北师大版必修3 第三章 3 模拟方法——概率的应用 课件（39张）.pptx

3模拟方法 概率的应用 第三章概率 学习目标1 了解几何概型的定义及其特点 2 会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率 3 会用模拟方法估计某些随机事件的概率和不规则图形的面积 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 思考向一个外圆内方的铜钱上投一粒小米 则小米可能的落点有多少个 怎样计算小米落入方孔中的概率 答案小米可能的落点有无限多 故不能用古典概型计算小米落入方孔中的概率 但因为小米的落点个数与铜钱的面积成正比 故可用方孔与铜钱面积之比来计算小米落入方孔中的概率 知识点一几何概型的意义 梳理向平面上有限区域 集合 g内随机地投掷点m 若点m落在子区域g1 g的概率与g1的面积成 而与g的形状 位置无关 即p 点m落在g1 则称这种模型为几何概型 几何概型中的g也可以是的有限区域 相应的概率是 正比 空间中或直线上 体积之比或长度之比 知识点二模拟方法 思考如图 椭圆与圆只有2个公共点a b 一个质点落在圆内任一点的可能性相同 则质点落在椭圆内的概率怎么计算 答案这是一个几何概型 但椭圆的面积公式还没学 故不能用几何概型概率公式直接计算 但可以用模拟方法估计 梳理模拟方法的本质是产生大量指定范围内的随机数来代替反复实验 以频率估计概率 可以来估计某些随机事件发生的概率 模拟方法 1 在几何概型中 事件a的概率与构成事件a的大小和形状均有关系 2 从几何概型看 不可能事件的概率为0 概率为0的事件是不可能事件 3 几何概型与古典概型的区别主要是基本事件个数一个是无限的 一个是有限的 思考辨析判断正误 题型探究 例1判断下列试验中事件a发生的概率模型是古典概型 还是几何概型 1 抛掷两颗骰子 求出现两个 4点 的概率 类型一几何概型的概念 解答 解抛掷两颗骰子 出现的可能结果有6 6 36 种 且它们都是等可能的 因此属于古典概型 2 下图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向b区域时 甲获胜 否则乙获胜 求甲获胜的概率 解答 解游戏中指针指向b区域时有无限多个结果 而且不难发现 指针落在阴影部分 概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量 即与区域面积有关 因此属于几何概型 反思与感悟判断一个概率模型是古典概型还是几何概型的步骤 1 判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等 若不相等 那么这个概率模型既不是古典概型也不是几何概型 2 如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等 再判断试验结果的有限性 当试验结果有有限个时 这个概率模型是古典概型 当试验结果有无限个时 这个概率模型是几何概型 跟踪训练1判断下列试验是否为几何概型 并说明理由 1 某月某日 某个市区降雨的概率 2 设a为圆周上一定点 在圆周上等可能地任取一点与a连接 求弦长超过半径的概率 解不是几何概型 因为它不具有等可能性 解是几何概型 因为它具有无限性与等可能性 解答 类型二几何概型的概率计算 命题角度1与长度有关的几何概型例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达 乘客到达车站的时刻是任意的 求乘客候车时间不超过6分钟的概率 解答 解如图所示 设上辆车于时刻t1到达 而下辆车于时刻t2到达 则线段t1t2的长度为10 设t是线段t1t2上的点 且tt2的长为6 记 等车时间不超过6分钟 为事件a 则事件a发生即当点t3落在线段tt2上 即d t1t2 10 d tt2 6 反思与感悟数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法 利用图形解题的关键 首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域 由题意将已知条件转化为事件a满足的几何区域 然后根据构成这两个区域的几何长度 面积或体积 用几何概型概率公式求出事件a的概率 跟踪训练2某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 整点报时 求他等待的时间不多于10分钟的概率 解答 解记 等待的时间不多于10分钟 为事件a 打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内则事件a发生 由几何概型的概率公式求得 命题角度2与面积有关的几何概型例3如图 在矩形区域abcd的a c两点处各有一个通信基站 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ade和扇形区域cbf 