2019-2020学年荆州市沙市中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省荆州市沙市中学高一上学期期末数学试题一、单选题1复数的虚部是（ ）ABCD【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可详解：复数z=i，z的虚部是1故选D点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.2抛物线的焦点坐标为( )A(,0)B(0,)C(,0)D(0,)【答案】D【解析】根据抛物线标准方程的焦点坐标为知，的焦点坐标为.故选D.3成立的一个充分非必要条件是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，找到解集的一个真子集即可求解.【详解】由解得或，所以成立的一个充分非必要条件是的真子集，因为，所以成立的一个充分非必要条件是，故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，真子集的概念，属于中档题.4党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意知，基本事件有6个，其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有2个基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.【详解】由题意，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；诚信、友善的卡片，共有6个，其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚信、友善的卡片，共有2个，所以由古典概型概率公式知：，故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型概率的求法，属于中档题.5已知数列满足，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据递推关系式，写出数列的前几项，可知数列具有周期性，利用周期性即可求出.【详解】，且，数列的周期，故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，数列的周期性，属于中档题.6已知等差数列满足，则该数列中一定为零的项为（ ）ABCD【答案】B【解析】由条件可得,进而得,从而得解.【详解】,故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.7张丘建算经有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（ ）斤？ABCD【答案】B【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案【详解】设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得,即，解得，每一等人比下一等人多得金故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于容易题8直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（ ）A1BC1或D【答案】A【解析】若直线平行,可得,求解即可【详解】解：直线和直线平行,解得或,当时,两直线重合故选：A【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若为,为,当时,9记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为，“98，99，100，102，”这组数据的方差为，若，则为（ ）A97B101C101或98.5D103【答案】B【解析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案【详解】因为一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，因此若,则“1，2，3，4，5”这组数据与“98，99，100，102，”这组数据相差同一个常数，因此相差的常数为97，故为，故选：B【点睛】本题主要考查了方差的概念，一组数据都加上同一个非零常数，方差不变，属于中档题.10空间四点共面，则（ ）ABC1D4【答案】A【解析】由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数，使得，解出即可【详解】，四点A，B，C，D共面，存在实数，使得，解得故选：A【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题11平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ）ABCD【答案】C【解析】由平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出.【详解】如图：由,故选：C【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12椭圆与双曲线共焦点，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.【详解】不妨设P为第一象限的点，在椭圆中： ,在双曲线中: ,联立解得, ,在中由余弦定理得：即即椭圆的离心率，双曲线的离心率，故选：B【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题二、填空题13已知数列的前项和则_【答案】【解析】根据数列中与的关系，即可求出通项公式.【详解】当时，当时，时，也适合，综上，（），故答案为：【点睛】本题主要考查了数列前n项和与通项间的关系，属于容易题.14对任意的实数，直线被圆截得的最短弦长为_【答案】【解析】由直线可知，直线过定点，可判断点在圆内，当圆心C与M连线与直线垂直时，直线截得弦长最短，利用半弦长、半径、弦心距构成直角三角形即可求解.