北师大版必修2 第二章 2.3 第1课时 直线与圆的位置关系 课件（45张）.pptx

第1课时直线与圆的位置关系 第二章2 3直线与圆 圆与圆的位置关系 学习目标1 掌握直线与圆的三种位置关系 相交 相切 相离 2 会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系 3 会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点直线ax by c 0与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系及判断 思考如何判断直线x y 2 0与圆x2 y2 1的位置关系 答案有两种方法 方法一 几何法 故直线与圆相离 方法二 代数法 该方程组无解 故直线与圆相离 梳理直线ax by c 0与圆 x a 2 y b 2 r2位置关系的判定 d r d r d r 0 0 0 2 1 0 几何法 设圆心到直线的距离为 思考辨析判断正误 1 若直线与圆有公共点 则直线与圆相交 2 如果直线与圆组成的方程组有解 则直线和圆相交或相切 3 若圆心到直线的距离大于半径 则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解 题型探究 例1求实数m的取值范围 使直线x my 3 0与圆x2 y2 6x 5 0分别满足 相交 相切 相离 类型一直线与圆的位置关系的判断 解答 圆的半径r 2 解圆的方程化为标准形式为 x 3 2 y2 4 反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法 1 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 2 代数法 根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 3 直线系法 若直线恒过定点 可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系 但有一定的局限性 必须是过定点的直线系 跟踪训练1对任意的实数k 直线y kx 1与圆x2 y2 2的位置关系一定是a 相离b 相切c 相交但直线不过圆心d 相交且直线过圆心 答案 解析 解析直线y kx 1恒过定点 0 1 由定点 0 1 在圆x2 y2 2内 则直线y kx 1与圆x2 y2 2一定相交 又直线y kx 1的斜率存在 则该直线必不过圆心 0 0 故选c 类型二切线问题 例2过点a 4 3 作圆 x 3 2 y 1 2 1的切线 求此切线方程 解答 解因为 4 3 2 3 1 2 17 1 所以点a在圆外 若所求直线的斜率存在 设切线斜率为k 则切线方程为y 3 k x 4 即kx y 4k 3 0 设圆心为c 因为圆心c 3 1 到切线的距离等于半径1 即15x 8y 36 0 若直线斜率不存在 圆心c 3 1 到直线x 4的距离为1 这时直线x 4与圆相切 所以另一条切线方程为x 4 综上 所求切线方程为15x 8y 36 0或x 4 引申探究若本例的条件不变 求其切线长 解答 解因为圆心c的坐标为 3 1 设切点为b 则 abc为直角三角形 又 bc r 1 所以切线长为4 反思与感悟求过某一点的圆的切线方程 首先判定点与圆的位置关系 以确定切线的数目 1 求过圆上一点p x0 y0 的圆的切线方程 如果斜率存在且不为0 先求切点与圆心连线的斜率k 则由垂直关系 切线斜率为 由点斜式方程可求得切线方程 如果k 0或斜率不存在 则由图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 求圆外一点p x0 y0 的圆的切线时 常用几何方法求解 设切线方程为y y0 k x x0 即kx y kx0 y0 0 由圆心到直线的距离等于半径 可求得k 进而切线方程即可求出 但要注意 若求出的k值只有一个时 则另一条切线的斜率一定不存在 可由数形结合求出 跟踪训练2若点p 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 则该圆在点p处的切线方程为 x 2y 5 0 解析点p 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 可得此圆的方程为x2 y2 5 所以该圆在点p处的切线方程为1 x 2 y 5 即x 2y 5 0 答案 解析 类型三直线与圆相交问题 命题角度1求弦长问题例3过圆x2 y2 8内的一点p 1 2 作直线l交圆于a b两点 若直线l的倾斜角为135 则弦ab的长为 解析 答案 解析方法一 交点法 由题意知 直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 方法二 弦长公式 由题意知 直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 消去y 得2x2 2x 7 0 设a x1 y1 b x2 y2 方法三 几何法 由题意知直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法 1 交点法 将直线方程与圆的方程联立 求出交点a b的坐标 根据两点间的距离公式 ab 求解 跟踪训练3已知直线l kx y k 2 0与圆c x2 y2 8 1 证明 直线l与圆相交 证明 证明 l kx y k 2 0 直线l可化为y 2 k x 1 直线l经过定点 1 2 1 2 22 8 1 2 在圆c内 直线l与圆相交 2 当直线l被圆截得的弦长最短时 求直线l的方程 并求出弦长 解答 解由 1 知 直线l过定点p 1 2 又圆c x2 y2 8的圆心为原点o 则与op垂直的直线截得的弦长最短 kop 2 即x 2y 5 0 设直线l与圆交于a b两点 命题角度2已知弦长求方程例4直线l经过点p 5 5 且和圆c x2 y2 25相交于a b两点 截得的弦长为4 求直线l的方程 解答 解方法一若直线l的斜率不存在 则l x 5与圆c相切 不合题意 直线l的斜率存在 设其方程为y 5 k x 5 即kx y 5 1 k 0 如图所示 oh 是圆心到直线l的距离 oa 是圆的半径 ah 是弦长 ab 的一半 在rt aho中 oa 5 直线l的方程为x 2y 5 0或2x y 5 0 方法二若直线l的斜率不存在 则l x 5与圆c相切 不合题意 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 5 k x 5 且与圆相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 得 k2 1 x2 10k 1 k x 25k k 2 0 10k 1 k 2 4 k2 1 25k k 2 0 解得k 0 由斜率公式 得y1 y2 k x1 x2 两边平方 整理得2k2 5k 2 0 故直线l的方程为x 2y 5 0或2x y 5 0 反思与感悟设直线方程时 注意别遗漏了斜率不存在的情况 应先验证斜率不存在时 是否符合题意 跟踪训练4已知圆c与y轴相切 圆心在直线x 3y 0上 且在直线y x上截得的弦长为2 求此圆的方程 解答 解 圆心在直线x 3y 0上 故可设其圆心为 3b b b 0 由圆c与y轴相切可知 r 3 b b 1 故所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 9或 x 3 2 y 1 2 9 达标检测 答案 1 直线y x 1与圆x2 y2 1的位置关系是a 相切b 相交但直线不过圆心c 直线过圆心d 相离 1 2 3 4 5 解析 又直线y x 1不过圆心 0 0 故选b 答案 解析 2 直线3x 4y b与圆x2 y2 2x 2y 1 0相切 则b的值是a 2或12b 2或 12c 2或 12d 2或12 解析圆的方程为x2 y2 2x 2y 1 0 可化为 x 1 2 y 1 2 1 得b 2或12 故选d 1 2 3 4 5 3 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是a 3 1 b 1 3 c 3 1 d 3 1 1 2 3 4 5 答案 解析 解析圆 x a 2 y2 2的圆心c a 0 到直线x y 1 0的距离为d 所以 a 1 2 解得 3 a 1 1 2 3 4 5 解析 答案 5 直线y kx 3与圆 x 1 2 y 2 2 4相交于m n两点 且 mn 2 则k的取值范围是 0 1 2 3 4 5 答案 解析 1 判断直线和圆的位置关系的两种方法中 几何法要结合圆的几何性质进行判断 一般计算较简单 而代数法则是通过解方程组进行消元 计算量大 不如几何法简捷