北师大版必修三 古典概型 学案.doc

2古典概型2.1古典概型的特征和概率计算公式学习目标1.了解基本事件的特点(重点).2.理解古典概型的定义(重点).3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题(重、难点).预习教材p130133完成下列问题：知识点1基本事件1.基本事件的定义试验的每一个可能结果称为基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件.一次试验中只能出现一个基本事件.如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个结果，这就是这一随机试验的6个基本事件.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如在掷一枚质地均匀的骰子试验中，随机事件“出现奇数点”可以由基本事件“出现1点”“出现3点”“出现5点”共同组成.【预习评价】“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件吗？提示不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是基本事件.知识点2古典概型1.古典概型的定义(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同.我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型).2.古典概型的特点(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件.(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是相等的.3.古典概型的概率公式对于任何事件a，p(a).【预习评价】判断给出的下列事件是否是古典概型(正确的打，错误的打)(1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件()(2)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时()(3)从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率()(4)抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止()提示(1)中由于点数的和出现的可能性不相等，故(1)不是；(2)中的基本事件是无限的，故(2)不是；(3)中满足古典概型的有限性和等可能性，故(3)是；(4)中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故(4)不是.答案(1)(2)(3)(4)题型一基本事件的定义及特点【例1】一个口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)共有多少个基本事件？(2)2个都是白球包含几个基本事件？解方法一(1)采用列举法.分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号、2号).(2)“2个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件.方法二(1)采用列表法.设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球.列表如下：由于每次取2个球，因此每次所得的2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件.(2)“2个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(c，a)三个基本事件.规律方法1.求基本事件的基本方法是列举法.基本事件具有以下特点：(1)不可能再分为更小的随机事件；(2)两个基本事件不可能同时发生.2.当基本事件个数较多时还可应用列表法或树形图法求解.【训练1】 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数.写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和等于7”.解(1)这个试验的基本事件共有36个，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6).(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6).(4)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1).题型二利用古典概型公式求概率【例2】从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率：(1)事件a三个数字中不含1和5 ；(2)事件b三个数字中含1或5.解这个试验的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以基本事件总数n10.(1)因为事件a(2,3,4)，所以事件a包含的事件数m1.所以p(a).(2)因为事件b(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，所以事件b包含的基本事件数m9.所以p(b).规律方法1.古典概型概率求法步骤：(1)确定等可能基本事件总数n；(2)确定所求事件包含基本事件数m；(3)p(a).2.使用古典概型概率公式应注意：(1)首先确定是否为古典概型；(2)事件a是什么，包含的基本事件有哪些.【训练2】 抛掷两枚骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率.解如图，基本事件与所描点一一对应，共36种.(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为a，从图中可以看出，事件a包含的基本事件共有9个，即(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6).所以p(a).(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为b，从图中可以看出，事件b包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以p(b).【探究1】用三种不同的颜色给如图所示的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色.(1)求3个矩形颜色都相同的概率；(2)求3个矩形颜色都不相同的概率；(3)求3个矩形颜色不都相同的概率.解设3个矩形从左到右依次为矩形1、矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题目中所示的3个矩形随机涂色，可能的结果如图所示.由图知基本事件共有27个.(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件a，由图，知事件a的基本事件有3个，故p(a).(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件b，由图，知事件b的基本事件有6个，故p(b).(3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件c.由图，知事件c的基本事件有24个，故p(c).【探究2】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.解(1)甲校2名男教师分别用a、b表示，女教师用c表示；乙校男教师用d表示，2名女教师分别用e、f表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，共9种.选出的2名教师性别相同的结果为(a，d)，(b，d)，(c，e)，(c，f)，共4种.所以选出的2名教师性别相同的概率为.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(a，b)，(a，c)，(b，c)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.【探究3】有a、b、c、d四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐.(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率.解将a、b、c、d四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个.(1)设事件a为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件a只包含1个基本事件，所以p(a).(2)设事件b为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件b包含9个基本事件，所以p(b).(3)设事件c为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件c包含8个基本事件，所以p(c).规律方法求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.课堂达标1.抛掷一枚骰子，出现偶数的基本事件个数为()a.1 b.2 c.3 d.4解析因为抛掷一枚骰子出现数字的基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数的基本事件是3个.