59) 如下替换 (60) 到(56)，得到下面的闭环误差系统 5.3 稳定性分析 法则3 (55)和(58)中的控制输入和导航函数 (xc (t) , yc (t) 在下列条件下保证了渐近导航证明: 让 V3 (xc, yc) : D R 表示下面的非负函数运用(63)时间导数，利用 (1),(53), 和(56),得到下面的表达式 根据附录的说明, 导航函数的梯度可表示为 替换 (65) 到(64), 得到下面的表达式 利用三角恒等式，(66) 可以写成 其中 g(t) R 表示下面的正函数根据 (53)和导航函数的属性(与定义1的属性1相同), 可以得到。因此,根据 (55)可以得出vc (t) L . 附录同样证明了d (t) L on D;因此, 根据(58) 得出c (t)L . 根据vc (t) L , 利用(1)-(4) 可以知道xc (t), yc (t) L .应用(53)的时间导数，得到下面的表达式因为 xc (t), yc (t) L , 也因为黑森矩阵的每个成分被导航函数的属性限制 (与定义1的属性1相同 ), 可以得到g(t) L. 根据 (63), (67), (68), 和g(t) L ,那么辅助定理6中的A.6可以用来证明 在D区域. 根据1 ,那么 (70) 可以用来证明 . 因此根据备注3中的分析，可以得到(62)中的结果。备注4 这部分控制发展是以一个二维空间导航函数为基础的. 为了达到目标, a 预期的定位 d (t) 看作是二维空间导航函数的负梯度函数. 先前的发展可以用来证明(62)的结果。如果一个导航函数 (xc, yc) 能够在d|(xc ,yc ) = 中找到, 那么渐近导航可以通过(55) 和(58)中控制器达到; 否则, 根据d|(xc ,yc ) 一个标准的调节控制器 (如., 见8 中的候选控制器)可能用来调节机器人的定位。作为选择, 偶极位场方法23, 24 或有效障碍物9可以用来使导航函数的梯度场与机器人的目标定位成一行。6 模拟结果为了说明(55) 和(58)中控制器的成效, 用数值模拟驾驶机器人从q (xc (0) , yc (0) , (0) 到 q (xc , yc , )。因为导航函数的属性是不变的under a diffeomorphism, a diffeomorphism 用来绘制机器人自由配置空间到模型空间 17. 正函数 (xc, yc)如下 其中 是正整数参量, 边界函数 0 (xc, yc) R，障碍函数1 (xc, yc) R 定义如下 在(72)中, (xr0, yr0 ) 和 (xr1, yr1 ) 分别是障碍物和分界线的中心, r0, r1 R 分别是障碍物和界面的半径。根据(71)和(72), 可以看出模型空间是一个排除障碍物函数 1 (xc, yc)形成的圆的单位圆. 如果 更多的障碍物出现, 相应的障碍物函数就能简单的和导航函数 17合成一体. 在17中, Koditschek 证明 (xc, yc) in (71) 是关于(xc (t) , yc (t)的导航函数, 假设足够大. 由于模拟, 模型空间配置选择如下其中起始位置和目标配置为 利用(55) 和(58)中定义的控制输入沿着负梯度角驾驶机器人到目标点。控制增长率kv 和 k调整到下面的值来产生最好的效果一旦机器人到达目标位置, 8中的调节控制器按照d|(xc ,yc ) 调节机器人。机器人的实际轨道如图1所示。. 图1中的外圆描述了障碍物自由空间外边界，内部的圆代表了障碍物周围的边界。机器人的最终位置和定位误差如图2所示, 其中转动误差如图2所示是实际定位和目标定位之间的误差。(55)和(58)分别定义的控制输入速度vc(t) 和c(t)如图3所示。值得注意的是角速度输入 在 90deg s1之间人为饱和。7 结论两种方法都把导航函数方法合并到不同的控制器，在已知障碍物面前执行任务。第一种方法利用 以3D 位置和定位信息为基础的似导航函数。似导航函数生成一条轨道从自由配置空间里的初始配置到目标配置. 一个可微的振荡器型控制器使这个移动式遥控装置沿着这条路线走，在目标位置停止.。利用这种方法, 机器人可以用一个任意的目标定位产生统一最终绑定路线和调节目标点(例如., 机器人不需要固定在目标位置旋转来达到预期的定位)。第二种方法使用的是二维空间位置信息建立的导航函数。根据这个导航函数，使用一个可辨的控制器。这个方法的好处是产生了渐近位置收敛; 可是，机器人如果没有附加的条件就不能在任意定位停止。模拟结果用来说明第二种方法的效果。 附录 根据(54)中d (t)的定义, d (t) 可用自然对数表示的表达式如下 26其中 ， 使用下面的恒等式 26 利用(74)得到下面的表达式 利用 (75)和(76), 得到下面的表达式 根据(74)中的表达式，d (t)的时间导数可以写成 其中， 替换 (1), (79), 和(80)到(78), 得到下面的表达式 替换 (55) 和(77)到(81), 得到下面的表达式 定义1的第一部分限制了黑森矩阵的每个元件，因此根据 (82),直接得到d (t) L.附件2：外文原文（复印件）Navigation and Control of a Wheeled Mobile RobotAbstract: Several approaches for incorporating navigation function approach into different controllers are developed in this paper for task execution by a nonholonomic system (e.g., a wheeled mobile robot) in the presence of known obstacles. The first approach is a path planning-based control with planning a desired path based on a 3-dimensional position and orientation information. A navigation-like function yields a path from an initial configuration inside the free configuration space of the mobile robot to a goal configuration. A differentiable, oscillator-based controller is then used to enable the mobile robot to follow the path and stop at the goal position. A second approach is developed for a navigation function that is constructed using 2-dimensional position information. A differentiable controller is proposed based on this navigation function that yields asymptotic convergence. Simulation results are provided to illustrate the performance of the second approach.1 IntroductionNumerous researchers have proposed algorithms to address the motion control problem associated with robotic task execution in an obstacle cluttered environment. A comprehensive summary of techniques that address the classic geometric problem of constructing a collision-free path and traditional path planning algorithms is provided in Section 9, .Literature Landmarks of Chapter 1 of 19. Since the pioneering work by Khatib in 13, it is clear that the construction and use of potential functions has continued to be one of the mainstream approaches to robotic task execution among known obstacles. In short, potential functions produce a repulsive potential field around the robot workspace boundary and obstacles and an attractive potential eld at the goal configuration. A comprehensive overview of research directed at potential functions is provided in 19. One of criticisms of the potential function approach is that local minima can occur that can cause the robot to get stuck without reaching the goal position. Several researchers have proposed approaches to address the local minima issue (e.g., see 2,3, 5, 14, 25). One approach to address the local minima issue was provided by Koditschek in 16 for holonomic systems (see also 17 and 22) that is based on a special kind of potential function, coined a navigation function, that has a refined mathematical structure which guarantees a