北师大版必修五 §4　数列在日常经济生活中的应用 课件（32张）.pptx

第一章数列 4数列在日常经济生活中的应用 1 能够利用等差数列 等比数列解决一些实际问题 2 了解 零存整取 定期自动转存 及 分期付款 等日常经济行为的含义 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一单利 复利 第一月月初存入1000元 月利率0 3 按单利计息 则每个月所得利息是否相同 按单利计息 上一个月的利息在下一个月不再计算利息 故每个月所得利息是一样的 答案 思考2 第一月月初存入1000元 月利率0 3 按复利计息 则每个月所得利息是否相同 不同 因为按复利计息 上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金 所以每个月的利息是递增的 答案 梳理 一般地 1 单利是指 仅在原有本金上计算利息 对本金所产生的利息不再计算利息 利息按单利计算 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和为 2 复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金 在计算时每一期的本金是不同的 利息按复利计算 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和 a 1 rx a 1 r x 知识点二数列应用问题的常见模型 1 整存整取定期储蓄一次存入本金金额为a 存期为n 每期利率为p 到期本息合计为an 则 其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题 2 定期存入零存整取储蓄每期初存入金额a 连存n次 每期利率为p 则到第n期末时 应得到本息合计为 其本质为已知首项和公差 求前n项和问题 an a 1 np 3 分期付款问题贷款a元 分m个月将款全部付清 月利率为r 各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止 其本质是贷款按复利整存整取 还款按复利零存整取 到贷款全部还清时 贷款本利合计 还款本利合计 题型探究 类型一等差数列模型 例1第一年年初存入银行1000元 年利率为0 72 那么按照单利 第5年末的本利和为 元 1036 答案 解析 设各年末的本利和为 an 由an a 1 nr 其中a 1000 r 0 72 a5 1000 1 5 0 72 1036 元 即第5年末的本利和为1036元 反思与感悟 把实际问题转化为数列模型时 一定要定义好数列 并确认该数列的基本量包括首项 公比 差 项数等 跟踪训练1一同学在电脑中按a1 1 an an 1 n n 2 编制一个程序生成若干个实心圆 an表示第n次生成的实心圆的个数 并在每次生成后插入一个空心圆 当某次生成的实心圆个数达到2016时终止 则此时空心圆个数为a 445b 64c 63d 62 答案 解析 由题意可得 a1 1 a2 a1 2 a3 a2 3 a4 a3 4 an an 1 n 将上式相加 可得an 1 2 3 n 令 2016 解得n 63 由题意可得 空心圆为63个 故选c 类型二等比数列模型 定期自动转存属于复利问题 设第n年末本利和为an 则a1 8 8 0 025 8 1 0 025 a2 a1 a1 0 025 8 1 0 025 2 a3 a2 a2 0 025 8 1 0 025 3 a5 8 1 0 025 5 即5年末的本利和是8 1 0255 例2现存入银行8万元 年利率为2 50 若采用1年期自动转存业务 则5年末的本利和是 万元 答案 解析 8 1 0255 反思与感悟 在建立模型时 如果一时搞不清数列的递推模式 可以先依次计算前几项 从中寻找规律 跟踪训练2银行一年定期储蓄存款年息为r 按复利计算利息 三年定期储蓄存款年息为q 按单利计算利息 银行为吸收长期资金 鼓励储户存三年定期的存款 那么q的值应大于 设储户开始存入的款数为a 由题意得 a 1 3q a 1 r 3 q 1 r 3 1 答案 解析 类型三分期付款 例3用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套 如果购买时先付5万元 以后每年付2万元加上欠款利息 签订购房合同后1年付款一次 再过1年又付款一次 直到还完后为止 商定年利率为10 则第5年该付多少元 购房款全部付清后实际共付多少元 解答 购买时先付5万元 余款20万元按题意分10次分期还清 每次付款数组成数列 an 则a1 2 25 5 10 4 万元 a2 2 25 5 2 10 3 8 万元 a3 2 25 5 2 2 10 3 6 万元 因此第5年该付3 2万元 购房款全部付清后实际共付36万元 反思与感悟 建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则 不易理解时就先试行规则 从中观察归纳找到规律 跟踪训练3某企业在今年年初贷款a万元 年利率为 从今年年末开始每年偿还一定金额 预计5年还清 则每年应偿还 答案 解析 根据已知条件知本题属于分期付款问题 设每年应偿还x万元 则x 1 4 1 3 1 a 1 5 当堂训练 设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂 则a1 1 a2 5a1 a1 6a1 a3 5a2 a2 6a2 an 是首项为1 公比为6的等比数列 a7 a1 q7 1 66 1 一个蜂巢里有1只蜜蜂 第1天它飞出去找回了5个小伙伴 第2天 6只蜜蜂飞出去 各自找回了5个伙伴 如果这个找伙伴的过程断续下去 第6天所有的蜜蜂都归巢后 蜂巢中一共有蜜蜂a 65只b 66只c 216只d 36只 答案 解析 1 2 3 1 2 3 可递推下去 4小时后分裂成18个并死去一个 5小时后分裂成34个并死去一个 6小时后分裂成66个并死去一个 得65个存活 2 某种细胞开始时有2个 1小时后分裂成4个并死去1个 2小时后分裂成6个并死去1个 3小时后分裂成10个并死去1个 按照这种规律进行下去 6小时后细胞的存活数是a 32b 31c 64d 65 答案 解析 1 2 3 3 一群羊中 每只羊的重量数均为整千克数 其总重量为65千克 已知最轻的一只羊重7千克 除去一只10千克的羊外 其余各只羊的千克数恰构成一等差数列 则这群羊共有a 6只b 5只c 8只d 7只 答案 解析 1 2 3 依题意除去一只羊外 其余n 1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列 设a1 7 d 0 sn 1 65 10 55 1 2 3 55 11 5且 n 1 为正整数 规律与方法 1 数列应用问题的常见模型 1 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的具体量时 那么该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 其一般形式是 an 1 an d d为常数 2 如果增加 或减少 的百分比是一个固定的数时 那么该模型是等比模型 3 如果容易找到该数列任意一项an 1与它的前一项an 或前几项 间的递推关系式 那么我们可以用递推数列的知识求解问题 2 数列综合应用题的解题步骤 1 审题 弄清题意 分析