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文档简介

2.2 导数的几何意义一、教学目标：1通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2理解曲线在一点的切线的概念；3会求简单函数在某点处的切线方程。二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：导数的概念及求法。（二）探究新课设函数在x0，x0x的平均变化率为，如右图所示，它是过a（x0，）和b（x0x，）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线在点a处的一条割线。如右图所示，设函数的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当x取不同的值时，可以得到不同的割线；当x趋于0时，点b将沿着曲线趋于点a，割线ab将绕点a转动最后趋于直线l。直线l和曲线在点a处“相切” ，称直线l为曲线在点a处的切线。该切线的斜率就是函数在x0处的导数。函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。1.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)求出p点的坐标;(2)求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；(3)利用点斜式求切线方程.2.导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即: 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数3.函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 (3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。例1.已知函数， x02。（1）分别对x=2，1，0.5求在区间x0，x0x上的平均变化率，并画出过点（x0，）的相应割线；（2）求函数在x02处的导数，并画出曲线在点（2，4）处的切线。解：（1）x=2，1，0.5时，区间x0，x0x相应为-2，0，-2，-1，-2，-1.5。在这些区间上的平均变化率分别为，.其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l3. （2）在区间-2，-2x上的平均变化率为.令x趋于0，知函数在x02处的导数为-4。曲线在点（-2，4）处的切线为l，如右图所示。例2求函数在x=1处的切线方程。解：先求在x=1处的导数：令x趋于0，知函数在x=1处的导数为。这样，函数在点（1，）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，2），斜率为6.因此切线方程为 y-2=6(x-1).即 y=6x-4.切线如图所示。（三）小结：函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x
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