北师大版选修11 第三章 §1　变化的快慢与变化率 课件（29张）.pptx

1变化的快慢与变化率 第三章变化率与导数 学习目标1 了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念 2 会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一函数的平均变化率 观察图形 回答下列问题 思考1怎样理解从点a到点b自变量x的增量 函数值y的增量 答案 1 自变量的增量 用 x表示 即 x x2 x1 表示自变量相对于x1的 增加量 2 函数值的增量 用 y表示 即 y f x2 f x1 也表示为f x1 x f x1 表示函数值在x1的 增加量 3 增量并不一定都是正值 也可以是负值 函数值的增量还可以是0 比如常数函数 其函数值的增量就是0 思考2函数f x 在区间 x1 x2 上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系 答案 1 y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 2 平均变化率的绝对值越大 曲线y f x 在区间 x1 x2 上越 陡峭 反之亦然 梳理函数的平均变化率的定义及作用 1 定义 对一般的函数y f x 来说 当自变量x从x1变为x2时 函数值从f x1 变为f x2 它的平均变化率为 其中自变量的变化称作自变量的改变量 记作 函数值的变化称作函数值的改变量 记作 这样 函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比 即 2 作用 刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 x2 x1 x f x2 f x1 y 知识点二瞬时变化率 思考瞬时速度与平均速度有何区别 答案瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢 平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢 梳理瞬时变化率的定义及作用 1 定义 对于一般的函数y f x 在自变量x从x0变到x1的过程中 若设 x x1 x0 y f x1 f x0 则函数的平均变化率是 而当时 平均变化率就趋于函数在x0点的瞬 时变化率 2 作用 刻画函数在变化的快慢 x趋于0 一点处 思考辨析判断正误 对于函数y f x 当x从x1变为x2时 函数值从f x1 变为f x2 若记 x x2 x1 y f x2 f x1 则1 x可正 可负 可为零 题型探究 类型一函数的平均变化率 解答 例1求函数y f x x2在x分别从1到1 x 2到2 x 3到3 x的平均变化率 当 x都为时 哪一点附近的平均变化率最大 解在x 1附近的平均变化率为 在x 2附近的平均变化率为 在x 3附近的平均变化率为 由于k1 k2 k3 所以在x 3附近的平均变化率最大 反思与感悟求平均变化率的主要步骤 1 先计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 再计算自变量的改变量 x x2 x1 跟踪训练1 1 已知函数f x x2 2x 5的图像上的一点a 1 6 及邻近一点b 1 x 6 y 则 解析 答案 x 2 求函数y f x x3在x0到x0 x之间的平均变化率 并计算当x0 1 x 时平均变化率的值 函数y f x x3在x0到x0 x之间的平均变化率为 解答 类型二求函数的瞬时变化率 例2以初速度v0 v0 0 竖直上抛的物体 t秒时的高度s与t的函数关系为s v0t gt2 求物体在t0时刻处的瞬时速度 故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0 gt0 解答 反思与感悟1 求瞬时速度的步骤 1 求位移改变量 s s t0 t s t0 1 在表达式中 可把 x作为一个数来参加运算 跟踪训练2一质点m按运动方程s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若质点m在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 解答 解质点m在t 2时的瞬时速度即为函数s t 在t 2处的瞬时变化率 质点m在t 2附近的平均变化率 4a 8 得a 2 达标检测 1 已知函数f x 当自变量由x0变化到x1时 函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数a 在x0处的变化率b 在区间 x0 x1 上的平均变化率c 在x1处的变化率d 以上结论都不对 答案 解析 1 2 3 4 5 2 一物体的运动方程是s t 3 2t 则在 2 2 1 这段时间内的平均速度是a 0 4b 2c 0 3d 0 2 1 2 3 4 5 答案 解析 3 物体运动时位移s与时间t的函数关系是s t 4t2 16t 此物体在某一时刻的瞬时速度为零 则相应的时刻为a t 1b t 2c t 3d t 4 1 2 3 4 5 答案 解析 解析设此物体在t0时刻的瞬时速度为0 令 8t0 16 0 解得t0 2 4 球的半径从1增加到2时 球的体积平均膨胀率为 1 2 3 4 5 答案 解析 5 设函数f x 3x2 2在x0 1 2 3附近 x取时的平均变化率分别为k1 k2 k3 比较k1 k2 k3的大小 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 解函数在 x0 x0 x 上的平均变化率为6x0 3 x k1 6 1 3 0 5 7 5 k2 6 2 3 0 5 13