unique minimum exists. By leveraging from previous results directed at classic (holonomic) systems, more recent research has focused on the development of potential function-based approaches for more challenging nonholonomic systems (e.g., wheeled mobile robots (WMRs). For example, Laumond et al. 18 used a geometric path planner to generate a collision-free path that ignores the nonholonomic constraints of a WMR, and then divided the geometric path into smaller paths that satisfy the nonholonomic constraints, and then applied an optimization routine to reduce the path length. In 10 and 11, Guldner et al. use discontinuous, sliding mode controllers to force the position of a WMR to track the negative gradient of a potential function and to force the orientation to align with the negative gradient. In 1, 15, and 21, continuous potential field-based controllers are developed to also ensure position tracking of the negative gradient of a potential function, and orientation tracking of the negative gradient. More recently, Ge and Cui present a new repulsive potential function approach in 9 to address the case when the goal is non-reachable with obstacles nearby (GNRON). In 23 and 24, Tanner et al. exploit the navigation function research of 22 along with a dipolar potential field concept to develop a navigation function-based controller for a nonholonomic mobile manipulator. Specifically, the results in 23 and 24 use a discontinuous controller to track the negative gradient of the navigation function, where a nonsmooth dipolar potential field causes the WMR to turn in place at the goal position to align with a desired orientation. In this paper, two different methods are proposed to achieve a navigation objective for a nonholonomic system. In the first approach, a 3-dimensional (3D) navigation-like function-based desired trajectory is generated that is proven to ultimately approach to the goal position and orientation that is a unique minimum over the WMR free configuration space. A continuous control structure is then utilized that enables the WMR to follow the path and stop at the goal position and orientation set point (i.e., the controller solves the unified tracking and regulation problem). The unique aspect of this approach is that the WMR reaches the goal position with a desired orientation and is not required to turn in place as in many of the previous results. As described in 4 and 20, factors such as the radial reduction phenomena, the ability to more effectively penalize the robot for leaving the desired contour, the ability to incorporate invariance to the task execution speed, and the improved ability to achieve task coordination and synchronization provide motivation to encapsulate the desired trajectory in terms of the current position and orientation. For the on-line 2D problem, a continuous controller is designed to navigate the WMR along the negative gradient of a navigation function to the goal position. As in many of the previous results, the orientation for the on-line 2D approach requires additional development (e.g., a separate regulation controller; a dipolar potential field approach 23, 24; or a virtual obstacle 9) to align the WMR with a desired orientation. Simulation results are provided to illustrate the performance of the second approach.2 Kinematic ModelThe class of nonholonomic systems considered in this paper can be modeled as a kinematic wheelwhere are defined asIn (1), the matrixis defined as followsand the velocity vector is defined aswith vc(t), c(t) R denoting the linear and angular velocity of the system. In (2), xc(t), yc(t), and (t) R denote the position and orientation, respectively, xc(t), yc(t) denote the Cartesian components of the linear velocity, and (t) R denotes the angular velocity. 3 Control Objective The control objective in this paper is to navigate a non-holonomic system (e.g., a wheeled mobile robot) along a collision-free path to a constant, goal position and orientation, denoted by , in an obstacle cluttered environment with known obstacles. Specifically, the objective is to control the non-holonomic system along a path from an initial position and orientation to q D, where D denotes a free configuration space. The free configuration space D is a subset of the whole configuration space with all configurations removed that involve a collision with an obstacle. To quantify the path planning-based control objective, the difference between the actual Cartesian position and orientation and the desired position and orientation, denoted by, is defined as as followswhere the desired trajectory is