北师大版必修一 1.2 集合的基本关系 学案.doc

核心必知 1venn图为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为venn图 学 2子集(1)定义及记法：一般地，对于两个集合a与b，如果集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，即若aa，则ab，我们就说集合a包含于集合b，或集合b包含集合a，这时我们说集合a是集合b的子集，记作ab(或ba)，读作“a包含于b”(或“b包含a”)(2)venn图示：当ab时，用venn图表示，如图，图所示(3)子集的性质：任何一个集合都是它本身的子集，即aa；规定空集是任何集合的子集，即a.3集合相等(1)定义及记法：对于集合a与b，如果集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，同时集合b中的任何一个元素都是集合a中的元素，这时，我们就说集合a与集合b相等，记作ab.(2)venn图示：当ab时，用venn图表示，如图所示4真子集(1)定义及记法：对于两个集合a与b，如果ab，并且ab，我们就说集合a是集合b的真子集，记作ab(或ba)(2)venn图示：当ab时，用venn图表示，如图表示5不包含于或不包含(1)记法：当集合a不包含于集合b，或集合b不包含集合a时，记作ab(或ba)(2)venn图示：问题思考 1符号和有什么区别？提示：符号只能适用于元素与集合之间，符号的左边只能写元素，右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如1 ，r；符号只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须是集合，说明左边的集合是右边集合的子集，左边集合的元素均属于右边的集合，如11,0，x|x2x|x32若ab，bc，则ac，对吗？若将“”换成“”呢？提示：对，ab，bc即是任意xa，必有xb，进而xc，所以ac，换成“”也对3空集没有子集，对吗？若a，则a对吗？提示：空集是任何集合的子集，所以，故前一种说法不对若a，则a，后一种说法对讲一讲1已知集合m满足1,2m1,2,3,4,5，求所有满足条件的集合m. 学 尝试解答 由题意知，m至少含有1,2两个元素，至多有1,2,3,4,5五个元素，所以满足条件的m有：1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5共8个若本例中条件变为1,2m1,2,3,4,5，则这样的集合m共有多少个？解：有1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5，共6个. (1)求集合的子集问题时，一般可以按照集合的元素个数进行分类，再依次找出每类中符合要求的集合(2)解决这类问题时，还要注意两个比较特殊的集合，即和集合自身(3)含有n个元素的集合有2n个子集，有(2n1)个真子集，有(2n2)个非空真子集练一练1设ax|(x216)(x25x4)0，写出集合a的子集，并指出其中哪些是它的真子集解：将方程(x216)(x25x4)0，因式分解得(x4)(x1)(x4)20，则可得方程的根为x4或x1或x4.故集合a4，1,4，其子集为，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4,1,4，真子集为，4，1，4，4，1，4,4，1,4讲一讲2已知m2，a，b，n2a,2，b2，且mn，试求实数a，b的值尝试解答 mn，或解得或或再根据集合中元素的互异性得或解决集合相等问题的步骤：利用集合相等的条件，建立方程或方程组，求得参数把所得数值依次代入集合验证，若满足元素的互异性，则所求是可行的，否则应舍去练一练2若ax|x2x0，b，则()aab babcab d以上都不对解析：选aax|x2x00,1，bx|x，n 0,1ab.3试确定整数x和y，使得 2x，xy7,4解：由集合相等的定义，得或当时，解得x，y ，该组解舍去当时， 学 解得符合题意故x2且y5.讲一讲3设集合ax|x24x0，bx|x22(a1)xa210，ar，若ba，求实数a的取值范围尝试解答 ax|x24x04,0，ba，分ba，ba两种情况讨论当ab时，b4,0，即4,0是方程x22(a1)xa210的两根，于是得a1.