答案c2.在国庆阅兵中，某兵种a，b，c三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则b先于a，c通过的概率为()a. b. c. d.解析用(a，b，c)表示a，b，c通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(a，b，c)，(a，c，b)，(b，a，c)，(b，c，a)，(c，a，b)，(c，b，a)，共6种，其中b先于a，c通过的有：(b，c，a)和(b，a，c)，共2种，故所求概率p.答案b3.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是_.解析基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为p.答案4.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是_.解析十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8765432136个，以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5432115个，所以比37大的“渐升数”共有21517个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.答案5.从分别写有a，b，c，d，e的5张卡片中任取2张，求这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率？解可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(b，c)与(c，b)是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(a，b)，(b，c)，(c，d)，(d，e)4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率为p.课堂小结1.古典概型是一种最基本的概型.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式p(a)时，关键是正确理解基本事件与事件a的关系，从而求出m、n.2.求某个随机事件a包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏.基础过关1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()a. b. c. d.解析列树状图得：共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况为8种，所以所求概率为.答案c2.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为()a.b.c.d.解析把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为p.答案a3.一袋中装有大小相同，且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为()a.b.c.d.解析用(i，j)表示第一次取得球编号i，第二次取得球编号j的一个基本事件(i，j1,2,3，8).则所有基本事件的总数n64，其中取得两个球的编号和不小于15的基本事件有(7,8)，(8,7)，(8,8)共3种，故所求的概率p.答案d4.下列试验是古典概型的为_(填序号).从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；同时掷两枚骰子，点数和为7的概率；近三天中有一天降雨的概率；10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.解析对于，从6名同学中，选出4名参加数学竞赛，每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于，同时掷两枚骰子，点数和为7的事件是随机事件，满足有限性和等可能性，是古典概型；对于，不是等可能性，不是古典概型；对于中，10个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率，满足有限性和等可能性，是古典概型.答案5.甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到a，b两个不同的岗位，且每个岗位至少1人，则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为_.解析所有可能的分配方式如下表：a甲、乙甲、丙乙、丙甲乙丙b丙乙甲乙、丙甲、丙甲、乙共有6个基本事件，令事件m为“甲、乙两人被分到同一岗位”， 则事件m包含2个基本事件，所以p(m).答案6.某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率.解只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品.分为两种情况：1听不合格和2听都不合格.设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种.有1听不合格的有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种；有2听不合格的有(5,6)，共1种，所以检测出不合格产品的概率为.7.已知a，b，c三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，一个球标着号码1，另一个球标着号码2，现从a，b，c三个箱子中各摸出1个球.(1)若用数组(x，y， )中的x，y， 分别表示从a，b，c三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y， )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由.解(1)数组(x，y， )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种.(2)摸出的三个球号码的和可能为3,4,5,6，故记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件ai(i3,4,5,6)，易知，事件a3包含1个基本事件，事件a4包含3个基本事件，事件a5包含3个基本事件，事件a6包含1个基本事件，p(a3)，p(a4)，p(a5)，p(a6)，故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大.即猜4或5获奖的可能性最大.能力提升8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy1的概率为()a. b. c. d.解析所有基本事件的个数为6636.由log2xy1得2xy，其中x，y1,2,3,4,5,6，所以或或满足log2xy1，故事件“log2xy1”包含3个基本事件，所以所求的概率为p.答案c9.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若 ab 1，就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()a. b. c. d.解析首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是 ab 1，由于a，b1,2,3,4,5,6，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，基本事件的总数有36种.因此他们“心有灵犀”的概率为p.答案d10.一次掷两枚骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2(mn)x40无实数根的概率是_.解析基本事件共有36个.因为方程无实根，所以(mn)2160.即mn4，其中有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件.所以所求概率为.答案11.有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 ， 1，其中 0,1,2，19.从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010)不小于14”为a，则p(a)_.解析20张卡片任取一张，有20种取法，其中两个数字之和不少于14的有(7,8)，(8,9)，(16,17)，(17,18)，(18,19)，则p(a).答案12.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校a，b，c的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数a18xb362c54y(1)求x，y；(2)若从高校b，c抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校c的概率.解(1)由题意可得，所以x1，y3.(2)记从高校b抽取的2人为b1，b2，从高校c抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校b，c抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，