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3 4基本不等式 2002年国际数学家大会会标 欣赏体会丰富自我 如图 这是在北京召开的第 届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 探究1 欣赏体会丰富自我 欣赏体会丰富自我 探究1算一算 数学是思维的体操 a b rt abf rt bcg rt cdh rt ade是全等三角形 它们的面积是s 如图 在正方形abcd中 af bf bg cg ch dh de ae 设af a bf b 则正方形的面积为s 数学是思维的体操 探究1 从图形中易得 s s 即 问题1 它们有相等的情况吗 何时相等 问题2 当a b为任意实数时 上式还成立吗 动画 数学是思维的体操 类比联想推理论证 数学是思维的体操 探究3 动画 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 概念是基础思想是灵魂 概念 一正二定三相等 剖析公式应用 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a b是两个正数 当且仅当a b时 号成立 2 正用 逆用 注意成立的条件 3 变形用 1 基本不等式可以叙述为 深入探究揭示本质 解 1 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 学以致用 例题讲解 16 2 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 学以致用 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 当且仅当x y 即x 9 y 9时等号成立 学以致用 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若a b r 且a b m m为定值 则 ab 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若a b r 且ab p p为定值 则 a b 等号当且仅当a b时成立 反思探究例1 勤于总结敢于创新 15 等号当且仅当a b时成立 13 巩固练习 跳起来摘下丰收果 x 0 当x取何值时 的值最小 最小值是多少 已知直角三角形的面积等于50 两条直角边各为多少时 两条直角边的和最小 最小值是多少 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形 应怎样折 小结评价 你会了吗 1 本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用 巅峰回眸豁然开朗 2 注意公式的正用 逆用 变形使用 3 牢记公式特征 正 定 等 它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩
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