北师大版选修11 实际问题中导数的意义 教案.doc

2.1 实际问题中导数的意义教学目标：知识与技能：让学生掌握在实际生活中问题的求解方法会利用导数求解最值过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法教学重点：函数建模过程教学难点：函数建模过程教学过程：例4：（面积容积最大问题）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示），试问当帐篷的顶点o到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路点拨：设出项点o到底面中心的距离后，求出底面边长，表示帐篷的体积解：设为，则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：） 于是底面正六边形的面积为（单位：），帐篷的体积为（单位：） 求导数，得令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数.所以，当时，最大答：当为时，帐篷的体积最大，最大体积为方法技巧：设出一个变量后，其他变量都用这个变量表示，然后列出所求变量的函数式，再求最值，这是这类题目的常规解决。例5：（用料最省问题）统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为 ，已知甲、乙两地相距100千米。 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？思路点拨：设出汽车的速度为千米/小时，然后表示出从甲地到乙地的耗油量解：当千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得 令，得当时，是减函数 当时，是增函数当时，取得极小值此时 （升）答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升方法技巧：正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出解析式是解题的关键例6：（费用量省问题）要设计一容积为v的有盖圆柱形储油罐盖，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径和高之比为何值时造价最省？思路点拨：把圆柱的高用底面半径表示出来，然后把造价表示为的函数解：由，得，设盖的单位面积造价为，则储油罐的造价为由 解得，于是由问题的实际意义，上述s的唯一可能极值点就是s的最小值点当 时，储油罐的造价最省方法技巧：本题用半径把高表示出来，把实际问题转化为关于半径的函数问题是关键例7：（利润最大问题）某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件。如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件 将一个星期的商品销售利润表示成的函数；如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大思路点拨：由时，多卖出的商品件数为24件，可求得正比例函数，进而表示出利润与的关系解：设商品降低元，多卖出的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则由题意又由已知条件 得 由知当变化时，变化情况如下表：2120+0极小值极大值故时，有极大值，又 所以定价为301218元，能使一个星期的商品销售利润最大方法技巧：利润（收益）销售额成本，在有前利润（收益）的问题中，注意应用此公式列函数式例5：要设计一种圆柱形，容积为的一体化易拉罐金属包装，如何设计才使 体最低？解：设 法1： 法2： 令例6：有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸边a处，乙与甲在同侧，乙厂位于离河岸的b处，乙厂到河岸垂足d与a相距，两厂要在岸边合建一个传水站c，