2020高考数学课标二轮：专题能力训练椭圆、双曲线、抛物线含解析.docx

教学资料范本2020高考数学课标二轮：专题能力训练椭圆、双曲线、抛物线含解析编 辑：_时 间：_16椭圆、双曲线、抛物线专题能力训练第38页一、能力突破训练1.已知双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:B解析:由题意得,c=3.因为a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程为=1.2.已知以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.若|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案:B解析:不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4,所以可设A(m,2).又因为|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.3.若双曲线=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x答案:A解析:e=,+1=3.双曲线焦点在x轴上,渐近线方程为y=x,渐近线方程为y=x.4.已知双曲线=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:C解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EFCD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到y=x的距离为=b,所以b=3,b2=9.因为e=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以双曲线的方程为=1.故选C.5.设双曲线=1(a0,b0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,nR),且mn=,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案:C解析:在y=x中,令x=c,得A,B.在双曲线=1中,令x=c,得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得由(舍去),e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.6.已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案:2解析:四边形OABC是正方形,AOB=45,不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.=1,即a=b.|OB|=2,c=2.a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.7.已知双曲线C:=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案:解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b.MAN=60,|AP|=b,|OP|=.设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为,则tan=.tan=,解得a2=3b2,e=.8.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0.由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知,点B,O关于直线PD对称,所以解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|d=.9.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|0,而当1或-1为方程的根时,m的值为-1或1.结合题设(m0)可知,m0,且m1.设Q,R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),则xQ,xR为方程的两根,因为|PQ|PR|,所以|xQ|1,且2,所以11+3,且1+,所以13,且.综上所述,的取值范围是.10.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|=()+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-2x00,b0)的左、右焦点,O是坐标原点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2C.D.答案:C解析:如图所示,由题意可知,|PF2|=b,|OP|=a.由题意,得|PF1|=a.设双曲线渐近线的倾斜角为.在OPF1中,由余弦定理知cos(180-)=-cos.cos=,=-,解得c2=3a2.e=.13.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则|FN|=.答案:6解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为线段FN的中点,则M.因为点M在抛物线C上,所以=8,即a2=32,即a=4.所以N(0,4).所以|FN|=6.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案:y=x解析:抛物线x2=2py的焦点为F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=p,所以.所以该双曲线的渐近线方程为y=x.15.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求MPQ面积的最大值.解:(1)由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=22=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,则有而|PQ|=|x1-x2|=,点M到PQ的距离为h=.由SMPQ=|PQ|h代入化简,得SMPQ=,当且仅当t2=10时,SMPQ取最大值.16.已知动点C是椭圆:+y2=1(a1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由.因为G(0,2),=(-x,2-y),所以=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y-1,1.因为a1,所以当y=-1,即1-1,即a3时,的最大值是.由条件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点