高二数学－二项式系数性质1课件.ppt

二项式系数性质 2006 4 5 复习回顾 二项式定理的公式 a b 1 a b a b 2 a2 ab b2 a b 3 a3 a2b ab2 b3 a b 4 a4 a3b1 a2b2 a1b3 b4 a b 5 a5 a4b1 a3b2 a2b3 a1b4 b5 a b 6 a6 a5b1 a4b2 a3b3 a2b4 a1b5 b6 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 二项式系数表 这样的二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 杨辉 九章算术 在这本 书里 记载着类似下面的表 这个表称为杨辉三角 在 详解九章算法 一书里 还说明了表里 一 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 blaisepascal 1623年 1662年 首先发现的 他们把这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 根据上面的杨辉三角观察 讨论 猜测二项式系数的性质 1 每行两端都是1 2 除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和 3 与首末两端等距的两项的二项式系数相等 4 从中间到首末两端二项式系数逐渐减小 5 各二项式系数的和2n 归纳 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 2 21 4 22 8 23 16 24 32 25 64 26 2n 二项式系数的性质 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 二项式系数的性质 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 在二项式定理 赋值法 前面已经知道 杨辉三角 中除1以外的每个数都等于它肩上两个数的和 利用这一性质 可根据相应于n的各二项式系数写出相应于n 1的各二项式系数写出 例如n 6时1615201561 则n 7时 21 1 7 21 35 35 7 1 用函数观点解释二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 20 10 30 35 o n f r n 7 奇数 n 6 偶数 例1证明在的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 二项式系数的性质的应用 补充 二项式系数的性质 4 在的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 例2在 1 2x 5的展开式中 求 1 二项式系数的和 2 各项系数和 4 偶数项系数和 3 奇数项系数和 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a0 a2 a4 a1 a3 a5 例3已知的展开式中只有第10项系数最大 求第五项