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文档简介

高等数学中的积分在物理学中的应用积分的应用（力学，磁场，速度。）分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。例1 一半径为的非均质圆球，在距中心处的密度为：式中和都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。解：设表示距球心为的一薄球壳的质量，则，所以此球对球心的转动惯量为 (1)在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为， (2)又因球的质量为 (3)又饶直径的回转半径 (4)由(1)-(4)，得例2 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为，式中为对角线的长度。解：建立坐标系，设为立方体的中心，轴分别与立方体的边平行。由对称性知，轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为由以上所设，平行于轴的一小方条的体积为，于是立方体饶的转动惯量为根据对称性得：易知立方体的对角线与轴的夹角都为且故立方体饶对角线的转动惯量为 (1)又由于, (2)饶其对角线转动时的回转半径为 (3)由(1)-(3)得例3 一个塑料圆盘，半径为电荷均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感应强度。解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为，圆盘表面上所带的电荷面密度为，在圆盘上取一半径为，宽度为的细圆环，它所带的电量为，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为，它在轴线上距盘心处的点所产生的磁感应强度为故点处的总磁感应强度为变换积分所以，的方向与方向相同()或(.于是在圆盘中心处，磁感应强度例4 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。解：设雨滴的本体为由物理学知 (1)1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为则雨滴质量是与半径的三次方成正比，密度看成是不变的，于是， (2)其中为常数。2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即 (3)其中为常数。由(2)，得 (4)由(3)=(4)，得 (5)对(5)两边积分：得 (6)将(6)代入(2)，得 (7)3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式 (8)（
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