2018-2019学年常州市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省常州市高一下学期期末数学试题一、单选题1掷一枚质地均匀的硬币，连续出现5次正面向上，则第6次出现反面向上的概率（ ）A大于B等于C小于D以上都有可能【答案】B【解析】根据随机事件的定义选择【详解】掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上是随机事件，每次发生的概率都是故选：B.【点睛】本题考查随机事件的概率，掌握随机事件的概率是解题关键2某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：4，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为（ ）A45B15C12D27【答案】A【解析】分层抽样抽取的样本数量是按比例抽取的【详解】设样本容量为，则，解得故选：A.【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题3在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为1的直线不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】求出直线方程后再求出它与坐标轴的交点即可确定【详解】由题意直线方程为，即，它与坐标轴的交点为，因此直线不过第三象限故选：C.【点睛】本题考查直线方程，属于基础题4直线x+y10的倾斜角为（ ）ABCD【答案】C【解析】求出斜率，由斜率得倾斜角【详解】直线x+y10的斜率是，倾斜角为故选：C.【点睛】本题考查直线的倾斜角，掌握倾斜角与斜率的关系是解题关键5在ABC中，已知sin A：sin B：sinC2：3：4，那么ABC最小内角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】用正弦定理化角为边后，得最小边，即得最小角，用余弦定理求解【详解】sin A：sin B：sinC2：3：4，边最小，角最小设，则故选：C.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题6已知圆锥的高和底面半径都为1，则其侧面积为（ ）ABCD（）【答案】A【解析】根据圆锥的高和底面半径求出母线长，再计算圆锥的侧面积【详解】圆锥的高和底面半径都为1，则母线长为，圆锥的侧面积故选：A【点睛】本题考查了圆锥的侧面面积计算问题，是基础题7已知一个正四棱锥的所有棱长都为1，则此四棱锥的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】求出棱锥的高及底面面积即可求体积【详解】如图正四棱锥中是棱锥的高，由于棱长都是1，故选：C.【点睛】本题考查求棱锥的体积，掌握锥体体积公式是解题关键8平行直线ax+2y30和2x+ay+12a0之间的距离为（ ）AB2C2D【答案】A【解析】由平行线求出参数，再由平行间距离公式求距离【详解】题设两直线平行，时两直线重合，舍去，时，两直线方程为即和，所求距离为故选：A.【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，考查两平行线间的距离，属于基础题9已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面若m，m，则；m，n，则mn；若m，n，则mn；m，m，n，则mn上述说法中，正确的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】由线面、面面间的位置关系判断各选项【详解】由面面垂直的判定定理，正确；中直线都在平面内，可能平行，错误；若m，n，可能平行也可能异面，错误；由线面平行的性质定理知正确，所以正确的命题有2个故选：B.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握空间位置关系以及线面平行垂直的判定与性质定理是解题关键本题考查空间想象能力10如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中，错误的是（ ）AACSBBBC平面SADCSA和SC与平面SBD所成的角相等D异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等【答案】D【解析】对各个命题进行证明：A由线面垂直的性质定理证明，B有线面平行的判定定理证明，C由直线与平面所成角的定义证明，D由异面直线所成角的定义证明【详解】由SD底面ABCD，平面，得，又正方形中，所以平面，平面，A正确；因为，平面，平面，平面，B正确；由SD底面ABCD，知为直线与平面所成角，易得与全等，因此，C正确；由知异面直线AB与SC所成的角是，异面直线CD与SA所成的角是，是锐角，是直角（简单说明：由SD底面ABCD得，又，得平面，从而）D错误故选：D.【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的判定，考查直线与平面所成的角以及异面直线所成的角考查空间想象能力11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若abccosBccosA，则ABC的形状为（ ）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得【详解】abccosBccosA，,，或，或，故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断解题关键是诱导公式的应用12在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为（）A2BCD【答案】B【解析】求得直线l1，直线l2，恒过定点，以及两直线垂直，可得交点P的轨迹，再由直线和圆的位置关系，即可得到所求最大值【详解】解：直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的斜率之积：，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0垂直，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0分别过点M（0，4），N（3，0），直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的交点P在以MN为直径的圆上，即以C（，2）为圆心，半径为的圆上，圆心C到直线4x-3y+10=0的距离为d=2，则点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为d+r=+2=故选：B【点睛】本题考查直线恒过定点的求法和两直线垂直的条件，以及点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题二、填空题13已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是_.