北师大版选修11 第二章 圆锥曲线与方程 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解并掌握圆锥曲线的定义、标准方程及简单性质.3.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的集合平面内到两定点f1，f2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|f1f2|)的点的集合平面内与一个定点f和一条定直线l(l不过点f)距离相等的点的集合标准方程1或1(ab0)1或1(a0，b0)y22px或y22px或x22py或x22py(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线yx或yx无限延展，没有渐近线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0或x0或y0或y0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且0e1e1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.椭圆的焦点三角形设p为椭圆1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，f1，f2为焦点且f1pf2，则pf1f2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积sb2tan .(2)焦点三角形的周长l2a2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为0(a0，b0)，即yx.(2)当双曲线的渐近线为0时，它的双曲线方程可设为(0)4抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点f的弦长|ab|的一个重要结论(1)y22px(p0)中，|ab|x1x2p.(2)y22px(p0)中，|ab|x1x2p.(3)x22py(p0)中，|ab|y1y2p.(4)x22py(p0)中，|ab|y1y2p.5三法求解离心率(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、简单性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观6直线与圆锥曲线位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等1设a，b为两个定点，k为非零常数，|pa|pb|k，则动点p的轨迹为双曲线()2若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切()3方程2x25x20的两根x1，x2(x1x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率()4已知方程mx2ny21，则当mn时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆()5抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是.()类型一圆锥曲线定义的应用例1若f1，f2是双曲线1的两个焦点，p是双曲线上的点，且|pf1|pf2|32，试求f1pf2的面积考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形解由双曲线方程1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|pf1|pf2|6，将此式两边平方，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|36，所以|pf1|2|pf2|2362|pf1|pf2|36232100.如图所示，在f1pf2中，由余弦定理，得cos f1pf20，所以f1pf290，所以|pf1|pf2|3216.引申探究将本例的条件|pf1|pf2|32改为|pf1|pf2|13，求f1pf2的面积解由条件知所以所以cos f1pf2.所以sin f1pf2，所以|pf1|pf2|sin f1pf2394.即f1pf2的面积为4.反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决跟踪训练1(1)已知椭圆y21(m1)和双曲线y21(n0)有相同的焦点f1，f2，p是它们的一个交点，则f1pf2的形状是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d随m，n变化而变化考点椭圆与双曲线的综合应用题点椭圆与双曲线的综合应用答案b解析设p为双曲线右支上的一点对椭圆y21(m1)，c2m1，|pf1|pf2|2，对双曲线y21，c2n1，|pf1|pf2|2，|pf1|，|pf2|，|f1f2|24c22(mn)，而|pf1|2|pf2|22(mn)4c2|f1f2|2，f1pf2是直角三角形，故选b.(2)已知动点m的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点m的轨迹是()a椭圆 b双曲线c抛物线 d以上都不对考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案c解析把轨迹方程5|3x4y12|写成.所以动点m到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等，且直线3x4y120不经过原点，所以动点m的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线类型二圆锥曲线的性质及其应用例2(1)已知ab0，椭圆c1的方程为1，双曲线c2的方程为1，c1与c2的离心率之积为，则c2的渐近线方程为()axy0 b.xy0cx2y0 d2xy0(2)已知抛物线y24x的准线与双曲线y21交于a，b两点，点f为抛物线的焦点，若fab为直角三角形，则该双曲线的离心率是_考点圆锥曲线的综合应用题点圆锥曲线的综合应用答案(1)a(2)解析(1)ab0，椭圆c1的方程为1，c1的离心率为，双曲线c2的方程为1，c2的离心率为.c1与c2的离心率之积为，2，c2的渐近线方程为yx，即xy0.