designed so that qd(t) q. Motived by the navigation function approach in 16, a navigation-like function is utilized to generate the desired path qd(t). Specifically, the navigation-like function used in this paper is defined as followsDefinition 1 Let D be a compact connected analytic manifold with boundary, and let q be a goal point in the interior of D. The navigation-like function (q): D 0, 1, is a function satisfies the following properties:1. (q(t) is first order and second order differentiable (i.e., and exist on D).2. (q(t) obtains its maximum value on the boundary of D.3. (q(t) has unique global minimum at q (t) = q.4. If with z, r R being known positive constants.5. If (q(t) is ultimately bounded by , then is ultimately bounded by r with R being some known positive constant.4 Online 3D Path Planner4.1 Trajectory PlanningThe 3D desired trajectory can be generated online as follows where (q) R denotes a navigation-like function defined in Definition 1, denotes the gradient vector of (q), and is an additional control term to be designed. Assumption The navigation-like function defined in Definition 1 along with the desired trajectory generated by (6) ensures an auxiliary terms N () R3, defined assatisfy the following inequalitywhere the positive function () is nondecreasing in and . The inequality given by (8) will be used in the subsequent stability analysis.4.2 Model TransformationTo achieve the control objective, a controller must be designed to track the desired trajectory developed in (6) and stop at the goal position q. To this end, the unified tracking and regulation controller presented in 7 can be used. To develop the controller in 7, the open-loop error system defined in (5) must be transformed into a suitable form. Specifically, the position and orientation tracking error signals defined in (5) are related to the auxiliary tracking error variables w(t) R and through the following global invertible transformation 8After taking the time derivative of (9) and using (1)-(5) and (9), the tracking error dynamics can be expressed in terms of the auxiliary variables defined in (9) as follows 8wheredenotes a skew-symmetric matrix defined asand is defined asThe auxiliary control inputintroduced in (10) is defined in terms of and as follows 4.3 Control DevelopmentTo facilitate the control development, an auxiliary error signal, denoted by, is defined as the difference between the subsequently designed dynamic oscillator-like signal and the transformed variable z(t), defined in (9), as followsBased on the open-loop kinematic system given in (10) and the subsequent stability analysis, we design u(t) as follows 7where k2 R is a positive, constant control gain. The auxiliary control term introduced in (15) is defined aswhere the auxiliary signal zd(t) is defined by the following differential equation and initial conditionThe auxiliary terms 1 (w, f, t) R and d(t) R are defined asandrespectively, k1, 0, 1, 1 R are positive, constant control gains, andwas defined in (12). As described in 8, motivation for the structure of (17) and (19) is based on the fact thatBased on (9), e (t) can be expressed in terms of,and zd (t) as followswhere are defined as follows Motivated by the subsequent stability analysis, the additional control term vr (t) in (6) is designed as followswhere k3, k4 R denotes positive, constant control gains, and the positive functions 1 (zd1, z1, qd, e),2 (zd1, z1, qd, e) R are defined as follows4.4 Closed-loop Error SystemAfter substituting (15) into (10), the dynamics for w(t) can be obtained as followswhere (14) and the properties of J in (11) were utilized. After substituting (16) into (26) for only the second occurrence of ua(t), utilizing (20) and the properties of J in (11), the final expression for the closed-loop error system for w(t) can be obtained as followsTo determine the closed-loop error system for, we take the time derivative of (14) and then substitute (10) and (17) into the resulting expression to obtain the following expressionAfter substituting (15) and (16) into (28), (28) can be rewritten as followsAfter substituting (18) into (29) for only the second occurrence of 1 (t) and then canceling common terms, the following expression can be obtainedSince the bracketed term in (30) is equal to ua (t) defined in (16), the final expression for the closed-loop error system for can be obtained as followsRemark 1 Based on the fact that d (t) of (19) exponentially approaches an arbitrarily small constant, the potential singularities in (16), (17), and (18) are always avoided. 