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南京师大附中2008届高三物理第一轮复习教案 曲线运动 万有引力 2007年9月第三讲 万有引力定律与航空【基本概念与基本规律】一、开普勒行星运动定律1、开普勒第一定律（椭圆轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2、开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等。 （a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，比值k是一个与行星无关的常量）说明：（1）在高中阶段的学习中，多数行星运动的轨道能够按圆来处理。 （2）开普勒行星运动定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时，比值是由行星的质量所决定的另一常量，与卫星无关。【例1】16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出了“日心说”的如下四个观点，这四个论点目前看存在缺陷的是（ ABC ）A、宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。B、地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动。C、天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象。D、与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多。【例2】飞船沿半径为R的圆周轨道绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆轨道和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间。解析：飞船沿椭圆轨道返回地面，由图可知，飞船由A点运动到B点所需时间刚好是半个周期，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为，由题意可知，飞船沿圆轨道半径为R，地球半径为r，则椭圆轨道半长轴为（R+r）/2，根据开普勒第三定律： 得：飞船由A点到B点的时间为点评：开普勒定律是行星绕太阳运动规律的总结，该结论对卫星绕行星的运动情况也是成立的，对同一行星的卫星，椭圆轨道半径的三次方与公转周期的平方之比等于常数，这个常数与行星的卫星无关。二、万有引力定律1内容表述；自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。2公式表示： 其中：。 3适用条件：两个质点之间的作用力。当两个物体的几何体积与两物体的距离相比可忽略不计时可将物体视为质点。当两个质量分布均匀的球体时仍可使用万有引力定律来计算引力，距离为两个球心间的距离。4求一个质点受到多个质点的万有引力的方法是：先用万有引力定律求各个质点的引力大小和方向，再求矢量和。5经典力学的局限性：只适用于宏观、低速、弱引力领域。【例3】设想把质量为m的物体，放到地球的中心，地球的质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（ C ）AB无穷大C零D无法确定【解析】设地球的质量分布是均匀的，则质量为m的物体受到的地球各部分质点的吸引力各向均等，则合力为零。选项C正确。【小结】万有引力定律使用于两质点之间的作用力的计算，将球体看成无数多个质点组成，用对称思维的方法求得合力为零。三、天体的运动与万有引力定律行星和卫星的运动可视为匀速圆周运动，万有引力是行星、卫星作圆周运动的向心力。1测定中心天体的质量：测出绕中心天体M做匀速圆周运动的星体的周期T和轨道半径r。则 ， 所以 其中M为中心天体的质量。2测中心天体的密度：测出绕中心天体M做匀速圆周运动的星体的周期T、轨道半径r和中心天体的球体半径R。则 ， 所以若绕中心天体的表面做圆周运动，则r =R，。3行星表面的重力加速度g0的测定：忽略行星自转的影响，万有引力等于重力，即 所以说明：是一个常用的变换。4.地面重力加速度随高度的变化：地球表面重力加速度为g0 ，当物体离地面高度h时,忽略行星自转的影响，万有引力等于重力，即 ， 重力加速度变小随高度的增加而减小。【例4】（2005广东）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由得请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。【解析】上面的结果是错误的，地球半径R在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果：，得 方法一：月球绕地球做圆周运动：得方法二：在地球表面重力近似等于万有引力：，得【例5】已知地球表面的重力加速度为g=9.8m/s2,地球的半径为R=6.4106m ,求：地球的质量M为多少？（G =6.6710-11 m3/kgs2）【解析】不考虑地球自转的影响，地球对地面上物体的万有引力就等于重力，则重力加速度g =G,由此可求出M。因为g =G 所以 M = gR2/G =9.8(6.4106)2/6.6710-11 =6.01024kg【小结】解本题之后知道了为什么卡文迪许把引力常量G的测定实验称作为“测量地球的质量”。注意：也可利用地球卫星运动的周期和轨道半径来求地球的质量，例如：已知月亮饶地球运动的轨道半径（月亮的运动周期是已知的），来求得地球的质量。比较一下两种方法的异同。三、人造地球卫星1人造地球卫星的参量与轨道半径的关系：将人造地球卫星的运动近似为匀速圆周运动，地球对它的万有引力提供向心力，地球球心是卫星的轨道中心。线速度与轨道半径的关系：由得：，即r越大，v越小；由r=R地时，vmax=7.9km/s(环绕地球做圆周运动的最大速度)角速度与轨道半径的关系：由得：，即r越大，越小；周期与轨道半径的关系：由得：，即r越大，T越大。由r=R地时，Tmin=84min(环绕地球做圆周运动的最小周期)由得：，即r越大，a越小；由得：，即r越大，Ek越小。【例6】 土星外层上有一个环，为了判定它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以根据环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断（ ）A. 若vR ，则该层是土星的一部分B. 若v2R ，则该层是土星的卫星群C. 若v1/R ，则该层是土星的一部分D. 若v21/R ，则该层是土星的卫星群【解析】若是土星的卫星群，则各卫星都满足方程： GM=v2R 选项D 正确。若是土星的一部分，则环与土星是同一体，角速度相同，线速度v与R成正比，选项A正确。正确答案：A D 。2宇宙速度第一宇宙速度：物体围绕地球做匀速圆周运动所需要的最小发射速度，又称环绕速度，其值为：。v1计算方法：方法一：将地球质量M、地球半径R代入求出，方法二：将地球表面的重力加速度、地球半径代入求出。