(2)抛物线y24x的准线方程为x1，又fab为直角三角形，则只有afb90，如图，则a(1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2，于是c.故e.反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决跟踪训练2(1)如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于b，c两点，且bfc90，则该椭圆的离心率是_考点椭圆简单性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析由可得b，c.又由f(c,0)，得，.因为bfc90，所以0，化简可得2a23c2，即e2，故e.(2)已知抛物线x28y的焦点f到双曲线c：1(a0，b0)的渐近线的距离为，点p是抛物线x28y上的一动点，p到双曲线c的右焦点f2的距离与到直线y2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为_考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合的有关问题答案y21解析抛物线焦点为f(0,2)，准线为y2，双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，依题意可得，即，又p到双曲线c的右焦点f2的距离与到直线y2的距离之和的最小值为3，所以|pf|pf2|ff2|3，在rtfof2中，|of2|，所以c，所以a2，b1，所以双曲线方程为y21.类型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆1(ab0)上的点p到左，右两焦点f1，f2的距离之和为2，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点f2的直线l交椭圆于a，b两点，若y轴上一点m满足|ma|mb|，求直线l的斜率k的值考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆位置关系的综合应用解(1)由题意知，|pf1|pf2|2a2，所以a.又因为e，所以c1，所以b2a2c2211，所以椭圆的标准方程为y21.(2)已知f2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为yk(x1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程得化简得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以x1x2，y1y2k(x1x2)2k.所以ab的中点坐标为.当k0时，ab的中垂线方程为y，因为|ma|mb|，所以点m在ab的中垂线上，将点m的坐标代入直线方程得，即2k27k0，解得k或k；当k0时，ab的中垂线方程为x0，满足题意所以斜率k的取值为0，或.反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围跟踪训练3已知椭圆c：1(ab0)的右焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆c的方程；(2)若直线l与椭圆c相交于a，b两点，且以ab为直径的圆经过原点o，求证：点o到直线ab的距离为定值；(3)在(2)的条件下，求oab面积的最大值考点转化与化归思想的应用题点转化与化归思想的应用(1)解因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，所以所以a，b1.所以椭圆c的方程为y21.(2)证明设a(x1，y1)，b(x2，y2)，当直线ab的斜率存在时，设直线ab的方程为ykxm，代入椭圆方程，消元可得(13k2)x26kmx3m230，所以x1x2，x1x2，因为以ab为直径的圆经过坐标原点，所以0.所以x1x2y1y20，即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，所以(1k2)kmm20，所以4m23(k21)，由36k2m24(13k2)(3m23)0，得12k244m2，代入4m23(k21)，得9k210，所以0恒成立所以原点o到直线的距离为d.当直线ab斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1x2，y1y2，因为以ab为直径的圆经过坐标原点，所以0，所以x1x2y1y20，所以xy0，因为x3y3，所以|x1|y1|，所以原点o到直线的距离为d|x1|，综上，点o到直线ab的距离为定值(3)解当直线ab的斜率存在时，由弦长公式可得|ab|x1x2| 2，当且仅当k时，等号成立，所以|ab|2.当直线ab斜率不存在时，|ab|y1y2| bm1cm1 dm2考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求参数答案c解析双曲线x21的离心率e.又因为e，所以，所以m1.2中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()a.1 b.1c.1 d.1考点椭圆的标准方程题点求椭圆的标准方程答案a解析两焦点恰好将长轴三等分，2a18，2c2a6，c3，又b2a2c272，故椭圆的方程为1.3已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点为f1，f2，离心率为，过f2的直线l交c于a，b两点若af1b的周长为4，则c的方程为()a.1 b.y21c.1 d.1考点椭圆的标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案a解析根据题意，因为af1b的周长为4，所以|af1|ab|bf1|af1|af2|bf1|bf2|4a4，所以a.