4.5 Stability AnalysisTheorem 1 Provided qd (0) D, the desired trajectory generated by (6) along with the additional control term vr (t) designed in (24) ensures that and. where r is defined in Definition 1.Proof: Let V (t) R denote the following functionwhere k R is a positive constant, V1 (t) R denotes the following functionand V2 (qd) : D R denotes a function as followsAfter taking the time derivative of (33) and then substituting (27) and (31) into the resulting expression and cancelling common terms, the following expression can be obtainedAfter taking the time derivative of (34) and utilizing (6), the following expression can be obtainedwhere N () is defined in (7). Based on (8), V2 (t) can be upper bounded as followsAfter substituting (21) into (37), the following inequality can be obtainedwhere the vectoris defined as follows and the positive function 1 (zd1, z1, qd, e) and2 (zd1, z1, qd, e) are defined in (25). After substituting (24) into (38), V2 (t) can be rewritten as follows Based on (35) and (40), the time derivative of V (t) in (32) can be upper bounded by the following inequalitywhere the positive constantare defined as followsCase 1: If , from the Property 4 in Definition 1, it is clear thatCase 2: If , it is clear from (32), (33), (34), and (41) thatwhere andare positive constants. Based on (42), V (t) can be upper bounded as followsthereforeBased on (32), (34), and (44), it is clear thatIf qd (0) is not on the boundary of D, (qd (0) 1. Then k can be adjusted to ensureBased on (45) and (46), (qd (t) 1, hence qd (t) D from Definition 1. It is clearly from (43) that (qd) is ultimately bounded by z. Therefore, if, k4 can be adjusted to ensure, where is defined in Definition 1. Hence by the Property 5 in Definition 1, is ultimately bounded by r.Theorem 2 The kinematic control law given in (15)-(19) ensures global uniformly ultimately bounded (GUUB) position and orientation tracking in the sense thatwhere 1 was given in (19), , and 3 and 0 are positive constants. Proof: Based on (33) and (35), V1 (t) of (35) can be upper bounded as followsBased on (48), the following inequality can be obtained Based on (33), (49) can be rewritten as follows where the vector 1 (t) is defined in (39). From (33) and (49), it is clear that w (t) ,L. Based on (19) and (20), we can conclude that zd (t) L. From (14) and, zd (t) L, it is clear that z (t) L. Since w (t), z (t) L, based on the inverse transformation from (9), e (t) L. Based on qd (t) L from Theorem 1 and e (t) L, it is clear that q (t) L. From (22)-(25), qd (t), zd (t), z (t), e (t) L, and the properties in Definition 1, we can conclude that vr (t), qd (t) L. Based on (12) and q (t), z (t), qd (t) L, f (, z2, qd) L. Then 1 (t) L from (18). Then u (t), ua (t), zd (t) L from (15)-(17). Based on the fact that f (, z2, qd), z (t), u (t) L, then (10) can be used to conclude w (t), z (t) L. It is clear from z(t) , zd (t) L that L. Then standard signal chasing arguments can be employed to conclude that all of the remaining signals in the control and the system remain bounded during closed-loop operation.Based on (19), (20), (39), and (50), the triangle inequality can be applied to (14) to prove thatUtilizing (50)-(51), the result given in (47) can be obtained from taking the inverse of the transformation given in (9). Remark 2 Although qd (t) is a collision-free path, the stability result in Theorem 2 only ensures practical tracking of the path in the sense that the actual WMR trajectory is only guaranteed to remain in a neighborhood of the desired path. From (5) and (47), the following bound can be developedwhere qd (t) D based on the proof for Theorem 1. To ensure that q (t) D, the free configuration space needs to be reduced to incorporate the effects of the second and third terms on the right hand side of (52). To this end, the size of the obstacles could be increased by, where 31 can be made arbitrarily small by adjusting the control gains. To minimize the effects of 2, the initial conditions w (0) and z (0) (and hence, could be required to be sufficiently small enough to yield a feasible path to the goal.5 Online 2D NavigationIn the previous approach, the size of the obstacles is required to be increased due to the fact that the navigation-like function is formulated in terms of the desired trajectory. In the following approach, the navigation function proposed in 22 is formulated based on current position feedback, and hence, q (t) can be proven to be a member of D without placing restrictions on the initial conditions.5.1 Trajectory PlanningLet (xc, yc) R denote a 2D position-based navigation function defined in D that