当ba时，若b，则4(a1)24(a21)0，解得a1；若b，则4(a1)24(a21)0，解得a1.验证知b0满足条件综上可知，所求实数a的取值范围为a1或a1.(1)根据两集合之间的关系求参数的值时，要明确集合中的元素，通常依据相关的定义，观察这两个集合中元素的关系，转化为解方程或解不等式(2)空集是任何集合的子集，因此在处理ab(b)的含参数问题时，要注意讨论a和a两种情况练一练4已知ax|x22x30，bx|ax10，若ba，试求a的值解：由x22x30得，x1或x3.a1,3(1)当a0时，方程ax1无解b，满足ba.(2)当a0时，方程ax1的解为x，b.ba1,3 1或3.a1或a.故a的值是0或1或.设集合ax|1x6，bx|m1x2m1，已知ba.求实数m的取值范围错解 ax|1x6，又ba，解得0m.实数m的取值范围是.错因 (1)忽略讨论b的情况从而导致漏解空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对b与b两种情况分别确定m的取值范围(2)忽略等号成立的情况，从而导致漏解和错解利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及到两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助于数轴来建立变量间的关系，需特别说明的是有关等号能否取到的问题(界点问题)既是学习的难点，也是平时考查的重点之一，应引起足够的重视正解 a1x6，又ba.(1)当m12m1，即m2时，b，符合题意(2)当m12m1，即m2时，b.由ba，借助数轴表示如图所示 学 则解得0m.综上(1)(2)所述，m的取值范围为(，2) .1下列关系中正确的个数为()00，0，0,1(0,1)，(1,3)(3,1)a1 b2 c3 d4解析：选b正确，错误2若集合m，n ，n ，p，则m，n，p的关系是()3设集合ax|1x2，bx|xa，若ab，则a的取值范围是()aa2 ba1 ca1 da2解析：选aab，任意xa，有xb，结合数轴可知，a2.4已知集合m8,1,9，集合n1，m1，若nm，则实数m_.解析：m1n，nm，m1m，m18或m19，m7或10.答案：7或105已知a1,2,3，且a中至少有一个奇数，则这样的集合a共有_个解析：由题意知，这样的集合a有1，3，1,2，2,3，1,3共5个答案：56已知m0,2，b，n0,2，b2，且mn，求实数b的值解：mn，m0,2，b，n0,2，b2，bb2，解得b1或b0.经检验知，b1符合要求，b1.一、选择题1下列关系正确的是()a3y|yx2，xrb(a，b)(b，a)c(x，y)|x2y21(x，y)|(x2y2)21dxr|x220解析：选c由元素与集合，集合与集合间关系的定义知，a、b、d错误，c正确2设集合ax|x2 1， ，bx|x2 1， ，cx|x4 1， ，则集合a、b、c之间关系完全正确的是()解析：选c集合a中元素所具有的特征：x2 12( 1)1， ， 1 与集合b中元素所具有的特征完全相同，ab；当 2n时，x2 14n1 当 2n1时，x2 14n3.即c是由集合a中的部分元素所组成的集合ca，cb.3已知a2,2 012，x21，b0,2 012，x23x，且ab，则x的值为()a1 b0 c1 d1,1解析：选aab，解得x1.4已知集合m1,0,1，nx|x2x0，则m和n的关系是()解析：选bm1,0,1，n0，1，nm.二、填空题5(江苏高考)集合1,0,1共有_个子集解析：由题意知，所给集合的子集个数为238.答案：86设x，yr，a(x，y)|yx，b.则a，b的关系是_解析：1可化为yx(x0)，可知，集合a表示直线yx，集合b表示剔除(0,0)点的直线yx.故ba.答案：ba7定义a bx|xa且xb，若a1,3,4,6，b2,4,5,6，则a b的子集个数为_解析：由a b的定义知：若a1,3,4,6，b2,4,5,6，则a b1,3，子集个数为224个 学 答案：48设a1,3，a，b1，a2a1若ba，则a的值为_解析：ba，a2a13或a.当a2a13时，解得a1或a2.经检验a1,2均满足集合的互异性；当a2a1a时，解得a1，故a1,3,1显然不满足集合元素的互异性，故a1或2.答案：1或2三、解答题9设ax|x28x150，bx|ax10，(1)若a，试判定集合a与b的关系；(2)若ba求实数a组成的集合c.解：由x28x150得x3或x