【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为，故答案应填：0.1【考点】方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a8b，A2B，则sinB_【答案】【解析】用正弦定理化边为角，用二倍角公式变形后可求得，再得【详解】因为5a8b，A2B，所以，由得，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查正弦定理，考查二倍角公式与同角间的三角函数关系，属于基础题15已知直线l过点（1，0）且与直线x+y10垂直，l与圆C：（x6）2+（y）212交于A，B两点，则弦AB的长为_【答案】6【解析】由垂直求出直线方程，接着求得圆心到直线的距离，由垂径定理求得弦长【详解】由题意设直线方程为，又直线过点，直线方程为，圆心到直线距离为，圆半径为，故答案为：6.【点睛】本题考查圆的弦长，考查由两直线垂直求直线方程求弦长时用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦16在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：yx+m和圆C：（x2）2+（y1）24若直线l上存在点P，使，则实数m的取值范围是_【答案】m【解析】设，用坐标运算表示出，得一个一元二次不等式有解，从而可求得参数的取值范围【详解】圆C：（x2）2+（y1）24的圆心C（2，1），设P（x，x+m），0即为（x，xm）（2x，1xm）0，可得x22xxm+（x+m）20，化为2x2（32m）x+m2m0，由题意可得0，即（32m）28（m2m）0，化为4m2+4m90，解得m故答案为：m【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，考查不等式有解问题，考查圆的标准方程，解题关键在于问题的转化三、解答题17如图，在平面四边形ABCD中，BC3，CD5，DA，A，DBA（1）求BD的长：（2）求BCD的面积【答案】（1）7；（2）【解析】（1）由正弦定理可求得；（2）由余弦定理可求得，从而得，再由面积公式计算面积【详解】（1）在ABD中，DA，A，DBA可得，即有BD7；（2）在BCD中，BC3，DC5，BD7，可得cosC，sinC，可得BCD的面积为SBCDCsinC35【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，解题时要根据条件选取恰当的公式本题属于中档题18箱子中有形状、大小都相同的3只红球，2只白球，从中一次摸出2只球（1）求摸到的2只球颜色不同的概率：（2）求摸到的2只球中至少有1只红球的概率【答案】（1）；（2）【解析】（1）从5只球中摸2只球，方法数为，再计算出2 只球颜色不同的方法数后可求得概率；（2）至少1 只红球，就是一红一白或2只都是红的，由分步计数原理可求得方法数，从而得概率【详解】（1）箱子中有形状、大小都相同的3只红球，2只白球，从中一次摸出2只球基本事件总数n10，摸到的2只球颜色不同包含的基本事件个数m6，摸到的2只球颜色不同的概率p（2）摸到的2只球中至少有1只红球包含的基本事件个数m9，摸到的2只球中至少有1只红球的概率p【点睛】本题考查古典概型，属于基础题19如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，F为CE的中点，且AEBE（1）求证：AE平面BFD：（2）求证：BFAE【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】以E为原点，EB为x轴，EA为y轴，过E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，（1）设出的长表示出各点坐标，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得证线面平行；（2）直接由方向向量垂直得两直线垂直【详解】（1）以E为原点，EB为x轴，EA为y轴，过E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由于平面平面，是这两个平面的交线，都在平面上，所以平面，平面，所以轴，轴，设BEa，AEb，ADc，则A（0，b，0），E（0，0，0），F（），B（a，0，0），D（0，b，c），（0，b，0），（，0，），（a，b，c），设平面BDF的法向量（x，y，z），则，取xc，得（c，0，a），AE平面BDE，0，AE平面BFD（2）（0，b，0），（，0，），0，BFAE【点睛】本题考查用空间向量法证明线面平行和线线垂直考查运算求解能力20今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分现将打分的情况分成以下几组：第一组0，2），第二组2，4），第三组4，6），第四组6，8），第五组8，10，得到频率分布直方图如图所示已知第二组的频数为10（1）求图中实数a，b的值；（2）求所打分值在6，10的客户人数；（3）总公司规定，若4S店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S店是否需要停业整顿【答案】（1）a0.05，b0.15；（2）65；（3）4S店需要停业整顿【解析】（1）由频数10得频率，频率除以组距可得，由所有频率和为1可求得；（2）求得分值在6，10的频率，然后可得频数；（3）由频率分布直方图计算均值可得【详解】（1）由题意得：，解得a0.05，b0.15（2）所打分值在6，10的频率为（0.175+0.15）20.65，所打分值在6，10的客户人数为：0.6510065（3）由题意得该4S店平均分为：10.0252+30.052+50.12+70.1752+90.1526.5，6.57，该4S店需要停业整顿【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数列期望，属于基础题21在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：（1）顶点的坐标；（2）求外接圆的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）BH所在直线方程为，且BH是AC边上的高，故根据两直线垂直的关系，可以设AC所在直线的方程为，将点A代入，可解得m，再与CD方程联立，即可得C点坐标；（2）设点B和点D坐标，点B在BH上，点D在CD上，且直线CD和直线BH方程已知，将点坐标代入，可解得B点坐标，设外接圆的方程为将A,B,C三点代入，解出D,E,F，即得外接圆方程。【详解】（1），的方程为，不妨设直线的方程为，将代入得，解得，直线的方程为，联立直线，的方程，即，解得点的坐标为；（2）设，则，点在上，点在上，解得，设外接圆的方程为，解得，外接圆的方程为【点睛】本题通过求三角形的顶点考查两直线的位置关系，和求圆的一般方程，难度不大，有一定的综合性。22在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy+40和圆O：x2+y24，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N（1）若PMPN，求点P坐标；（2）若圆O上存在点A，B，使得APB60，求点P的横坐标的取值范围；（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值【答案】（1）P（2，2）；（2）4，0；（3）3【解析】（1）由PMPN，则四边形PMON为正方形，可得到圆心距离，由此可求得点坐标；（2）设P（x，x+4），过P作圆的切线PC，PD，若圆O上存在点A，B，使得APB60