北师大版必修一 2.4.2.2 二次函数在闭区间上的最值 课件（20张）.pptx

第2课时二次函数在闭区间上的最值 1 会求二次函数在闭区间上的最值 2 掌握研究二次函数的基本方法 配方法 1 二次函数y ax2 bx c a 0 2 决定二次函数y ax2 bx c a 0 在区间 m n 上取最值的因素 1 开口方向 对称轴与区间的端点 2 对称轴与区间的关系 对称轴在区间内 对称轴处取得一个最值 另一个最值在离对称轴较远的端点处取得 对称轴在区间外 在区间端点处取得两个最值 题型一 题型二 题型三 题型一二次函数的最值问题 例1 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数f x 的最大值和最小值 2 当a r时 求函数f x 的最小值 分析 解答本题的关键是将函数f x 配成顶点式确定其对称轴 然后根据对称轴与所给区间的关系进一步确定函数的最值 题型一 题型二 题型三 解 1 当a 1时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 当x 1时 f x 取得最小值 f x min f 1 1 当x 5时 f x 取得最大值 f x max f 5 37 2 f x x2 2ax 2 x a 2 2 a2 x 5 5 当 a 5 即a 5时 函数f x 在区间 5 5 上是增加的 故f x min f 5 27 10a 当 5 a 5 即 5 a 5时 f x 在顶点处取得最小值 故f x min f a 2 a2 当 a 5 即a 5时 函数f x 在区间 5 5 上是减少的 故f x min f 5 27 10a 反思二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值 且它们只能在区间的端点或二次函数图像的对称轴上取到 题型一 题型二 题型三 变式训练1 本例 1 中函数f x 不变 求f x 在区间 t t 1 上的最小值g t 解 f x x2 2x 2 x 1 2 1 当t 1时 f x 在 t t 1 上是增加的 故x t时 f x 取得最小值 即g t f t t2 2t 2 当t 1 t 1 即0 t 1时 f x 在顶点处取得最小值 即g t f 1 1 当t 1 1 即t 0时 f x 在 t t 1 上是减少的 故x t 1时 f x 取得最小值 即g t f t 1 t2 1 题型一 题型二 题型三 题型二二次函数的实际应用 例2 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律 每生产产品x 百台 其总成本为g x 万元 其中固定成本为2 8万元 并且每生产1百台的生产成本为1万元 总成本 固定成本 生产成本 销售收入r x 万元 满足假定产品产销平衡 即生产的产品都卖掉 根据上述规律 请完成下列问题 1 求利润y f x 的解析式 利润 销售收入 总成本 2 工厂生产多少台产品时 可使盈利最多 分析 1 由题意得出g x 根据f x r x g x 写出解析式 2 根据解析式分段求最值 然后比较得出结果 题型一 题型二 题型三 解 1 由题意知 g x 2 8 x 2 当x 5时 因为函数f x 在 5 上是减少的 所以f x f 5 3 2 万元 当0 x 5时 f x 0 4 x 4 2 3 6 所以当x 4时 f x max 3 6 万元 故当工厂生产4百台产品时 可使盈利最多 为3 6万元 题型一 题型二 题型三 变式训练2 旅行社为某旅游团包飞机去旅游 其中旅行社的包机费为15000元 旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算 若旅游团的人数不超过35人 飞机票每张收费800元 若旅游团的人数多于35人 则给予优惠 每多1人 机票费每张减少10元 但旅游团的人数最多不超过60人 那么当旅游团的人数为多少时 旅行社可获得最大利润 最大利润是多少 解 设旅游团的人数为x 每张飞机票为y元 依题意得 当1 x 35时 y 800 当35 x 60时 y 800 10 x 35 10 x 1150 题型一 题型二 题型三 又因为x n 所以当x 57或x 58时 qmax 18060 13000 答 当旅游团人数为57或58时 旅行社可获得最大利润18060元 题型一 题型二 题型三 题型三易错辨析易错点 忽视实际问题中二次函数的定义域而致误 例3 如图 在矩形abcd中 已知ab a bc b 0 b a 在边ab ad cd bc上分别截取ae ah cg cf都等于x 当x为何值时 四边形efgh的面积最大 并求出最大面积 题型一 题型二 题型三 错因分析 这是在求实际问题中二次函数的最值时常出现的错误 即直接套用二次函数的最值公式 忽视了实际问题中二次函数的定义域 本题应对a与b的大小关系进行分类讨论 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 变式训练3 生产季节性产品的企业 当它的产品无利润时就会及时停产 现有一生产季节性产品的企业 一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y n2 15n 36 那么该企业一年中应停产的月份是 a 1月 2月b 1月 2月 3月c 3月 12月d 1月 2月 3月 12月解析 令y 0 则 n2 15n 36 0 所以n2 15n 36 0 所以 n 3 n 12 0 所以n1 3 n2 12 因为a 1 0 所以抛物线开口向下 所以n 1和n 2时 y 0 所以该企业一年中应停产的月份是1月 2月 3月 12月 答案 d 1 2 3 4 5 6 1若为实数 则函数y x2 3x 5的最小值为 a b 5c 0d 不存在解析 因为为实数 所以x 0 又y x2 3x 5在 0 上是增加的 故当x 0时 ymin 5 答案 b 1 2 3 4 5 6 2若二次函数y x2 bx c图像的最高点是 3 1 则b c的值是 a b 6 c 8b b 6 c 8c b 6 c 8d b 6 c 8 答案 d 1 2 3 4 5 6 3函数f x x2 2x 3在区间 2 4 上的最大值和最小值分别为 a 5 4b 3 7c 无最大 小值d 7 4解析 因为f x x2 2x 3 x 1 2 4 当x 2 4 时 f x 在 2 1 上是减少的 在 1 4 上是增加的 所以f x min f 1 4 f x max f 4 f 2 5 答案 a 1 2 3 4 5 6 4已知函数f x x2 6x 8 x 1 a 并且f x 的最小值为f a 则实数a的取值范围是 解析 由题意知f x 在 1 a 内是减少的 又f x 的递减区间为 3 故1 a 3 答案 1 3 1 2 3 4 5 6 5函数f x 2x2 6x 1在区间 1 1 上的最小值是 最大值是 解析 在 1 1 上为减少的 当x 1时 f x min 3 当x 1时 f x max 9 答案 39 1 2 3 4 5 6 6某商品进货单价为40元 若销售价为50元 则每天可卖出50件 销售单价每涨1元 每天的销售量就减少1件 一天中 为了获得最大利润 则此商品的最佳售价应为多少 并求出最大利润 解 设商品的售价为x元 利润为y元 则每件商品的利润为 x 40 元 销售单价涨了 x 50 元 每天少卖 x 50 件商品 每天能卖50 x 50 100