北师大版必修一 简单的幂函数(一) 学案.doc

5简单的幂函数(一)学习目标1.理解幂函数的概念(重点)；2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法(重点)；3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题(重、难点)预习教材p4950完成下列问题：知识点一幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量，即yx，这样的函数称为幂函数【预习评价】1任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数ymx是幂函数，m应满足什么条件？提示并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的yx和yx2是幂函数若ymx是幂函数，则必有m12幂函数与指数函数有何区别？提示幂函数与指数函数不同点在于：幂函数形式为yx(r)，其自变量x处于底数位置，常数处于指数位置；而指数函数形式为yax(a0且a1)，其自变量x处于指数位置，常数a处于底数位置，且a须满足大于0而且不等于1知识点二简单的幂函数的图像和性质幂函数yxyx2yx3yxyx1图像定义域rrr0，)(，0)(0，)值域r0，)r0，)y|yr，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)增，x(，0 减增增x(0，)减，x(，0)减定点(1,1)续表 【预习评价】幂函数yx在区间(0，)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，)上为减函数时，满足的条件是什么？提示当0时，yx在(0，)上为增函数；当0时，幂函数在第一象限内单调递增；当0时，幂函数在第一象限内单调递减【训练1】函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不合题意f(x)的解析式为f(x)x3题型二幂值大小的比较问题【例2】比较大小(1)1.5，1.7；(2)(1.2)3，(1.25)3；(3)5.251,5.261解(1)因为函数yx在(0，)上是增函数，且1.51.7，所以1.51.25，所以(1.2)3(1.25)3(3)因为函数yx1在(，0)和(0，)是递减函数，所以5.2515.261规律方法比较幂值大小的三种思路(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小【训练2】把，0，按从小到大的顺序排列_解析01，01，1，1因为yx为增函数所以0答案0典例迁移题型三幂函数的图像与性质【例3】已知幂函数f(x)x的图像过点p，试画出f(x)的图像并指出该函数的定义域与单调区间解因为f(x)x的图像过点p，所以f(2)，即2，得2，即f(x)x2，f(x)的图像如图所示，定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0)【迁移1】(变换条件)本例中的条件“过点p”若换为过点p，试写出该函数的定义域、单调区间解因为f(8)，所以8，即，故f(x)x，由0得x0，所以f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)图像如图所示则f(x)的单调减区间是(0，)，增区间为(，0)【迁移2】(变换条件，改变问法)本例中的条件“过点p”若换为过点p，试写出该函数定义域，判断函数的单调性并用定义法证明解f(4)，4，即，f(x)x，其定义域为(0，)，0，f(x)在(0，)上为减函数，证明如下：任取x1，x2(0，)，且x1x10，所以x1x20，于是f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)x在区间(0，)内是减函数【迁移3】(变换条件，改变问法)本例中条件“过点p”若换为围过点p且有f(a1)f(32a)，求实数a的取值范围解f(16)，16，即，f(x)x，其定义域为(0，)，0，f(x)在(0，)上为减函数f(a1)f(32a)，有解得：aa的取值范围为规律方法1.幂函数图像的画法(1)确定幂函数在第一象限内的图像：先根据的取值，确定幂函数yx在第一象限内的图像(2)确定幂函数在其他象限内的图像：根据幂函数的定义域及对称性确定幂函数f(x)在其他象限内的图像2求幂函数中含参数问题的三个步骤课堂达标1下列函数中不是幂函数的是()ayx byx cy2x dyx1解析函数yx，yx，yx1均符合幂函数的特征，而y2x不符合幂函数的特征答案c2已知f(x)(m1)xm22m是幂函数，则m()a2 b1 c3 d0解析因为f(x)是幂函数，所以m11，即m2答案a3已知幂函数f(x)x的图像过点，则f(4)_解析因为f(2)，所以2，即，所以f(x)x，故f(4)4答案4幂函数yx2a在(0，)上是减函数，则a的取值范围是_解析因为yx2a在(0，)上是减函数，所以2a2答案(2，)5比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)1.1，0.9；(2)1.1，0.9；(3)3，解(1)因为yx为0，)上的增函数，又1.10.9，所以1.10.9(2)因为yx为(0，)上的减函数，又1.10.9，所以1.10.9(3)因为3，函数yx为0，)上的增函数，且，所以，即3