又因为椭圆的离心率e，所以c1，b2a2c2312，所以椭圆c的方程为1.4设椭圆1 (m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为_考点圆锥曲线的综合应用题点椭圆与抛物线的综合应用答案1解析y28x的焦点为(2,0)，1的右焦点为(2,0)，mn且c2.又e，m4.c2m2n24，n212.椭圆方程为1.5抛物线x22py(p0)的焦点为f，其准线与双曲线1相交于a，b两点，若abf为等边三角形，则p_.考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案6解析如图，在正三角形abf中，dfp，bdp，所以b点坐标为.又点b在双曲线上，故1，解得p6.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题一、选择题1双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()a2 b.c. d.考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率答案c解析双曲线1的两条渐近线方程为yx.依题意1，故1.所以1，即e22，所以双曲线的离心率e.2方程1所表示的曲线是()a焦点在x轴上的椭圆b焦点在y轴上的椭圆c焦点在x轴上的双曲线d焦点在y轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线类型答案d解析sin 10，方程表示焦点在y轴上的双曲线3设椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为f1，f2，上顶点为b.若|bf2|f1f2|2，则该椭圆的方程为()a.1 b.y21c.y21 d.y21考点椭圆的标准方程题点待定系数法求椭圆的标准方程答案a解析|bf2|f1f2|2，a2c2，a2，c1，b，椭圆的方程为1.4已知双曲线1(a0，b0)的左，右焦点分别为f1，f2，以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为p(3,4)，则此双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1考点双曲线的标准方程题点待定系数法求双曲线方程答案c解析由已知条件，得2r|f1f2|2c，即rc，而r|op|5.渐近线方程为yx，又点p(3,4)在直线yx上，所以解得所以双曲线方程为1.5.如图，f1，f2是双曲线c1：x21与椭圆c2：1的公共焦点，点a是c1，c2在第一象限的公共点，若|f1f2|f1a|，则c2的离心率是()a. b. c.或 d.考点圆锥曲线的综合应用题点椭圆与双曲线的综合应用答案b解析由x21得|f1f2|2c4，则|f1a|4，由双曲线的定义知|af1|af2|2，|af2|2，由椭圆的定义知|af1|af2|4262a，2c4，a3，c2，则e.6已知曲线1和直线axby10(a，b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图像可能为()考点圆锥曲线的综合应用题点由图像判断曲线类型答案c解析直线axby10中，与x轴的交点为p，与y轴的交点为，在图a，b中，曲线表示椭圆，则ab0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合在图c，d中，a0，b0)上一点m(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为a，若双曲线的一条渐近线与直线am垂直，则实数a等于()a2 b1c. d.考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案d解析根据抛物线的定义得15，p8.不妨取m(1,4)，则am的斜率为2，由已知得21，故a.二、填空题9双曲线1的两条渐近线的方程为_答案 yx解析a4，b3.又双曲线的焦点在x轴上，yxx.10设中心在原点的双曲线与椭圆y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是_考点双曲线性质的应用题点双曲线与椭圆结合的有关问题答案2x22y21解析椭圆的焦点为(1,0)，双曲线的焦点为(1,0)，设双曲线的方程为1，椭圆的离心率e，双曲线的离心率e，c212a2.又c2a2b2，a2b2，故所求双曲线方程为2x22y21.11设f1，f2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于p，q两点，当四边形pf1qf2面积最大时，_.考点椭圆的简单性质题点椭圆性质的综合应用答案2解析由题意，得c，又22|f1f2|h(h为f1f2边上的高)，当hb1时，s四边形pf1qf2取最大值，此时f1pf2120.|cos 120222.三、解答题12如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形abcd的一边ab在x轴上，另一边cd在x轴上方，且ab8，bc6，其中a(4,0)，b(4,0)(1)若a，b为椭圆的焦点，且椭圆经过c，d两点，求该椭圆的方程；(2)若a，b为双曲线的焦点，且双曲线经过c，d两点，求双曲线的方程考点圆锥曲线的综合应用题点椭圆与双曲线的综合应用解(1)a，b为椭圆的焦点，且椭圆经过c，d两点，连接ac，则|ac|10，根据椭圆的定义，|ca|cb|162a，a8.在椭圆中，b2a2c2641648，椭圆方程为1.(2)a，b是双曲线的焦点，且双曲线经过c，d两点，根据双曲线的定义，|ca|cb|42a，a2.在双曲线中，b2c2a216412，双曲线方程为1.13已知抛物线c的顶点为o(0,0)，焦点为f(0