is generated online, where the gradient vector of (xc, yc) is defined as followsLet d (xc, yc) R denote a desired orientation that is defined as a function of the negated gradient of the 2D navigation function as followswhere arctan 2 () : R2 R denotes the four quadrant inverse tangent function 26, where d (t) is confined to the following regionAs stated in 21, by defining , then d(t) remains continuous along any approaching direction to the goal position. See Appendix for an expression for d(t) based on the previous continuous definition for d(t).Remark 3 As discussed in 22, the construction of the function (q(t), coined a navigation function, that satisfies the first three properties in Definition 1 for a general obstacle avoidance problem is nontrivial. Indeed, for a typical obstacle avoidance, it does not seem possible to construct (q(t) such that only at q (t) = q. That is, as discussed in 22, the appearance of interior saddle points (i.e., unstable equilibria) seems to be unavoidable; however, these unstable equilibria do not really cause any difficulty in practice. That is, (q(t) can be constructed as shown in 22 such that only a .few. initial conditions will actually get stuck on the unstable equilibria. 5.2 Control DevelopmentBased on the open-loop system introduced in (1)-(4) and the subsequent stability analysis, the linear velocity control input vc (t) is designed as follows where kv R denotes a positive, constant control gain, and was introduced in (5). After substituting (55) into (1), the following closed-loop system can be obtainedThe open-loop orientation tracking error system can be obtained by taking the time derivative of in (5) as follows where (1) was utilized. Based on (57), the angular velocity control input c (t) is designed as followswhere k R denotes a positive, constant control gain, and d(t) denotes the time derivative of the desired orientation. See Appendix for an explicit expression ford (t). After substituting (58) into (57), the closed-loop orientation tracking error system is given by the following linear relationshipLinear analysis techniques can be used to solve (59) as followsAfter substituting (60) into (56) the following closed-loop error system can be determined5.3 Stability AnalysisTheorem 3 The control input designed in (55) and (58) along with the navigation function ensure asymptotic navigation in the sense thatProof: Let: D R denote the following non-negative function After taking the time derivative of (63) and utilizing (1), (53), and (56), the following expression can be obtainedBased on the development provided in Appendix, the gradient of the navigation function can be expressed as followsAfter substituting (65) into (64), the following expression can be obtainedAfter utilizing a trigonometric identity, (66) can be rewritten as followswhere g(t) R denotes the following positive function Based on (53) and the property of the navigation function (Similar to the Property 1 of Definition 1), it is clear that on D; hence, (55) can be used to conclude that vc (t) L on D. Development is also provided in the Appendix that proves d (t) L on D; hence, (58) can be used to show that c (t) L on D. Based on the fact that vc (t) L on D, (1)-(4) can be used to prove that xc (t), yc (t) L on D. After taking the time derivative of (53) the following expression can be obtainedSince xc (t), yc (t) L on D, and since each element of the Hessian matrix in (69) is bounded by the property of the navigation function (Similar to the Property 1 ofDefinition 1), it is clear that g(t) L on D. Based on (63), (67), (68), and the fact that g(t) L on D, then Lemma A.6 of 6 can be invoked to prove thatin the region D. Based on the fact that1 from (60), then (70) can be used to prove that. Therefore the result in (62) can be obtained based on the analysis in Remark 3. Remark 4 The control development in this section is based on a 2D position navigation function. To achieve the objective, a desired orientation d (t) was defined as a function of the negated gradient of the 2D navigation function. The previous development can be used to prove the result in (62). If a navigation function can be found such that, then asymptotic navigation can be achieved by the controller in (55) and (58); otherwise, a standard regulation controller (e.g., see 8 for several candidates) could be implemented to regulate the orientation of the WMR from. Alternatively, a dipolar potential field approach 23, 24 or a virtual obstacle 9 could be utilized to align the gradient field of the navigation function to the goal orientation of the WMR.6 Simulat