北师大版必修一 函数的单调性(二) 学案.doc

3函数的单调性(二)学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(重点)；2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求函数最值是函数单调性的应用之一(重、难点)预习教材p3839完成下列问题：知识点一函数最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有f(x)mf(x)m存在x0i，使得f(x0)m结论称m是函数yf(x)的最大值称m是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图像上最高点的纵坐标f(x)图像上最低点的纵坐标【预习评价】1任何函数都有最大值或最小值吗？提示不一定，如函数yx，xr时就无最大值和最小值2若函数f(x)x21恒成立，则此函数的最小值就是1吗？提示不对虽然x21恒成立，但在函数定义域内找不到一个x0的值使f(x0)1，根据最小值定义可知此结论不成立3函数f(x)最大值、最小值的几何意义是什么？提示函数最大值的几何意义是对应图像最高点的纵坐标，函数最小值的几何意义是函数图像的最低点的纵坐标知识点二函数最值与单调性的联系(1)若函数yf(x)在区间a，b 上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)(2)若函数yf(x)在区间a，b 上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)【预习评价】1结合教材p38例4，你认为应怎样求函数的最大值、最小值？提示第一步：利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单调性第二步：根据单调性确定函数的最大值、最小值2函数f(x)|x|的最小值是_解析因为f(x)|x|所以f(x)的最小值是0答案0题型一图像法求函数的最值【例1】(1)如图为函数yf(x)，x4,7 的图像，则它的最大值、最小值分别是_，_(2)已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值(1)解析由图像知当x3时，f(x)取最大值3，当x1.5时，f(x)取最小值2答案32(2)解作出函数f(x)的图像(如图)，由图像可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0规律方法利用图像法求函数最值的依据及步骤(1)依据：以函数最值的几何意义为依据，常用于图像易作出的函数求最值(2)步骤作：作出函数图像；找：在图像上找到最高点和最低点的纵坐标；定：确定函数的最大(小)值【训练1】画出函数f(x)的图像，并写出函数的单调区间及函数的最小值解f(x)的图像如图所示，f(x)的单调递增区间是(，0)和0，)，函数的最小值为f(0)1题型二函数最值的应用【例2】(1)某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，销售t辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为l1t221t和l22t.若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润是_万元(2)某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为g(x)万元，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)销售收入r(x)(万元)满足：r(x)假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：写出利润函数yf(x)的解析式(利润销售收入总成本)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？(1)解析设在甲地销售x辆，在乙地销售(15x)辆，设销售利润为l，则lx221x2(15x)x219x30230所以，当x9或x10时，l取最大值为120答案120(2)解由题意得g(x)2.8x，所以f(x)r(x)g(x)当x5时，因为函数f(x)单调递减，所以f(x)f(5)3.2(万元)，当0x5时，函数f(x)0.4(x4)23.6，当x4时，f(x)有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使赢利最大为3.6万元规律方法解答实际问题的步骤(1)审题：审读实际问题，找出已知条件，未知条件，确定自变量和因变量的条件关系(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案【训练2】某特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元(1)写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y(元)与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式(2)当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润y(元)最大，并求出这个最大值解(1)当0x20时，y204(20x) (x8)4x2132x800，当20x40时，y20(x20) (x8)x248x320，所以y(2)当0x20时，y42289，所以当x16.5时，y取得最大值289元；当20x40时，y(x24)2256，所以当x24时，y取得最大值256元综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元.互动探究题型三利用单调性求函数最值【探究1】利用单调性定义证明函数f(x)x在1,2 上的单调性并求其最值解设1x1x22，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)，1x1x22，x1x20,1x1x24，x1x240，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在1,2 上是减函数从而函数的最大值是f(1)145，最小值是f(2)224【探究2】定义在r上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2，总有0成立，且f(3)a，f(1)b，则f(x)在3，1 上的最大值是_解析由0，得f(x)在r上是增函数，则f(x)在3，1 上的最大值是f(1)b答案b【探究3】已知函数f(x)，当x，yr时，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求证：f(x)f(x)0(2)若f(3)a，试用a表示f(24)(3)如果x0时，f(x)0，且f(1)，试求f(x)在区间2,6 上的最大值和最小值(1)证明令xy0得f(0)0，再令yx得f(x)f(x)，所以f(x)f(x)0(2)解因为f(3)a则f(3)a，所以f(24)8f(3)8a(3)解设x(，)，且x10，所以f(x2x1)0，f(x1)f(x2x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在r上是减少的，所以f(x)maxf(2)f(2)2f(1)1，f(x)minf(6)6f(1)63规律方法1.利用函数单调性求最值的一般步骤(1)判断函数f(x)的单调性(2)借助最值与单调性的关系写出函数最值2利用单调性求最值的两个关注点(1)求最值勿忘求定义域(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意课堂达标1函数f(x)的图像如图，则其最大值、最小值分别为()af，f bf(0)，fcf，f(0) df(0)，f(3)解析由图知，当x0时，f(x)取最大值f(0)，当x时，f(x)取最小值f答案b2函数y在2,3 上的最小值为()a2 b c d解析函数在2,3 上单调递减，所以最小值为答案b3若函数f(x)则f(x)的最大值为_，最小值为_解析当1x2时，y2x6为增函数，所以f(x)maxf(2)10，f(x)minf(1)8；当1x1时，6f(x)8，故f(x)的最大值为10，最小值为6答案1064函数f(x)x24x5，x1,4 ，则f(x)的最大值为_解析f(x)x24x5的对称轴为x2，所以最大值为f(4)424455答案55已知f(x)x2x1，求f(x)在区间1,1 上的最大值和最小值解因为f(x)x2x12，又因为1,1 ，所以当x时，f(x)有最小值当x1时，f(x)有最大值，即f(x)minf，f(x)maxf(1)3课堂小结1对函数最值的三点说明(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数yx2(xr)的最小值是0，有f(0)0(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)m(f(x)m)成立，也就是说，函数yf(x)的图像不能位于直线ym的上(下)方(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说yf(x)的图像与直线ym至少有一个交点2函数最值与函数值域的关系函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值3利用单调性求最值的常用