老化更新理论

老化更新理论在泊松衰变过程中，设有时间t的幂律分布，其长期近似于 ，其中 （36）需要注意的是分布在方程（1）意味着发散平均等待时间，。这种更新过程是无标度的，因为粗略地讲，在统计学上占主导地位的等待时间总是对着观测时间的顺序。因此，他们的突出的特点是发挥最重要的长时间尺度：同时在（恒定速率为），泊松分布更新过程的计数事件数，。1长时间尺度的限一些作者已经研究了老化的更新过程如上定义及其长期近似。在这里，演示的基本概念扩展限度，聚焦于计算的新概率密度函数。 设是事件数为n的随机事件在发生时间为t的概率，其在拉普拉斯空间内的结果形式是 （37）设为时刻到时刻事件发生数，则。其相对应的在双拉普拉斯空间内的概率为（其中）是： ， （38） 其中 （39） 我们看一下等待时间的泊松分布，所以有 因此，。假设等待时间是t分布，也就是说，它们的概率密度函数的形式为（36）.等待时间的类型的为发散平均值，即使在长时间尺度的限度内，其在更新过程中具有严格的结果。看到这一点，引进比例常数c0和重新调整的时间为。然后，在拉普拉斯空间计算出等待时间概率密度分布的近似。 （40）如果我们据此调整了计数过程，在这儿，这意味着，我们可以采用来达到更新过程中的长时间的限度版。在式（37）中的概率分布为 （41)需要注意的是在这些方程中，整数n是一个连续可变的数，其特征在于概率密度函数。尽管如此，简单起见，我们将继续引用这个变量作为事件的数量。为求记法简单起见，我们在下文中设置，紧记在重新调整的时间变量t和在单位是可测的，这个定义的单位的尺度与微观时间单独的等待时间相比，要远远大于。概率密度的演变是通过方程（41）中，拉普拉斯反演得到真正的时间t，演变的步骤是 （42a） 其中 （42b） 值得注意的是，即使是重新调整的过程后，仍然是一个平凡的随机变量。当1时，代表着有限的平均等待时间。在这种情况下，在方程（40）中的拉普拉斯变换是一个矩母函数。因此，我们可确定。一个在这样的尺度限下的过程上改变了已确定性的计数过程公式（41），那么意味着，并且公式（42）变成了狄拉克分布，即。相比之下，对于任何0 0时，恰好=0的概率是无限小的。显然，对于长时间尺度的限度计数过程，第一个独立的等待时间的长度是可以被忽略不计的，观察者是在过程开始之后才开始计数事件的。计算计数的事件数的概率密度函数的步骤与老化测试0是类似的。按照长时间尺度的限度规定，公式（38）和（39）变成了 （43） 我们定义 （44） 和 （45）方式（43）表明了老化时间的明显的影响在事件数的概率密度函数的的形状上。最值得注意的是，t及这与 成正比的事件表明着事件计数=0的概率是非零的。这意味着我们在的时间间隔内可能没有事件观察。只有限制1才会使我们回到那个简单的确定性，并且因此无时效计数的处理有 。老化的概率密度函数，在方程（41-450）的拉普拉斯反演有 （46）其中 （47） （48）在这，星号表示相对于时间t的拉普拉斯卷积。2 老化概率分布 2.1轻度老化概率密度函数首先，注意在方程（46-48）中，对概率密度函数中的向前反复出现，是构成它们整体不可缺少的一部分。并且被理解成为分布。例如，在极限0，我们应该恢复概率密度函数的非时效方法有。为了证实这一点，在拉普拉斯空间中让极限。我们会发现。因此，我们有，暗示着和。再次，我们发现从观察者是在重新调整的更新过程中开始计数，即是活动开始瞬间。我们超越这个极限的近似，研究一下粗略的年龄系统的特性（）。我们有，通过使用Tauberian定理有 (49)和 (50) 在这，就拉普拉斯反演而言，一阶修改的被规定。对于分析讨论，我们得到的有 （51）通过Fox H函数，方程（51）可变成 （52） 2.2 高度老化概率密度函数相反，我们让近似，则。这就产生了领先阶行为精确老化测量，有 （53a）和 （53b）上述拉普拉斯反演可以与未老化概率密度函数（42）结合有 （54）或用Fox H函数有 （55）3 老化总体平均从公式（41）中的非老化，在更新过程的开始事件计数n时可以推导出任何函数f的预期时间行为： （56）我们在下面给出具体的例子。首先，我们和分别代替n和p并代入公式（46-55）：（57）其中： （58）这些等式关系采取的总体平均观察时间段在代表在上到各自的数。有趣的是，由于修改老化而有关的统计平均值是可计算的，即 。作为一个例子，我们考虑的第阶更新数时刻，我们发现 （59）和 （60） 利用不完全函数，再由代换的卷积积分表达式（57）。与时间无关的系数是 ， ， （61）我们研究的更新过程中，平均的连续更新之间的等待的时间是无限的。这样一个过程，事件的随机性是与最长的时间尺度有关。这个过程有非平凡的性质，其中的一个是老化：在我们开始计数时，统计更新内的有限观察时间数计算，强烈的依赖于特定的瞬间。显着的老化效应是越来越大，离散概率期间不能指望一个单一事件观察。同时，更新的非零数连续分布的是可以被转化的。我们讨论的解析表达式是这个分布对