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圆与圆的方程 导 1 圆的定义 到定点的距离等于定长的点的集合 其中定点为圆心 定长为半径 2 不共线的三点确定一个圆 即三角形定有外接圆 3 三角形外接圆的圆心 叫作三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点 4 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 且平分弦所对的两段弧 推论 弦的垂直平分线经过圆心 5 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 思 思考1确定圆的要素是 和 思考2在平面直角坐标系中 我们用方程表示出了直线 那么我们能不能用方程表示出圆呢 如图 已知圆心a a b 半径为r 那么圆上任意一点m x y 应满足什么方程 2 圆的标准方程 以点a a b 为圆心 r为半径的圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 如果点p x y 满足方程 由点p到圆心的距离可知 点p在圆上 我们称此方程为圆的标准方程 圆心 半径 4 点p m n 到圆心a a b 的距离与半径r的大小关系 点在圆上 点在圆外 点在圆内 思 思考3对于上面求得的方程 圆上的点的坐标都满足方程了 那么满足方程的有序实数对 x y 所对应的点是不是在圆上 思考4平面上点p m n 到圆心a a b 的距离与圆的半径之间有几种大小关系 他们分别对应着点与圆之间怎样的位置关系 例1 已知圆的标准方程为 x 4 2 y 6 2 5 试判断点p 3 8 和点m 6 3 与圆的位置关系 p在圆上 m在圆外 议 变式 若点p 2 4 在圆 x 1 2 y 2 2 m的外部 求实数m的取值范围 议 例2求圆心在x轴上 半径为5 且过点a 2 3 的圆的标准方程 规范解答 圆心在x轴上 半径为5 设圆的标准方程为 x a 2 y2 25 过点a 2 3 2 a 2 3 2 25 解得 a 2 或a 6 所求圆的标准方程为 x 2 2 y2 25或 x 6 2 y2 25 议 变式 过点a 4 1 的圆c与直线x y 1 0相切于点b 2 1 求圆c的标准方程 规范解答 由题意知 圆心既在过点b 2 1 且与直线x y 1 0垂直的直线上 又在线段ab的中垂线上 过点b 2 1 且与直线x y 1 0垂直的直线为x y 3 0 线段ab的中垂线为x 3 联立方程解得即圆心c 3 0 又半径所以圆的标准方程为 x 3 2 y2 2 议 1 求下面圆的圆心与半径 圆 x 1 2 y 2 2 m2 圆心 1 2 半径 m 检 3 点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则a的取值范围是 a a 1 a
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