第二宇宙速度（又称脱离速度）：物体脱离地球引力进入行星轨道所需要的最小发射速度，其值为：。第三宇宙速度（又称逃逸速度）：物体挣脱太阳系而飞向太阳系以外的宇宙空间所需要的最小发射速度，其值为：。3地球同步卫星：相对地面静止的且跟地球自转同步的卫星。轨道平面与赤道平面重合；如果卫星位于赤道平面外一点，受力分析：万有引力指向地心，引力可分解为二个分力，一个分力提供向心力，另一个分力将使卫星向赤道平面加速度，不能相对地面静止。如果在赤道平面，万有引力恰好全部用来提供向心力，卫星可相对地面静止。周期与地球自转周期相同T86400s；角速度与地球自转角速度相同；高度是一定的。由，得：=3.6107m线速度大小是一定的v=3.1人造卫星中的超重和失重卫星在轨道上正常运行时，卫星以及卫星内的物体具有指向地球球心的向心加速度（即卫星的重力加速度），处于完全失重状态，卫星所受万有引力仅仅用来提供向心加速度。在卫星的加速发射和减速回收时，卫星以及卫星内的物体具有向下的加速度，处于超重状态。【例7】(2000北京春招)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道A.与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆B.与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的【解析】人造卫星的万有引力是指向地心的，人造卫星是以地心为圆心作匀速圆周运动，所以卫星作圆周运动的轨道平面一定要过地心的，能与任一经线的圆平面共面，不能与除了赤道平面之外的任一纬度线共面。同步卫星的运转平面一定在赤道平面内。且有一定的高度。正确选项：B、C、D 【小结】 同步卫星的运转平面一定在赤道平面内。但是，在赤道平面内运转的人造卫星不一定是同步通信卫星，同步通信卫星的周期与地球自转的周期相同，所以同步卫星的高度是确定的。【基本问题类型和研究方法】一、割补法求万有引力【例8】有一半径为R的均质大球，质量为M，球心为O，另有一质量为m的小球，球心为O，O、O之间距离为L（LR），现在大球中挖去两个半径都为R/2的小球，如图所示，被挖去两小球的球心连线过O点，且垂直于OO， 求大球剩余部分对m万有引力。【解析】运用割补法求解。先将两个小球补入，求得整个大球的引力，再求两个小球在水平方向的引力，两者之差即为所求的引力。整个球的引力 小球的引力 又 剩余部分对m的引力F=F2fcos由上述方程解得结果。二、天体中的双星问题【例9】2003年世界科技十大突破中第一大突破就是关于暗物质和暗能量的问题。现根据对某一双星系统的光学测量，确定该双星系统中每一个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动，若理论计算得双星运动周期为T，而实际上观测到的运动周期为，且T=1（N1），为了解释观测周期和双星运动周期T不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的物质暗物质。作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，如不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种物质的密度。【解析】选其中一个星体为研究对象，如果没有暗物质时，理论上每一个星体绕O做圆周运动，则如果有暗物质时，由于暗物质均匀分布在以这两个双星为直径的球体内，暗物质对双星的作用，与质量等于暗物质总质量、位于中点O处的质点的作用相同。T=1解以上三式得：三、卫星的变轨问题【例10】如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆开轨道上运动的3颗人造卫星，下列说法正确的是（ D ）Ab、c的线速度大小相等，且大于a的线速度Bb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Cc加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cDa卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大四、天体运动的估算问题【例11】土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等，线度从1m到10m的岩石、尘土，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3km延伸到1.4105km。已知环的外缘颗粒绕土星的周期约为14h，引力常数，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）（ D ）A9.01016kg B6.41017kgC9.01025kg B6.41026kg五、天体运动的综合问题【例12】一个在地球表面用弹簧秤称得重为160N的物体，在以加速度a=g/2竖直上升的航天器中，用弹簧秤称得其重为90N，设地球半径R，则航天器距地面的高度为（ D ） A3R/4 BR C3R/8 D3R【例13】（2004 广东）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。【解析】设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，有： 春分时，如图4-4-4所示，圆E表示轨道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心，由图可以看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它，据此再考虑对称性，有 由以上各式解得 【例14】1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国Max Plank学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”。“黑洞”是某些天体的最后演变结果。根据长期观测发现，距离某“黑洞”61012m的另一个星体（设其质量为m2）以2106m/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1。（结果要求两位有效数字）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式，其中引力常数，m1为天体的质量，R为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。请估算中“黑洞”的可能最大半径R。（结果要求一位有效数字）为多大？ 答案：3.61035kg，5108m【例15】如图所示为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0（1）中央恒星O的质量是多大？AO（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离根据上述现象及假设，你能对未知行