【详解】由直线可得，故直线过定点，由圆C： ，可得：，圆心，半径,由圆的性质知，当直线与垂直时，直线所截得弦长最短，设圆心到直线的距离为，弦长为，因为，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查了过定点的直线系，圆的方程，圆的几何性质，属于中档题.15若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹方程是_（结果要求化简）【答案】【解析】设复数z对应的点为Z，由，知点Z到点A（0，1）、点B（0，-1）的距离和大于|AB|，由此可得结论，求出方程即可【详解】设复数z对应的点为Z，则表示点Z到点A（0，1）的距离，表示点Z到点B的距离，又|AB|=2，由知点Z到点A、B的距离和大于|AB|，在复平面内对应点的轨迹为椭圆，所以a=4，c=1，则，椭圆的焦点就是A，B，所以z在复平面内对应的点的轨迹方程是：，故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于中档题16分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆上一点，且，则的内切圆半径等于_【答案】【解析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解.【详解】因为分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆上一点，所以，则由余弦定理得，即，所以，故的面积，设的内切圆半径为，则，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.三、解答题17某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图（1）求每个学生的成绩被抽中的概率；（2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数；（3）估计这次地理考试全年级80分以上的人数.【答案】（1）（2）68 66.67（3）120【解析】（1）根据共有800个学生，抽取40个学生的成绩可知，每个学生成绩被抽取的机会均等，即可计算（2）由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在80，90）的学生频率，再估计这次月考数学成绩的平均分和中位数（3）由频率直方图可知成绩80分以上的频率，即可计算全年级80分以上的人数.【详解】（1）根据共有800个学生，抽取40个学生的成绩，每个学生成绩被抽取的机会均等，故（2）由频率分布直方图得成绩在区间80，90）内的频率为：1-（0.005+0.015+0.045+0.020+0.005）10=0.1，所以平均分=0.0545+0.1555+0.4565+0.2075+0.1085+0.0595=68由频率分布直方图得：40，60）的频率为：（0.005+0.015）10=0.2，60，70）的频率为：0.04510=0.45，估计这40名学生成绩的中位数为：（3）由（1）及频率分布直方图可知，学生成绩80分以上的频率为：0.1+0.05=0.15，故地理考试全年级80分以上的人数为人.【点睛】本题主要考查了频数、平均数、中位数的估计，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题18已知等差数列满足前项和为.（1）求（2）记，求数列的前9项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的通项公式及等差中项，求和公式计算即可（2）根据，转化为用来表示即可.【详解】（1），即，（2）由（1）知，【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差中项，前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题.19已知圆：（1）求过点且与圆相切的直线方程.（2）若为圆上的任意一点，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】（1）设过点的直线l与圆：相切，当直线斜率不存在时，显然成立，当直线斜率存在时设直线l为，利用圆心到直线距离等半径即可求解（2）可以看作圆上动点与定点距离的平方，利用圆的性质即可求解.【详解】（1）圆：的圆心为，半径，当经过点的直线l与x轴垂直时，方程为x=2，恰好到圆心C到直线的距离等于半径，此时直线l与圆相切，符合题意；当经过点的直线l与x轴不垂直时, 设直线l为,即，由圆C到直线的距离d=r，得，解得，此时直线的方程为，化简得，综上圆的切线方程为或，（2）可以看作圆上动点与定点距离的平方，设圆心与点的距离为，则，所以圆上动点与定点距离的最大值为，最小值为，故的最大值为，最小值为，即的取值范围.【点睛】本题主要考查了圆的切线方程，圆的标准方程，点到直线的距离，两点间距离公式，属于中档题.20 在四棱锥中，底面为菱形，,且平面平面，为中点.（1）求证；（2）求二面角的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）取中点E，连接,，根据题目所给的条件，利用勾股定理判定直线垂直即可（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可.【详解】取中点E，连接,平面平面, 是交线，平面，在Rt中，由知，在中，由余弦定理可得：，故有,（2）连接，在中，由余弦定理得：，所以,所以，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则,设平面与平面的法向量分别为，则, 即，令，则，由, 得，令，则，设二面角的大小为，则，故二面角的正弦值的大小为.【点睛】本题主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质，二面角的求法，向量的运算，属于中档题.21已知双曲线的焦点在轴上，虚轴长为4，且与双曲线有相同渐近线.（1）求双曲线的方程.（2）过点的直线与双曲线的异支相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）根据有相同的渐近线可设所求双曲线为，再利用焦点位置及虚轴长即可求出双曲线方程（2）根据题意知直线不能为x轴，设直线方程为，联立双曲线方程，根据直线与双曲线的位置关系及三角形面积公式可求出m,写出直线方程即可.【详解】（1）与双曲线有相同渐近线，设所求双曲线为，即，焦点在轴上，虚轴长为4，解得，故双曲线的方程为（2）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，联立,消元得：，直线与双曲线的异支相交于两点，设，则，且，即，,化简得：，令,则，得：或，由，即知，不符合题意，即解得：，此时满足，,故所求直线方程为或.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，标准方程，直线与双曲线的位置关系，三角形的面积公式，考查了运算能力，属于难题.22已知椭圆:经过点且离心率为.（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线，使椭圆上存在不同两点关于该直线对称？若存在，求的取值范围；若不