北师大版必修三 最小乘二估计 学案.doc

8最小二乘估计学习目标1.了解最小二乘法.2.理解线性回归方程的求法(重点).3.掌握线性回归方程的意义(重点、难点).预习教材p5460完成下列问题：知识点1最小二乘法1.定义：如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式达到最小值的直线yabx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.2.应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合.知识点2回归直线的求法1.回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.2.回归方程与最小二乘法我们用yii来刻画实际观察值yi(i1,2，n)与i的偏离程度，yii越小，偏离越小，直线就越贴近已知点.我们希望yii的n个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的.由于把yii这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即q(yiabxi)2作为总差量，回归直线就是所有直线中q取最小值的那一条.因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法.用最小二乘法求回归方程中的a，b有下面的公式：其中i，i.这样，回归方程的斜率为b，截距为a，即回归方程为ybxa.【预习评价】下列有关线性回归的说法(正确的打，错误的打)(1)变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系()(2)在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图()(3)回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系()(4)任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线()提示只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线.答案(1)(2)(3)(4)题型一变量间相关关系的判断【例1】某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程.解(1)散点图如图所示.(2)列出下表，并用 学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x4162536645，50，145，iyi1 380于是可得，b6.5，ab506.5517.5.于是所求的回归方程是y6.5x17.5.规律方法1.求回归方程的步骤(1)列表xi，yi，xiyi.(2)计算，iyi.(3)代入公式计算b，a的值.(4)写出回归方程yabx.2.求回归方程的适用条件两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断.【训练】某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程.解9，4，x6282102122344，xiyi6283105126158，b0.7，ab40.792.3.则所求的线性回归方程为y0.7x2.3.【探究1】有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2 ，预测这天卖出的热饮杯数.解(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此气温越高，卖出去的热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程y2.352x147.772.(4)当x2时，y143.068.因此，某天的气温为2 时，这天大约可以卖出143杯热饮.【探究2】某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：广告费用x/万元3456销售额y/万元25304045根据上表可得回归直线方程ybxa中的b为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为_万元.解析由题意得4.5，35.回归直线方程ybxa中b7，3574.5a，解得a3.5，y7x3.5.当x10时，y7103.573.5(万元).答案73.5【探究3】调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元.解析由于y0.254x0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元.答案0.254【探究4】某农 所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们记录了12月1日至5日的昼夜温差与每天100颗种子的发芽数，数据如下表：日期12.112.212.312.412.5温差x()101113128发芽数y(颗)2325302616该农 所确定的研究方案是：先从五组数据中选取两组，用剩下的3组数据求回归方程，再用被选取的两组数据进行检验.(1)若先选取的是12月1日和5日的数据，请根据2日至4日的三组数据，求y关于x的回归方程ybxa；(2)若由回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的回归方程是可靠的，试判断(1)中所得的线性回归方程是否可靠？说明理由.解(1)由已知数据，求得12，27，由公式b，求得b2.5，再由公式ab得a3，所以y关于x的回归方程为y2.5x3.(2)当x10时，y23，y2.510322， 2223 2同样，当x8时，y16，y2.58317， 1716 0)，故x与y之间是正相关.(3)将x7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y0.370.41.7(千元).7.一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.转速x(转/秒)1614128每小时生产缺损零件数y(个)11985(1)作出散点图；(2)如果y与x线性相关，求出回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解(1)作出散点图如图所示.(2)由(1)知y与x线性相关.设回归方程为：ybxa.由题意，得12.5，8.25，660，iyi438.b0.73，a8.250.7312.50.88，y0.73x0.88.(3)令0.73x0.8810，解得x15.故机器的运转速度应控制在15转/秒内.能力提升8.工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归方程为y5080x，下列判断正确的是()a.劳动生产率为1 000元时，工人工资为130元b.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元c.劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元d.当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元解析因为回归方程斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元.答案b9.已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归方程为ybxa.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()a.bb，aa b.bb，aac.bb，aa d.bb，aa解析由(1,0)，(2,2)求b，a.b2，a0212.求a，b时，iyi04312152458b，a，bb，aa.答案c10.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归方程为y60.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差_分.解析令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为y160.4x1，y260.4x2，所以 y1y2 0.4(x1x2) 0.45020.答案2011.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：h)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为_；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6h篮球的投篮命中率为_.解析0.5，3.由公式，得b0.01，从而ab0.50.0130.47.所以回归方程为y0.470.01x.所以当x6时，y0.470.0160.53.答案0.50.5312.某单位为了了解用电量y度与气温x 之间的关系随机统计了某4天的用电量与当天气温如下表：气温()141286用电量22263438(1)求用电量y与气温x的线性回归方程；(2)由(1)的方程预测气温为5 时，用电量的度数.解(1)由题意知样本值n4，10，30，将四组样本值代入参考公式得b2，ab30(2)1050，所以线性回归方程为y2x50.(2)预测气温为5 时，令(1)中的回归方程中x5，代入方程得y40，所以当气温是5 时，用电量是40.13.(选做题)下面是某市一周内申请领结婚证的新郎和新娘的年龄，记为(y，x)，其中新郎年龄为y，新娘年龄为x.(37,30)，(30,27)，(65,56)，(45,40)，(32,30)，(28,26)，(45,31)，(29,24)，(26,23)，(28,25)，(42,29)，(36,33)，(33,29)，(24,22)，(32,33)，(21,29)，(37,46)，(28,25)，(33,34)，(21,23)，(24,23)，(49,44)，(28,29)，(30,30)，(24,25)，(22,23)，(68,60)，(25,25)，(32,27)，(42,37)，(24,24)，(24,22)，(28,27)，(36,31)，(23,24)，(30,26).其中(30.333 3，32.777 8，(xi)22 804，(xi)(yi)3 134.67)以下考虑y关于x的回归问题：(1)如果每个新郎和新娘都同岁，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？(2)如果每个新郎都比新娘大5岁，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？(3)如果每个新郎都比新娘大10 ，穿过这些点