2017届高中数学课时达标训练二十一空间向量在立体几何中的应用习题课新人教A版选修.docx

课时达标训练（二十一）空间向量在立体几何中的应用（习题课）1如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，ABC是斜边AB的等腰直角三角形，B1A1BA，B1A1BA.(1)求证：C1A1平面ABB1A1；(2)求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值2在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF，G为FC的中点(1)证明：AF平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值3在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1AB，点E是棱AB上一点，且.(1)证明：D1EA1D；(2)是否存在，使得二面角D1ECD的平面角为？并说明理由4如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ABBC2AD4，点E，F，G分别是AB，CD，BC的中点，沿EF将四边形ADFE折起，使得平面ADFEBCFE，形成如图所示的多面体ABCDFE.(1)求证：BDEG；(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值5在边长为3的正ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足AECFCP1(如图1)将AEF沿EF折起到A1EF的位置，连接A1B，A1P(如图2)，使平面A1EF平面BPE.(1)求证：A1E平面BEP；(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，BAC60，A1A4，ABAC2.F为棱AA1上的动点，D是BC1上的点且BDDC1.(1)若DF平面ABC，求的值；(2)当的值为多少时，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为？答 案1. 解：易知CA，CB，CC1两两垂直，且CACBCC11，故以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，1)，A1， C1A1AA1，C1A1AB.又AA1ABA，C1A1平面ABB1A1.(2)设平面AA1C1的法向量为n(x，y，z)，令x1，则n(1，1，1)又(0，1，1)，设直线BC1与平面AA1C1所成的角为，2. 解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG.(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，M，Q，F，E共面作FPMQ于P，ENMQ于N，则ENFP且ENFP.连接EM，FQ，AEDEBFCF，ADBC，ADEBCF，EMFQ，RtENMRtFPQ，MNPQ1.BFCF，Q为BC中点，BCFQ.又BCMQ，FQMQQ，BC平面MQFE，PFBC，PF平面ABCD.以P为原点，PM所在直线为x轴，PF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(3，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，设F(0，0，h)(h0)，则(3，1，h)，(1，1，h)AFCF，0，解得h2.则(3，1，2)，(1，1，2)，设平面ABF的法向量为n1(x1，y1，z1)，令z11，得x10，y12，n1(0，2，1)同理得平面 BCF的一个法向量为n2(2，0，1)|cosn1，n2|，平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.3. 解：(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示不妨设ADAA11，AB2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)因为，所以E，于是，(1，0，1)，所以(1，0，1)1010，故D1EA1D.(2)因为DD1平面ABCD，所以平面DEC的一个法向量为n(0，0，1)，设平面D1EC的法向量为n1(x，y，z)，又，(0，2，1)，整理得取y1，则n1.因为二面角D1ECD的平面角为，所以，即，解得1.故存在1，使得二面角D1ECD的平面角为.4. 解：(1)ADBC，BC2AD4，E，F分别是AB，CD的中点，ADEF，EFBC，EF3.ABC90，EFAE，EFBE，EF平面AEB.平面ADFE平面BCFE，AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，(2，2，0)，(2，2，2)22220，BDEG.(2)由已知，得(2，0，0)是平面DEF的一个法向量设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.5. 解：(1)在图1中，取BE的中点D，连接DF.AECF1，AFAD2，而A60，ADF是正三角形，又AEDE1，EFAD.在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的平面角由题设条件知，此二面角为直二面角，即A1EBE，A1E平面BEF，即A1E平面BEP.(2)分别以EB，EF，EA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0，0)，P(1，0)，则(0，0，1)，(2，0，1)，(1，0)设平面A1BP的法向量为n(x，y，z)，由n平面A1BP知，n，n，即令x，得y1，z2，则n(，1，2)，直线A1E与平面A1BP所成的角为30.6. 解：(1)如图，以A为原点，BC边上的高所在直线为x轴，平行于BC的直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，A1A4，A1(0，0，4)，BAC60，ABAC2，B(，1，0)，C(，1，0)，C1(，1，4)，D是BC