第37课 平面向量综合应用.doc

第37课 平面向量综合应用一、点击小题1平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(1, 3)， 若点C满足，其中a，bR且ab1，则点C的轨迹方程为x2y5=02在边长为的等边ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是解：因为D在BC上，所以设BDx，0x1，则l所以(+)，因为0x1，所以，即的取值范围数3 若a、b、c均为单位向量，且ab0，则|a+bc|的最小值为 解：|a+bc|2a2+b2+c2+2ab2bc2ca32(a+b)c，因为ab0，且|a|b|c|1，所以|a+c|，所以(a+b)c|a+b|c|coscos，所以|a+bc|232cos，所以当cos1时，|a+bc|2最小为32(1)2，所以|a+bc|min14已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EF/BC，实数x，y满足0，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，则l2l3取最大值时，2x+y的值为_.解：由题意知S1SS2+S3，l2l3，当且仅当S2S3时取等号,此时点P在EF的中点，所以0，由向量加法的四边形法则可得，所以0，即0，又0，所以xy，所以x+2y5在RtABC中，C90，AC4，BC2，D是BC的中点，那么 _；若E是AB的中点，P是ABC（包括边界）内任一点则的取值范围是_2；9，9解：，将直角三角形放入直角坐标系中，则，设P(x，y)，则，令，则，做直线，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，但此时z最小，当直线 经过点B时，直线的截距最小，此时z最大即z的最下值为，最大值为，即的取值范围是9，9二、例题精讲例1已知向量a=(coslq， cos(10l)q)，b(sin(10l)q，sinlq)，l、qR（1）求|a|2+|b|2的值；（2）若ab ，求q，（3），求证：ab解：（1）|a|=，| b |=，|a|2+|b|22（2）ab，coslq sin(10l)q+ cos(10l)q sinlq 0 sin(10l)q+lq)=0，sin10q0，10qk，kZ，q，kZ （3），coslqsinlq cos(10l)qsin(10l)q =cossincos()sin() =cossin-sincos=0， ab 例2已知平面向量a(，1)，b(，)（1）若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；（2） 根据（1）的结论，确定kf(t)的单调区间解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t（2）由（1）知：kf(t) t3t k f (t) t2，令k 0得1t1；令k 0得t1或t1故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是(，1)和(1，)例3已知向量()，其中O为坐标原点（1）若，且，求；（2）若|2|对任意实数a，b都成立，求实数l的取值范围解：（1）若，由得0，故sin(b)，（2）若|2|对任意实数a，b都成立，则(lcosa+sinb)2+(lsinacosb)24对任意实数a，b都成立，即l2+1+2lsin(ba)4对任意实数a，b都成立，或解得l3或l3例4已知向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mn1.（1）求向量n ； （2）若向量n与q(1,0)共线，向量p(2cos2，cosA)，其中A、C为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求|n+p|的取值范围解：（1）设n(x，y)由mn1，得x+y1 又向量n与向量m的夹角为，故x2+y21 由、解得或，n(1，0)或n(0，1)（2）向量n与q(1,0)共线，知n(1，0)； 由A、B、C依次成等差数列，知2BA+C，又A+B+Cp，故B，A+C，0An+p(1+22cos2，cosA)(c