该矩形区域内无其他信号来源 基站工作正常 若在该矩形区域内随机地选一地点 则该地点无信号的概率是 答案 解析 反思与感悟与面积有关的几何概型的概率求法 1 与面积有关的几何概型的概率公式 2 解与面积有关的几何概型问题应注意 根据题意确认所求问题的基本事件是否与面积有关 找出或构造随机事件对应的几何图形 并能求出有关图形的面积 在研究射击 射箭 射门 投掷等问题时 常转化为几何概型 利用面积计算来求其概率 跟踪训练3设点m x y 在 x 1 y 1对应区域内均匀分布 试求满足 1 x y 0的概率 解答 解如图所示 满足 x 1 y 1的点组成一个边长为2的正方形区域abcd 则s正方形abcd 4 方程x y 0的图像是ac所在直线 满足x y 0的点在ac的右上方 即在 acd内 含边界 2 x y 1的概率 解由图可知e 0 1 f 1 0 则x y 1的图像是ef所在的直线 满足x y 1的点在直线ef的左下方 即在五边形abcfe内 不含边界ef 而s五边形abcfe s正方形abcd s edf 解答 命题角度3与体积有关的几何概型例4已知正三棱锥s abc的底面边长为a 高为h 在正三棱锥内取点m 试求点m到底面的距离小于的概率 解答 解如图 分别在sa sb sc上取点a1 b1 c1 使a1 b1 c1分别为sa sb sc的中点 则当点m位于平面abc和平面a1b1c1之间时 设 abc的面积为s 由 abc a1b1c1 且相似比为2 反思与感悟如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量 我们要结合问题的背景 选择好观察角度 准确找出基本事件所占的区域体积及事件a所占的区域体积 其概率的计算公式为 跟踪训练4一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1 称其为 安全飞行 求蜜蜂 安全飞行 的概率 解依题意知 在棱长为3的正方体内任意取一点 这个点到各面的距离均大于1 则满足题意的点的区域为 位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体 由几何概型的概率公式 解答 类型三模拟方法的应用 例5假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去上班的时间在早上7 00 8 00之间 如果把 你父亲在离开家之前能得到报纸 称为事件a 你能设计一种随机模拟的方法近似计算事件a发生的概率吗 解答 解 随机模拟的方法 做两个带有分针的圆盘 标上时间 分别旋转两个圆盘 记下父亲在离家前能得到报纸的次数 反思与感悟解决本类题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率 然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值 解决此类问题时注意两点 一是选取合适的对应图形 二是由几何概型正确计算概率 跟踪训练5在如图所示的正方形中随机撒一把豆子 计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值 解答 解随机撒一把豆子 每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的 落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比 由于落在每个区域的豆子数是可能数出来的 所以就得到了 的近似值 达标检测 解析几何概型与古典概型是两种不同的概型 1 下列关于几何概型的说法错误的是a 几何概型也是古典概型中的一种b 几何概型中事件发生的概率与位置 形状无关c 几何概型中每一个结果的发生具有等可能性d 几何概型在一次试验中出现的结果有无限个 答案 1 2 3 4 解析 5 答案 2 面积为s的 abc d是bc的中点 向 abc内部投一点 那么点落在 abd内的概率为 1 2 3 4 解析 解析向 abc内部投一点的结果有无限个 属于几何概型 设 点落在 abd内 为事件m 5 答案 3 四边形abcd为长方形 ab 2 bc 1 o为ab的中点 在长方形abcd内随机取一点 取到的点到点o的距离大于1的概率为 1 2 3 4 5 解析 解析若以o为圆心 1为半径作圆 则圆与长方形的公共区域内的点满足到点o的距离小于或等于1 解析 4 如图 边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积约为 1 2 3 4 5 答案 答案 解析 1 2 3 4 5 5 在区间 0 3 上任取一个数 则此数不大于2的概率是 1 几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发