2021高三数学北师大版（文）：利用导数解决不等式恒（能）成立问题含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（文）：利用导数解决不等式恒（能）成立问题含解析编 辑：_时 间：_第五节利用导数解决不等式恒(能)成立问题(对应学生用书第50页)考点1分离参数法解决不等式恒成立问题利用分离参数法来确定不等式f(x、)0(xD、为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离、化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式(2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值(3)解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min、得到的取值范围已知f(x)xln x、g(x)x3ax2x2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x(0、)、2f(x)g(x)2恒成立、求实数a的取值范围解(1)因为函数f(x)xln x的定义域为(0、)、所以f(x)ln x1.令f(x)0、得ln x10、解得0x、所以f(x)的单调递减区间是.令f(x)0、得ln x10、解得x、所以f(x)的单调递增区间是.综上、f(x)的单调递减区间是、单调递增区间是.(2)因为g(x)3x22ax1、由题意得2xln x3x22ax1恒成立因为x0、所以aln xx在x(0、)上恒成立设h(x)ln xx(x0)、则h(x).令h(x)0、得x11、x2(舍)当x变化时、h(x)、h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1、)h(x)0h(x)极大值所以当x1时、h(x)取得极大值、也是最大值、且h(x)maxh(1)2、所以若ah(x)在x(0、)上恒成立、则ah(x)max2、即a2、故实数a的取值范围是2、)若f(x)a或g(x)a恒成立、只需满足f(x)mina或g(x)maxa即可、利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值、从而问题得解(20xx石家庄质量检测)已知函数f(x)axex(a1)(2x1)(1)若a1、求函数f(x)的图像在点(0、f(0)处的切线方程；(2)当x0时、函数f(x)0恒成立、求实数a的取值范围解(1)若a1、则f(x)xex2(2x1)即f(x)xexex4、则f(0)3、f(0)2、所以所求切线方程为3xy20.(2)由f(1)0、得a0、则f(x)0对任意的x0恒成立可转化为对任意的x0恒成立设函数F(x)(x0)、则F(x).当0x1时、F(x)0；当x1时、F(x)0、所以函数F(x)在(0,1)上单调递增、在(1、)上单调递减、所以F(x)maxF(1).于是、解得a.故实数a的取值范围是.考点2分类讨论法解决不等式恒成立问题遇到f(x)g(x)型的不等式恒成立问题时、一般采用作差法、构造“左减右”的函数h(x)f(x)g(x)或“右减左”的函数u(x)g(x)f(x)、进而只需满足h(x)min0或u(x)max0、将比较法的思想融入函数中、转化为求解函数最值的问题、适用范围较广、但是往往需要对参数进行分类讨论(20xx合肥六校联考)已知函数f(x)(xa1)ex、g(x)x2ax、其中a为常数(1)当a2时、求函数f(x)在点(0、f(0)处的切线方程；(2)若对任意的x0、)、不等式f(x)g(x)恒成立、求实数a的取值范围解(1)因为a2、所以f(x)(x1)ex、所以f(0)1、f(x)(x2)ex、所以f(0)2、所以所求切线方程为2xy10.(2)令h(x)f(x)g(x)、由题意得h(x)min0在x0、)上恒成立、因为h(x)(xa1)exx2ax、所以h(x)(xa)(ex1)若a0、则当x0、)时、h(x)0、所以函数h(x)在0、)上单调递增、所以h(x)minh(0)a1、则a10、得a1.若a0、则当x0、a)时、h(x)0；当x(a、)时、h(x)0、所以函数h(x)在0、a)上单调递减、在(a、)上单调递增、所以h(x)minh(a)、又因为h(a)h(0)a10、所以不合题意综上、实数a的取值范围为1、)对于不适合分离参数的不等式、常常将参数看作常数直接构造函数、常用分类讨论法、利用导数研究单调性、最值、从而得出参数范围设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时、f(x)ax1、求实数a的取值范围解(1)f(x)(12xx2)ex、令f(x)0、得x1、当x(、1)时、f(x)0；当x(1、1)时、f(x)0；当x(1、)时、f(x)0.所以f(x)在(、1)、(1、)上单调递减、在(1、1)上单调递增(2)令g(x)f(x)ax1(1x2)ex(ax1)、令x0、可得g(0)0.g(x)(1x22x)exa、令h(x)(1x22x)exa、则h(x)(x24x1)ex、当x0时、h(x)0、h(x)在0、)上单调递减、故h(x)h(0)1a、即g(x)1a、要使f(x)ax10在x0时恒成立、需要1a0、即a1、此时g(x)g(0)0、故a1.综上所述、实数a的取值范围是1、)考点3等价转化法解决能成立问题存在xa、b、f(x)a成立f(x)maxa.存在xa、b、f(x)a成立f(x)mina.存在x1a、b、对任意x2a、b、f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)min.已知函数f(x)3ln xx2x、g(x)3xa.(1)若f(x)与g(x)的图像相切、求a的值；(2)若存在x00、使f(x0)g(x0)成立、求参数a的取值范围解(1)由题意得、f(x)x1、g(x)3、设切点为(x0、f(x0)、则kf(x0)x013、解得x01或x03(舍)、所以切点为、代入g(x)3xa、得a.(2)设h(x)3ln xx22x.存在x00、使f(x0)g(x0)成立、等价于存在x0、使h(x)3ln xx22xa成立、等价于ah(x)max(x0)因为h(x)x2、令得0x1；令得x1.所以函数h(x)3ln xx22x在(0,1)上单调递增、在(1、)上单调递减、所以h(x)maxh(1)、即a、因此参数a的取值范围为.(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质、深刻挖掘内含条件、进行等价转化(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法、解题过程中尽量采用分离参数的方法、转化为求函数的最值问题已知函数f(x)axex(aR)、g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)存在x0(0、)、使不等式f(x)g(x)ex成立、求a的取值范围解(1)因为f(x)aex、xR.当a0时、f(x)0、f(x)在R上单调递减；当a0时、令f(x)0得xln a.由f(x)0得xln a、所以f(x)的单调递增区间为(、ln a)；由f(x)0得xln a、所以f(x)的单调递减区间为(ln a、)(2)因为存在x0(0